D189 : Les bissectrices prennent leur pied
Dans ce triangle ABC où Q et R sont les pieds des bissectrices issues de B et de C sur les côtés opposés, il existe un point P sur BC tel que PQR est un triangle équilatéral.En déduire la valeur de l’angle en A.
Sur l’arc BC du cercle circonscrit à ABC, on trace un point D quelconque de l’autre côté de A par rapport à BC. Dans le triangle BCD, les points S,T et U sont les pieds des bissectrices du triangle BCD issues de B,C et D sur les côtés opposés. Démontrer que le triangle STU est rectangle.
Si PQR est équilatéral, PQ=QR, et les angles en B étant égaux, les triangles BPQ et BRQ sont symétriques par rapport à BQ, et BQ est perpendiculaire à PR ; de même, CR est perpendiculaire à PQ ; donc BCR+CBQ=π/3, et ABC+ACB=2π/3, donc BAC=π/3.
Notons BC=a, CD=b, BD=c ; l’angle en D étant égal à 2π/3, on a a2=b2+c2+bc, BU=ac/(b+c), CU=ab/(b+c) et puisque DU2=bc-BU*CU=bc(1-a2/(b+c)2=b2c2/(b+c)2, DU=bc/(b+c). De plus, DS=bc/(a+c), DT=bc/(a+b). Calculons le produit scalaire US.UT=(UD+DS).(UD+DT)=UD2+UD.DS+UD.DT+DS.DT
US.UT=b2c2(1/(b+c)2-1/(2(b+c)(a+c))-1/(2(b+c)(a+b))-1/(2(a+b)(a+c))
En réduisant au même dénominateur, on obtient y/(2(b+c)2(a+b)(a+c), avec y=2(a+b)(a+c)-(a+b)(b+c)-(a+c)(b+c)-(b+c)2=2(a2-b2-c2-bc)=0 : US et UT sont perpendiculaires, et le triangle STU est rectangle.
