1855. Une affaire d'angles **
Problème proposé par Jean-Louis Aymé Soient :
ABC un triangle A-rectangle tel que CBA = 20°, (O) le cercle circonscrit à ABC,
F le point de [AB] tel que ACF = 30°,
(U) le cercle tangent à (O) en C, passant par F, E le second point d’intersection de (U) avec (CA).
Démontrer que (BE) est la B-bissectrice intérieure de ABC.
Solution proposée par Jean Nicot
Dans le triangle ACB, l’angle ACB=90-20=70° = angle CEU puisque le triangle CUE est isocèle Angle CUE = 180-70-70 =40° donc l’angle EUB=140°
Comme ECF = 30°, EUF= 60° donc l’angle FUB=180*-40-60=80°
Dans le triangle FUB, l’angle UFB vaut donc 180-80-20=80°. FUB est isocèle et BU=BF Comme EUF=-60° , le triangle isocèle EUF est équilatéral et EU=EF
L’angle EFB=BFU+UFE=80+60 donc BFU=140°
Les triangles EUB et EFB ont leurs angles obtus égaux, encadrés par des côtés égaux ; ils sont donc égaux ainsi que les angles UBE et EBF.
BE est la bissectrice de ABC et la médiatrice de UF.
