Géométrie / 1e  / 20-21

GÉOMÉTRIE

1

_année

2.1 Polygones et calculs d'aires

1

2.1.1 Qu’est-ce que la géométrie ?

1

2.1.2 Les angles et leurs mesures

2

2.1.3 Les polygones

4

2.1.4 Ce qu’il faut absolument savoir

9

2.2 Les premiers théorèmes

10

2.2.1 Introduction

10

2.2.2 Le théorème de Pythagore

14

2.2.3 Le théorème de Thalès

18

2.2.4 Le théorème d’Euclide et de la hauteur

23

2.3 Cercles et éléments de cercle

28

2.3.1 Définitions et rappels

28

2.3.2 Périmètre et aire du disque

29

2.3.3 Longueur d'un arc et aire d'un secteur

32

2.3.4 Angles inscrits et angles au centre

36

2.3.5 Ce qu’il faut absolument savoir

40

2.4 Trigonométrie dans le triangle rectangle

41

2.4.1 Définitions des rapports trigonométriques

41

2.4.2 Relations trigonométriques de base

48

2.4.3 Réciproques des rapports trigonométriques

49

2.4.4 Ce qu’il faut absolument savoir

56

2.5 Trigonométrie dans le triangle quelconque 57

2.5.1 Introduction

57

2.5.2 Théorèmes relatifs aux triangles quelconques

58

2.5.3 Calcul d’aires

64

2.5.4 Ce qu’il faut absolument savoir

69

AVANT-PROPOS

• Ce document a été conçu pour l’enseignement des mathématiques dispensé au Collège de

Genève en première année, en géométrie. Cela dit, il peut servir de support de cours pour d’autres filières d’enseignement.

• Vous trouverez dans ce chapitre de la théorie (définitions, théorèmes, démonstrations, etc.) et des exercices qui vous permettront progressivement de vous familiariser et de maîtriser les diverses notations et concepts mathématiques. À la fin du chapitre se trouvent les solutions des

exercices.

• Les exercices accompagnés d’un astérisque (*), sont des exercices supplémentaires de

développement destinés, par exemple, aux élèves ayant choisi l’option, niveau avancé (MA2). • Pour mieux repérer les points importants de la théorie, les définitions sont dans un encadré blanc et les théorèmes dans un encadré grisé.

• Pour vérifier votre niveau de compréhension à la fin de l’étude d’un sous chapitre, vous pouvez vous référer à la section : « Ce qu’il faut absolument savoir ».

• Vous pouvez télécharger ce document au format PDF à l’adresse suivante :

http://www.sismondi.ch/disciplines/mathematiques/espace-perso-profs/serge-picchione

• Pour finir, un grand merci aux collègues de divers établissements scolaires qui ont partagé

leurs cours : Nicolas Chabal, Yves Drevous, Bernard Gisin, Alain Klopfenstein, Maurizio

Lalicata, Bernard Lenggenhager, Romanita Nagy Gauxachs, Adrien Schleining et Serge Zoutter.

2.1 Polygones et calculs d'aires

2.1.1 Qu'est-ce que la géométrie ?

Ce mot vient du grec et signifie à peu près « mesure de la terre », à comprendre dans le sens « mesure des champs ». Au début elle servait à mesurer la taille de champs à cultiver et les

dimensions de certains objets. Par exemple, quelle est la longueur du cerceau métallique qui entoure un tonneau d'un diamètre connu ? Au VIe siècle avant J.-C., Thalès de Milet déduit la hauteur de la grande pyramide de Kheops par un raisonnement géométrique. Plus tard les Grecs ont étudié de façon plus abstraite les propriétés des figures dans un plan. C'est la naissance des mathématiques rigoureuses. On cherche à démontrer certaines formules, on ne se contente plus de simplement les utiliser.

Trois noms célèbres de la Grèce antique vont jalonner cette approche des fondements de la géométrie : Pythagore de Samos (environ 565-495 av. J.-C) Thalès de Milet (environ 625-547 av. J.-C.) Euclide d’Alexandrie (environ 330-275 av. J.-C.) Situation géographique

Mer Méditerranée

2.1.2 Les angles et leurs mesures

Voici la nomenclature que nous utiliserons dans ce cours pour décrire les objets courants de la géométrie :

Points : les points sont désignés par des lettres majuscules (ex. A, B, C, etc.).

Segments : Le segment qui relie A à B se note [AB]. La longueur du segment [AB] se note AB .

Droites : La droite passant par A et B se note (AB) ou dAB .

Demi–droites : La demi-droite d'extrémité A et passant par B se note [AB) .

Définition

Un angle est une figure formée par deux demi-droites issues d'un même point appelé sommet de l'angle. Dans ce dessin le point O est le sommet de l’angle. [OA) et [OB) sont les côtés de l’angle.

Remarque L'alphabet grec se trouve dans la table C.R.M.

Les angles sont désignés par les lettres grecques minuscules α, β, γ, δ , etc.

On peut aussi désigner les angles au moyen de 3 points ;

on place dans ce cas le "point-sommet" au milieu et on note AOB .

Définition

Un degré est la mesure d'un angle dont le sommet est sur le centre d'un cercle et dont les côtés

interceptent un arc de cercle égal à 1/360 de la circonférence. Notation : 1 degré ≡ 1°.

Remarques

a) Afin de ne pas alourdir la notation, on note de la même façon

un angle et sa mesure. Autrement dit : on parlera « d’angle α de 45°» ou « α = 45°» par exemple.

b) L'instrument le plus utilisé pour mesurer un angle

est le rapporteur (demi-cercle subdivisé en 180 parties égales).

C •

B •

• A

• A

B •

A

B

•

•

A

B

•

•

d

α

•

•

•

α

•

Angles particuliers

1) Un angle plat est un angle dont le sommet est situé sur une droite et dont les 2 côtés sont

les 2 demi-droites formant la droite. Un angle plat mesure 180°.

2) Un angle droit est la « moitié » d’un angle plat. Il mesure donc 90°.

Notations :

3) Un angle α est aigu si 0 < <α 90. Un angle α est obtus si 90 < <α 180.

4) Deux angles α et β sont dits supplémentaires quand leur somme donne un angle plat. α + β = 180°

5) Deux angles α et β sont dits complémentaires quand leur somme donne un angle droit.

α + β = 90°

6) Dans la situation suivante, si les droites d et d’ sont parallèles, et si s est une sécante on dit que :

α et γ sont correspondants. β et δ sont correspondants. β et γ sont alternes-internes. α et δ sont alternes-externes. α et β sont opposés par le sommet. γ et δ sont opposés par le sommet. De plus : α = β = γ = δ α β α β α s d d’ α β γ δ •

Triangle Pentagone convexe Hexagone convexe Heptagone convexe Ennéagone concave Quadrilatère concave Pentagone régulier Hexagone régulier Octogone régulier

2.1.3 Les polygones

Un polygone est une ligne brisée fermée qui, pour simplifier les formes à étudier, ne se recoupe pas elle-même.

Un n-gone est une abréviation pour dire un polygone à n côtés.

Remarques

a) Chaque sommet définit un angle du polygone (du grec : poly = plusieurs et gônia = angle). b) Il y a autant d'angles intérieurs que de côtés et de sommets.

c) Les polygones les plus fréquents portent un nom particulier :

Nombre de côtés Nom du polygone Nombre de côtés Nom du polygone

3 Triangle 9 Ennéagone 4 Quadrilatère 10 Décagone 5 Pentagone 12 Dodécagone 6 Hexagone 15 Pentédécagone 7 Heptagone 20 Icosagone 8 Octogone

d) Si un polygone possède au moins un angle intérieur supérieur à 180° on dit qu’il est concave alors qu’autrement on dit qu’il est convexe. Ce cours se limite à l’étude des polygones convexes. e) Un polygone est régulier si tous ses côtés et tous ses angles sont égaux. Tous les polygones

Définition

Un triangle est un polygone à trois côtés.

Pour désigner ses différentes composantes, on utilise les conventions suivantes : • les lettres majuscules désignent les sommets du triangle (souvent A, B et C), ils sont placés dans l’ordre inverse du sens des aiguilles d’une montre.

• les lettres minuscules désignent les côtés ou leur longueur, le côté a est le côté qui est opposé au sommet A, le côté b est le côté qui est opposé au sommet B, etc.

• les lettres minuscules grecques désignent les angles, l’angle α (alpha) se trouve au sommet A, l’angle β (bêta) au sommet B, l’angle γ (gamma) au sommet C.

Triangles particuliers

Trois types de triangles portent un nom particulier :

• Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit.

• Un triangle isocèle est un triangle qui possède au moins 2 angles égaux (⇔ 2 côtés égaux). • Un triangle équilatéral est un triangle qui possède 3 angles égaux (⇔ 3 côtés égaux).

Définition

Un quadrilatère est un polygone à quatre côtés.

Pour désigner ses différentes composantes, on utilise des conventions similaires à celles utilisées pour le triangle.

Quadrilatères particuliers Carré, rectangle, trapèze, parallélogramme, etc.

C

A

B

A

_B

C

D

Activité 1 (classification des quadrilatères)

Compléter le schéma de classification des quadrilatères en fonction de leurs caractéristiques :

Définition

Un polygone est régulier si tous ses angles sont égaux et tous ses côtés sont égaux.

Polygones réguliers particuliers Triangle équilatéral, carré, pentagone régulier, etc.

Triangle Carré Pentagone Hexagone équilatéral régulier régulier (3 côtés) (4 côtés) (5 côtés) (6 côtés)

Définitions

Remarques

a) Il existe une infinité de polygones réguliers.

b) Tout polygone régulier admet un cercle circonscrit, inscrit et un centre. c) apothème a < rayon r

• Le cercle circonscrit au polygone régulier est le cercle qui passe par les sommets du polygone régulier.

(rayon du cercle circonscrit : r sur le dessin)

• Le cercle inscrit au polygone régulier est le cercle qui est tangent à tous les côtés du polygone régulier.

(rayon du cercle inscrit : apothème a sur le dessin)

• On appelle centre (O sur le dessin) d'un polygone régulier le centre des cercles inscrit et circonscrit au polygone. Les deux cercles sont concentriques.

Les côtés de même longueur

Une paire de côtés parallèles

L'autre paire de côtés parallèles

Les angles de même grandeur

Les angles de même grandeur Les côtés de même longueur

O r a cercle circonscrit cercle inscrit polygone régulier

O

c a

Activité 2 (Calculs d'aires de polygones)

a) Soit un rectangle dont les côtés mesurent respectivement a et b.

Nous admettrons que l'aire d'un rectangle est égale à a·b.

Aire du rectangle ABCD = a⋅b

b) Déduire l’aire d'un parallélogramme à partir de l’aire d'un rectangle.

(Justification et dessin explicatif)

Aire du parallélogramme ABCD =

c) Déduire l’aire d'un triangle à partir de l’aire d'un parallélogramme.

(Justification et dessin explicatif)

Ici, la hauteur h est la distance d'un sommet à la droite supportant le côté opposé (appelé base).

Aire du triangle ABC =

d) Déduire l’aire d'un trapèze à partir de l’aire d'un triangle.

(Justification et dessin explicatif)

Les deux côtés parallèles [AB] et [DC] sont appelés les bases et la distance entre les bases est la hauteur h du trapèze.

Aire du trapèze ABCD =

e) Déduire l’aire d'un losange à partir de l’aire d'un rectangle.

(Justification et dessin explicatif)

Les segments [AC] et [BD] sont appelés les diagonales du losange.

Aire du losange ABCD =

f) Déduire l’aire d'un polygone régulier à n côtés

à partir de l’aire d'un triangle. (Justification et dessin explicatif)

Aire du polygone régulier à n côtés =

A B C D a b A B C D b h A _B C b h A B C D b h b' C A B D d d'

Exercice 1

Compléter les tableaux suivants :

a) Soit un parallélogramme de base b et de hauteur h .

b) Soit un triangle de base b et de hauteur h .

c) Soit un trapèze de grande base b , de petite base b' et de hauteur h .

d) Soit un losange de diagonales d et d ' .

e) Soit un polygone régulier à n côtés.

Aire du parallélogramme [cm2 _{] b [cm] h [cm]} 30 5 4 9 Aire du triangle [cm2 ] b [cm] h [cm] 30 5 4 8 Aire du trapèze [cm2 ] b [cm] b' [cm] h [cm] 30 3 6 3 1 40 3 0,2 0,02 Aire du losange [cm2 ] d [cm] d ' [cm] 30 5 4 8 Aire du polygone régulier à n côtés [cm2 _] n a[cm] c[cm] 12 6 5 144 2 8

2.1.4

Ce qu’il faut absolument savoir

1♥ Connaître la nomenclature qui permet de décrire les objets courants de la géométrie ok

2♥ Connaître la définition d'un angle ok

3♥ Connaître la définition d'un degré ok

4♥ Connaître le début de l’alphabet grec en minuscule ok

5♥ Savoir reconnaître des angles particuliers (plat, droit, aigu, obtus, correspondants, etc.) ok

6♥ Connaître la définition d'un polygone et le nom des polygones les plus fréquents ok

7♥ Savoir reconnaître des triangles particuliers (isocèle, etc.) ok

8♥ Savoir reconnaître des quadrilatères particuliers (trapèze, losange, etc.) ok

9♥ Connaître la définition d'un polygone régulier ok

10♥ Déduire et connaître les formules donnant l’aire de polygones simples

2.2 Les premiers théorèmes

2.2.1 Introduction

Théorème de la somme des angles dans un triangle

hypothèse conclusion

Dans un triangle, la somme des angles intérieurs vaut 180°. α + β + γ =180  

Démonstration

i) On trace deux droites parallèles d et d’. ii) On a : δ + γ + e = 180° Angle plat.

iii) On a : a = δ et b = e Angles alternes-internes.

⇒ a + γ + b=180° (fin de la démonstration)

Remarque

La démonstration de ce théorème est attribuée à Pythagore lui-même.

Corollaire

hypothèse conclusion

Dans un quadrilatère, la somme des angles intérieurs vaut 360°._{ }

Démonstration

i) Un quadrilatère est toujours la réunion de deux triangles. ii) On utilise le théorème :

« Dans un triangle la somme des angles vaut 180° ».

180 180 ( ) ( ) 360 + + = ° + + = ° ⇒ + + + + + = ° _ et α β γ δ λ φ α φ β γ δ λ Définitions

Un axiome est un énoncé admis comme vrai sans justification, ou règle arbitraire ne menant à aucune contradiction, une sorte de « règle du jeu ».

Exemples

a) « Par deux points distincts, il ne passe qu’une seule droite ».

b) « Deux droites parallèles n'ont aucune intersection ou conservent une même distance ».

d d’ ε α β γ δ

Remarques

a) Un énoncé est vrai si il est toujours vrai.

« Si n est un nombre entier relatif alors n2 est un nombre entier naturel » est un énoncé vrai.

b) Un énoncé est faux s’il n’est pas toujours vrai.

« Si n est un nombre entier relatif alors n2 est un nombre entier naturel non nul » est un énoncé faux.

Contre-exemple : 0 est un nombre entier relatif mais 02 =0 n’est pas un entier non nul. On n’admet pas d’exception : un énoncé qui est parfois vrai et parfois faux est

mathématiquement faux.

Une conjecture est un énoncé dont on a l’intuition qu’il est vrai mais qui ne connaît pas encore de démonstration.

Exemples

a) Conjecture de Goldbach

« Tout nombre entier pair strictement supérieur à trois peut être écrit comme la somme de deux nombres premiers (le même nombre premier pouvant être utilisé deux fois) ».

b) Conjecture de Legendre

« Pour tout entier npositif, il existe un nombre premier entre n2 et

(

)

Remarque

Il existe des milliers de conjectures mathématiques. Certaines font l’objet de recherche de la part de chercheurs (en mathématiques, physique, etc.) qui travaillent dans des universités ou des écoles d’ingénieurs.

Un théorème est un énoncé que l’on peut démontrer être vrai.

Exemples

a) « Dans un triangle la somme des angles intérieurs vaut 180° ». b) « Si un nombre entier est divisible par 6 alors il est pair ». Remarques

a) Un théorème est toujours composé d’une hypothèse et d’une conclusion.

L'hypothèse est constituée des données et de leurs propriétés connues. Elle doit permettre de démontrer la conclusion du théorème. La conclusion d’un théorème est la propriété

découlant logiquement des hypothèses.

Exemple a) : Hypothèse : « Dans un triangle » .

Conclusion : « La somme des angles intérieurs vaut 180° »

b) La formulation habituelle d'un théorème est de la forme :

« Si hypothèse alors conclusion » ou « hypothèse ⇒ conclusion ».

c) Une démonstration est une suite de raisonnements logiques justifiés par les hypothèses,

Un corollaire est un théorème qui est la conséquence immédiate ou un cas particulier d'un autre théorème.

Exemple

« Dans un quadrilatère la somme des angles intérieurs vaut 360° » est un corollaire du théorème suivant : « Dans un triangle la somme des angles intérieurs vaut 180° ».

Remarque

La démonstration d’un corollaire fait donc appel à d’autres théorèmes.

La réciproque d’un théorème est un énoncé obtenu en inversant hypothèse et conclusion.

Exemple

La réciproque de « Si un nombre entier est divisible par 6 alors il est pair » est « Si un nombre entier est pair alors il est divisible par 6 ».

Remarques

a) La réciproque d’un théorème n’est pas toujours vraie ce qui est le cas dans l’exemple ci-dessus.

Contre-exemple : 64 est un nombre pair mais n’est pas divisible par 6 .

b) La réciproque des théorèmes de Pythagore et de Thalès sont vraies.

Exercice 2

a) Calculer la valeur des angles α β, etλ sachant que γ =30°.

b) Que peut-on dire des angles des triangles

ACH, BCH et ABC ?

Remarque : Le dessin n’est pas à l’échelle.

Exercice 3

Calculer la valeur des angles

1 et 2

δ δ sachant que α = ° . 34

Remarque : Le dessin n’est pas à l’échelle.

α _α δ1 δ5 δ2 δ3 δ4

C

A

_H

B

Exercice 4

Considérons un parallélogramme ABCD.

Calculer la valeur des angles α β, et δ sachant que γ =25.

Exercice 5

Considérons un rectangle ABCD et le point E, intersection des diagonales. Calculer la valeur des angles α β δ, , etλ sachant que γ =25°.

Exercice 6

On sait que dans un triangle, la somme des angles intérieurs est égale à 180° . A l’aide de ce résultat, démontrer que :

a) la somme des angles intérieurs d’un quadrilatère est égale à 360°. b) la somme des angles intérieurs d’un pentagone est égale à 540°.

c) la somme des angles intérieurs d’un polygone à n côtés est égale à

(

)

Exercice 7 *

a) Calculer ϕ si α = °. 36

b) Calculer ϕ pour un angle α quelconque.

A C D β β ϕ α B E F C D B A C D B A E

2.2.2 Le théorème de Pythagore

Pythagore de Samos (environ 565-495 av. J.-C) est considéré comme le père

des mathématiques grecques. Son éducation de base porta surtout sur les disciplines littéraires et artistiques. Il apprit la poésie, en particulier l'oeuvre d'Homère, et la pratique de la lyre. Comme professeurs, il eut trois

philosophes qui l'influencèrent beaucoup. Le plus marquant fut Pherekydes, mais il aurait aussi été l'élève de Thalès et d'Anaximandre qui l'initièrent aux mathématiques. L’école pythagoricienne (secte) était une académie où l’on étudiait la philosophie, les mathématiques, les sciences naturelles en plus de pratiquer des rites secrets.

Définition

Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse ; c'est le côté le plus long. Les deux autres côtés s'appellent les cathètes.

Théorème de Pythagore

Si un triangle est rectangle alors la somme des carrés

des cathètes est égale au carré de l’hypoténuse.

2 2 2

a +b =c

Remarques

a) Hypothèse : « Un triangle est rectangle »

Conclusion : « La somme des carrés des cathètes est égale au carré de l’hypoténuse ».

b) a+ >b c ; a<c ; b<c

Démonstration

1) On construit deux carrés. On obtient aussi quatre triangles

rectangles (voir la figure). Les côtés de ces carrés mesurent respectivement a+b et c.

2) Calculons l'aire du "grand carré" de deux manières

différentes :   2 2 aire du aire du _{carré de} aire d un carré de _{côté "c"} triangle côté "a + b" rectangle a b ( a b ) 4 c 2 ′ ⋅ + = ⋅ + 

3) Développons et simplifions cette relation :

2

a + 2ab +b2 = 2ab +c2 ⇔ a2+b2 =c2

Remarque

La réciproque du théorème de Pythagore est également vraie :

Si a2 +b2 =c2 alors le triangle dont les côtés mesurent a, b et c est rectangle. a b c a b c a b _c a b c Illustration

c

a

b

Marche à suivre pour résoudre les problèmes

1) Faire un dessin avec des légendes ; indiquer les données du problème.

2) Identifier et noter dans le dessin les triangles rectangles. (hypothèse du théorème de Pythagore) 3) Écrire les égalités entre les longueurs des côtés des triangles rectangles.

(conclusion du théorème de Pythagore)

4) Utiliser ces égalités pour calculer les longueurs désirées. (résolution d’une équation) De manière générale : Indiquer systématiquement le nom du théorème que vous utilisez.

Exercice 8 (spirale de Théodore de Cyrène)

Sachant que : OA=AB=BC=CD=DE=EF =1 cm, calculer en valeur exacte les longueurs suivantes :

OB, OC , OD, OE et OF.

Exercice 9

Calculer l'aire et le périmètre du trapèze ABCD.

AB=35 cm BC =47 cm AD=82 cm h 25 cm=

Exercice 10

Calculer l’aire de la figure hachurée.

Exercice 11

ABCD est un rectangle.

Les deux cercles ont 5 cm de diamètre. Calculer la hauteur h.

Indication : utiliser le centre des cercles.

A _D C B h A B C D E F O 17 cm a a b b 8 cm

•

•

Exercice 12

a) Un triangle qui a des côtés de longueur 3 m, 4 m et 5 m est-il rectangle ? b) Un triangle qui a des côtés de longueur 12 m, 13 m et 14 m est-il rectangle ? c) Calculer x.

Exercice 13

Deux randonneurs munis d'émetteurs-récepteurs quittent le même point à 9 h, l'un marchant plein sud à 4 km/h et l'autre allant plein ouest à 3 km/h. Combien de temps pourront-ils communiquer l'un avec l'autre si chaque radio a une portée maximale de 2 km ?

Réponse en minutes.

Exercice 14

Démontrer le théorème de Pythagore à l'aide du dessin ci-contre qui comporte deux carrés et 4 triangles égaux de cotés a, b et c.

Exercice 15

Voici des corps On sait que Calculer

ceci est un cône droit.

AB=BC=26 m

CD

ceci est un cube.

AD=125 m

AB

Exercice 16

Peut-on rentrer une règle de 75 cm de long dans une boite à outils dont la base et chacun des côtés sont rectangulaires et qui mesure 60 cm de long, 30 cm de large et 20 cm de haut ? Justifier votre réponse avec des calculs et un dessin est exigé.

x 3 5 A _D B C B C D A a b c a b c a b c a b c

x R • • • • R Exercice 17

Les pyramides égyptiennes de Gizeh sont des pyramides droites à base carrée.

a) Calculer la hauteur DH et le volume de la pyramide de Kheops.

b) Quelles seraient les dimensions d'un cube (longueur d'une arête)

ayant le même volume que la pyramide de Kheops ?

c) Si le cube représentait un immeuble d'habitation, combien aurait-il d'étages ? Exercice 18

a) Calculer la longueur d de la diagonale d'un carré de côté a. b) Calculer la longueur d de la diagonale d'un cube de côté c. c) Calculer la longueur c du côté d'un cube de diagonale d. d) Calculer la hauteur h d'un triangle équilatéral de côté a. e) Calculer l'aire A d'un triangle équilatéral de côté a.

Simplifier au maximum toutes les relations obtenues.

Exercice 19 *

Les points sont les centres des cercles. Les cercles sont tangents entre eux. Démontrer que x R

3

= .

Exercice 20 *

ABC est un triangle rectangle en A. On a construit un demi-cercle sur chacun de ses côtés pris comme diamètre.

On a ombré les « lunules » compris entre le grand demi-cercle et les deux autres. Démontrer : Aire C

( )

( )

( )

Exercice 21 *

Un champ est composé de deux carrés et d’un triangle rectangle. Déterminer la valeur de x afin que l’aire totale du champ soit égale à 200_m2_. 220 m 231 m A _B C D H A C _O B C1 C2 T

•

•

•

2.2.3 Le théorème de Thalès

Thalès de Milet (environ 625-547 av. J.-C.), l’un des sept sages de l’Antiquité

était un savant grec, astronome, philosophe et mathématicien.

Le théorème de Thalès est connu et utilisé depuis l’Antiquité : il permet de calculer des longueurs inaccessibles, par exemple la hauteur d’une pyramide ou la profondeur d’un puit.

Définitions

• Deux triangles sont semblables s’ils possèdent les mêmes angles.

• Deux côtés appartenant respectivement à deux triangles semblables sont dits correspondants s’ils sont opposés au même angle.

Exemple (BC)// (DE)

• Les triangles ABC et ADE sont semblables car : - les angles AED et ACB sont correspondants. - les angles ADE et ABC sont correspondants. On note alors : ∆ ABC ≈ ∆ ADE

• Les cotés [AC] et [AE] sont correspondants, car ils sont opposés à l’angle β (bêta).

Définitions

• Le rapport de deux nombres a et b est le quotient de ces deux nombres. • On dit que a b est égal à c d si : * a c ad bc a,b,c,d b =d ⇔ = ∈ Exemple Le rapport de 3 et 4 est 3 4 et 3 4 est égal à 6 8 car 3 6 3 8 4 6 4 = 8 ⇔ ⋅ = ⋅ . Activité

Prendre les mesures nécessaires sur les triangles semblables ci-dessus pour compléter ce tableau : (Unité : le cm)

Côtés du triangle ADE AD ≅ AE ≅ DE ≅

Côtés du triangle ABC AB≅ AC ≅ BC≅

Rapport des côtés correspondants AD

AB ≅ AE AC ≅ DE BC ≅ Que constate-t-on ? A B C E D α β β γ γ

Théorème de Thalès

Si deux triangles sont semblables alors les rapports des côtés correspondants sont égaux.

ADE AD AE DE ABC AB AC BC ∆ ∆ γ β α → = = → ↑ ↑ ↑ Illustration Démonstration

Si le triangle ADE est semblable au triangle ABC alors la droite passant par DE est parallèle à la droite passant par BC.

Le triangle BDE a la même aire que le triangle CDE parce qu'ils ont la même base DE et qu'ils sont compris entre les mêmes parallèles (DE) et (BC).

En leur ajoutant à tous deux le triangle ADE, nous obtenons deux nouveaux triangles de mêmes aires, à savoir ABE et ACD.

On peut donc écrire :

2 1

2 1

AD h AE h

aire( ADE ) aire( ADE ) _{2 2} AD AE aire( ABE ) aire( ACD ) AB h AC h AB AC

2 2

⋅ ⋅

= ⇔ = ⇔ =

⋅ ⋅

Un argument similaire permet d'établir la proportionnalité : AE DE

AC = BC 

Remarque

La réciproque du théorème de Thalès est également vraie :

Si AD AE DE

AB = AC = BC alors les triangles ABC et ADE sont semblables.

A B C E D h2 h1 A B C E D α β β γ γ

Marche à suivre pour résoudre les problèmes

1) Faire un dessin avec des légendes ; indiquer les données du problème.

2) Identifier dans le dessin les triangles semblables. (hypothèse du théorème de Thalès)

Vérifier à l’aide des propriétés sur les angles que les triangles présents sont bien semblables.

3) Écrire les égalités entre les rapports des côtés correspondants (conclusion du théorème

de Thalès).

4) Utiliser ces égalités pour calculer les longueurs désirées. (résolution d’une équation) De manière générale : Indiquer systématiquement le nom du théorème que vous utilisez.

Exercice 22

a) Les droites d_AB et d_CD sont parallèles.

AS =8 cm , BS =12 cm , DS =18 cm , AB=9 cm

Calculer CS et CD.

Exercice 23

Les droites d_AB, d_CD et d_EF sont parallèles.

AB=126 , EF =210, BF =98 , AC=20 , CE =8 Calculer BD et CD. Exercice 24 [ED]// [BC] AD= 32 m , AC= 51 m , DE= 38 m , AB= 45 m Calculer BC et AE. Exercice 25 AC= 5 m , AE= 11 m , BC= 4 m , DE= 12 m Calculer AB et CD. S B A D C D E A B C D E A B C α α D A F C B E D' E'

Exercice 26 Sachant que AB= 8 mm ; BE= 7 mm ; BC= 12 mm calculer AC , CD et DE. Exercice 27 CE = 111 km ; BC = 35 km ; ED = 36 km a) Calculer AB et BD.

b) Calculer l’aire de la surface hachurée.

Exercice 28

[AF] // [BE] et [AC]// [FE]

BC = 54 cm CD = 45 cm EF = 18 cm AF = 100 cm Calculer FD et BD. Exercice 29 [BC]// [DE] AD=5 BD=10 FE=4 BC=18 CalculerBF. Exercice 30

ABC est un triangle rectangle en B.

Les côtés de l’angle droit mesurent 36 cm et 46 cm.

Calculer la longueur x du côté du carré inscrit dans le triangle ABC.

Exercice 31

Soit ABCD un parallélogramme.

Le point M est l’intersection des diagonales. Démontrer en utilisant le théorème de Thalès que ses diagonales se coupent en leur milieu.

D E A B C F F E D C B A D E C B A B C _D A E M A B C D

Exercice 32

Calculer la profondeur p du puits.

Exercice 33

Pour mesurer la hauteur H de la pyramide de Kheops, Thalès recourt à un bâton de longueur p = 2 m qu'il tient verticalement par rapport au sol. Il fait mesurer la base b = 230 m de la pyramide, la longueur S = 300 m de son ombre, ainsi que l'ombre s = 5,7 m du bâton. Calculer la hauteur H de cette pyramide.

Exercice 34

Le mathématicien et astronome Eratosthène, (environ 280-198 av. J.-C.), avait évalué le rayon de la Terre à partir des observations suivantes :

À midi, le jour du solstice d’été, dans deux villes de l'actuelle Égypte : Syène (ville qui s'appelle aujourd'hui Assouan, sur le Nil) et Alexandrie, il observe les ombres. A Syène, le Soleil est au zénith : les rayons du Soleil sont verticaux et l’on peut voir l’image du Soleil au fond d’un puits. À Alexandrie, ville située sur le même méridien que Syène mais 800 km plus au nord, le Soleil est très haut dans le ciel mais pas au zénith. L’ombre d'un obélisque vertical a une longueur égale au 1/8 de sa hauteur.

(Un obélisque)

Comme Eratosthène, vous avez tous les éléments pour déterminer approximativement le rayon, puis le diamètre et le périmètre de la Terre.

0.2 m p 1,2 m 1,7 m Syène

•

•

•

rayons du Soleil (supposés parallèles)

H b/2 S s p Rayons du Soleil (supposés parallèles) • • • • • • • • •

2.2.4 Le théorème d’Euclide et de la hauteur

mathématiques de l’université d’Alexandrie. Il est essentiellement connu pour avoir publié les ÉLÉMENTS, treize livres contenant une compilation de travaux antérieurs et traitant de géométrie, de théorie des nombres et d'algèbre élémentaire.

Théorème d’Euclide et de la hauteur

Dans un triangle rectangle ABC d'hypoténuse c et de hauteur h, les projections des cathètes a et b sur l'hypoténuse sont désignées respectivement par a' et b'. Sous ces hypothèses, nous avons :

2 2 a = ⋅a' c et b = ⋅b' c (théorème d'Euclide) 2 h = ⋅a' b' (théorème de la hauteur) Démonstration • Remarque : α β+ +90° =180°

(somme des angles dans un triangle) et α β+ =90°

• Théorème de Thalès :

• ABC ACH ABC AB BC AC

ACH AC CH AH ≈ ⇒ = =    donc 2 AC AC⋅ =AB AH⋅ ⇔ ⋅ = ⋅ ⇔b b c b′ b = ⋅b c′ • ABC CBH ABC AB BC AC CBH BC BH CH ≈ ⇒ = =    donc 2 BC BC⋅ =AB BH⋅ ⇔ ⋅ = ⋅ ⇔a a c a′ a = ⋅a c′ • ACH CBH ACH AC CH AH CBH CB BH CH ≈ ⇒ = =    donc CH CH⋅ = AH BH⋅ ⇔ ⋅ = ⋅ ⇔h h b a′ ′ h2 = ⋅a b′ ′ Remarques

a) Le théorème d’Euclide et de la hauteur est un corollaire du théorème de Thalès.

b) On peut démontrer algébriquement le théorème de Pythagore grâce au théorème d’Euclide :

a2 = ⋅a' c et b2 = ⋅b' c donc a2+b2 = ⋅ + ⋅ = ⋅a' c b' c c ( a' b')+ = ⋅ =c c c2 C A B a b c b' a' h H Illustration C A B a b b' a' h H c

Exercice 35

Compléter les lignes du tableau suivant, en utilisant le théorème d’Euclide et de la hauteur : (2 décimales) x y z u w k I 20 m 5 m II 18 cm 10 cm III 24 mm 8 mm IV 15 km 12 km Exercice 36

ABCD est un rectangle de diagonale DB=3

et DE=EF =BF=1.

Sans utiliser le théorème de Pythagore :

a) Calculer les dimensions du rectangle. b) Calculer l’aire du triangle ADE.

Exercice 37

Le trapèze ABCD est rectangle en A et B. Ses diagonales se coupent à angle droit. De plus AB=6 et BC=8

a) Calculer : AC , EC , AEet BE.

b) Calculer l’aire du triangle CDE.

C A B x z y u w k H 1 1 1 A B C D E F D B C A E

Exercice 38 *

Démontrer le théorème suivant :

Si les triangles ABC et ADE sont semblables alors AE EC AC

AD = DB = AB Illustration

Indication : Ce résultat est une conséquence du théorème de Thalès (c'est un corollaire). Remarque : La réciproque de ce corollaire est également vraie.

Exercice 39 *

Démontrer le théorème suivant :

Si (AA') // (BB') // (CC') alors A' B' B' C' A' C'

AB = BC = AC

Autrement dit : Des parallèles déterminent sur deux sécantes des segments proportionnels.

Illustration

Indication : Ce résultat est une conséquence du théorème de Thalès (c'est un corollaire). Remarque : La réciproque de ce corollaire est également vraie.

B' A C' B A' C A B C E D α β β γ γ

Exercice 40 * [AD] // [BC] a) Montrer que : 1 2 h 8 h = 24 .

b) Calculer l’aire de la surface hachurée.

Exercice 41 *

Démontrer que la longueur du segment [EF] ne dépend pas de l'écart x entre le segment [AD] et [BC].

Exercice 42 *

Démontrer le théorème de Pierre Varignon (1654-1722) :

« En joignant les milieux d'un quadrilatère ABCD quelconque, on obtient un parallélogramme IJKL ».

Illustration

Exercice 43 * Ne tombez pas dans le trou !

Quel est le diamètre du plus grand trou circulaire que l’on peut recouvrir à l’aide de trois plaques carrées de 3 m de côté chacune, sans se chevaucher ?

• • • • • • • • L D _B C A I J K x E D C A F B c a b 8 24 16 h1 h2

Exercice 44 * Sachant que a = 1237 et b’ = 3781 , Calculer : b, c, h, et a' Exercice 45 * Considérons un cercle. d est le diamètre. c est la corde . f est la flèche.

Établir une formule donnant la flèche f en fonction du diamètre d et de la corde c.

2.2.5

Ce qu’il faut absolument savoir

11♥ Connaître et appliquer le théorème de la somme des angles dans un triangle ok

12♥ Démontrer le théorème de la somme des angles dans un triangle ok

13♥ Connaître et appliquer le théorème de la somme des angles dans un quadrilatère ok

14♥ Démontrer le théorème de la somme des angles dans un quadrilatère ok

15♥ Connaître et appliquer le théorème de Pythagore ok

16♥ Démontrer le théorème de Pythagore ok

17♥ Connaître et appliquer le théorème de Thalès ok

18♥ Démontrer le théorème de Thalès ok

19♥ Connaître et appliquer le théorème d’Euclide et de la hauteur ok

20♥ Démontrer le théorème d’Euclide et de la hauteur ok

B c C A a b b' a' h H d f c

2.3 Cercles et éléments de cercle

2.3.1 Définitions et rappels

• Un cercle est un ensemble de points situés à une même distance d'un point donné. • Le point donné est le centre C et la distance donnée le rayon r du cercle.

• Un disque est une partie finie du plan délimitée par un cercle.

• Une droite est une sécante d'un cercle si elle coupe ce cercle en deux points A et B distincts. • Le segment limité par les deux points d'intersection d'une sécante est une corde (on peut la voir aussi comme l'intersection d'une sécante et d'un disque).

• Le terme diamètre d est utilisé dans deux sens différents : d'une part, c'est une corde d'un cercle passant par le centre de ce cercle et d'autre part c'est la longueur de cette corde.

• De la même façon, le terme rayon est utilisé pour un segment joignant le centre d'un cercle à un point de ce cercle et aussi pour la longueur de ce segment. (remarque : d = 2r)

• Une droite est une tangente d'un cercle si elle coupe ce cercle en un seul point T. • Un angle au centre est un angle dont le sommet est situé au centre d'un cercle.

• Un angle inscrit dans un cercle est un angle dont le sommet est situé sur le cercle et dont les côtés coupent le cercle.

α est un angle au centre β est un angle inscrit

α C A B T sécante tangente corde diamètre d rayon r C

•

•

•

•

• Un arc de cercle est la partie d'un cercle interceptée par un angle au centre (c'est une courbe). • Un secteur de disque est la partie d'un disque interceptée par un angle au centre

(c'est une surface).

L est un arc de cercle S est un secteur de disque

• On appelle segment circulaire la portion de disque comprise entre un arc et la corde qui le sous-tend.

2.3.2 Périmètre et aire du disque

Le périmètre d'un disque (ou d'un cercle) est donné par la formule : P = 2π r L'aire de ce même disque est donnée par la formule : A = π r2

Où π ≅ 3,14159265358979323846264338...

Remarques

a) Dans ces formules, r représente le rayon du cercle et π un nombre particulier qui se lit Pi. b) Le nombre π, est un nombre irrationnel ; cela signifie qu'on ne peut pas l'écrire sous la forme

d'une fraction de deux entiers et que son écriture décimale est illimitée et non périodique.

c) Dans les calculs à la main, on prend en général l'approximation π ≈ 3,14.

La calculatrice est munie d'une touche π qui donne une dizaine de décimales exactes. α C L α C S α Segment circulaire α C

•

•

•

•

La définition du nombre

π

Prenons une roue, peignons-la et faisons lui faire un tour sur le sol. Mesurons ensuite, la longueur de la trace faite par la peinture (périmètre P1 de la roue) et le diamètre d1 de la roue. Calculons pour finir le rapport entre le périmètre et le diamètre ; on constate que 1

1

P

3,14 d ≅ .

Prenons une roue avec un diamètre d2 différent de d1. Dans ce cas nous obtenons aussi : 2 2

P

3,14

d ≅ .

Conclusion

le rapport entre le périmètre et le diamètre du cercle (roue) est constant et vaut environ 3,14.

Donc on définit : P P d P 2r P 2 r

d = ⇔π =π ⇔ =π ⇔ = π avec π ≅3,14

Définition

π est défini comme étant le rapport constant entre le périmètre et le diamètre d'un cercle.

Remarques

a) Le périmètre P du cercle est proportionnel à son diamètre d car P=πd. Application : Si le diamètre du cercle triple, le périmètre triple aussi.

b) Le périmètre P du cercle est proportionnel à son rayon r car P=2 rπ .

Application : Si le rayon du cercle diminue de moitié, le périmètre diminue aussi de moitié.

La notation

π

π est la seizième lettre de l'alphabet grec et la première lettre du mot grec περιµετρον, périmètre ou περιϕερεια, circonférence, périphérie. Il y a plusieurs versions sur l'apparition du symbole, mais l'époque est toujours la même : vers 1600. William Oughtred (1574-1660) en 1647 et Isaac

Barrow (1630-1677) utilisent le symbole π pour représenter le périmètre d'un cercle de diamètre

un. Euler, utilise la lettre π ,dans un ouvrage sur les séries, publié en latin en 1737 puis, en 1748, dans son ’’Introduction à l’analyse infinitésimale’’, ce qui imposa définitivement cette notation.

d1

•

•

•

•

Le nombre

π

, un nombre "naturel" ?

π apparait dans de très nombreux problèmes physiques et mathématiques. Par exemple, on trouve, par intégration (voir cour de 4e _{année), des formules classiques telles que :}

• le volume d'une sphère de rayon r = 4 3

r 3π

• le périmètre d'une ellipse = 2 a2 b2 2

π +

En astronomie, π est important puisque les planètes ont en première approximation une forme de

sphère et décrivent des trajectoires elliptiques autour du Soleil.

Le nombre π, fait également partie des formules d'électromagnétisme. Et dans de nombreux autres cas...

Lien entre le périmètre et l’aire du disque

• On suppose connue la formule donnant le périmètre du disque c’est à dire : P 2 r= π .

• On découpe un disque en un nombre pair de secteurs de disques égaux et on dispose ces secteurs de façon à former une figure ressemblant à un « parallélogramme ondulé ».

• La hauteur du « parallélogramme ondulé » est environ égale au rayon r du disque. • La base du « parallélogramme ondulé » est environ égale au demi-périmètre du disque, c’est-à-dire P/2.

• L’aire A du « parallélogramme ondulé » est donc environ égale à P 2 r 2

A r r r 2 2

π _π

≈ ⋅ = ⋅ = .

Conclusion

Si on augmente indéfiniment le nombre de secteurs de disques on peut admettre que l’aire A du « parallélogramme ondulé » et donc du disque, vaut exactement A=πr2.

r b a Transformation 2 1 ₄ 3 6 5 8 7 1 2 3 4 5 _{6 7 8} ≈ r ≈ P/2

2.3.3 Longueur d'un arc et aire d'un secteur

L'aire du secteur S, la mesure de l'angle au centre α° (en degré), la longueur de l'arc L et le nombre de tours x qu'a parcouru un point Q sur le cercle sont des grandeurs proportionnelles

et on a alors l’égalité entre les rapports suivants :

= o = = 2 o tours tour S L x r 360 2 r 1 α π π Exercice 46

a) Compléter les lignes du tableau suivant : (2 décimales)

α r L S nombre de tours I 45° 8,31 cm II 120° 9,70 cm III 10 cm 1/3 IV 20° 90 dm2

b) Démontrer la formule suivante : S L r 2 ⋅ = α C S α L r

•

•

a

a

a

a

a

a

Calculer l’aire et le périmètre des surfaces ombrées en explicant votre démarche.

1)

Le côté du carré mesure 5 cm.

2)

Le côté du carré mesure 4 m.

3)

Le rayon de chaque cercle mesure 3 km.

4)

Le côté du triangle équilatéral mesure 5 cm.

5)

L'angle α = 50°, a = 10 cm, b = 8 cm.

6)

Les portions de cercles sont des quarts de cercle.

7)

Les portions de cercles sont des quarts de cercle.

8)

Les cinq disques de la figure ont le même rayon.

Exercice 48

Un « pauvre » mouton est attaché avec une corde de 7 mètres de long, à l'extrémité sud-est d'une bergerie dans un champ tout plat. Quelle est l’aire de la surface d'herbe ainsi mise à sa disposition ?

Exercice 49

Calculer l’aire et le périmètre des surfaces ombrées.

1)

Le rayon du cercle mesure 10 km et λ=60.

2)

Le côté de l'hexagone régulier mesure 5 cm.

Exercice 50

Un pendule oscille au bout d'une corde de 60 cm.

Sachant que l'angle décrit est de 64°, trouver la longueur de l'arc décrit.

Exercice 51

L'extrémité d'un pendule de 35 cm de long décrit un arc de cercle de 15 cm. Quel est l'angle décrit au cours d'une oscillation du pendule ?

Exercice 52

L'aiguille des minutes d'une horloge mesure 6 cm de long. Quelle est la longueur de l'arc décrit par l'extrémité de l'aiguille (Réponse en cm).

a) en 20 minutes ? b) en 2400 secondes ?

Exercice 53

La distance entre deux points A et B sur Terre se mesure le long d’un cercle dont le centre C est au centre de la Terre et dont le rayon est égal à la distance de C à la surface (voir figure).

a) Calculer la distance en kilomètre entre A et B si l’angle ACB= 60° .

b) Si deux points A et B sont éloignés de 1000 Km, déterminer l’angle ACB en degrés.

Exercice 54

Une roue pour une petite voiture a un diamètre de 56 cm. Si le véhicule se déplace à une vitesse de 96 km/h, calculer le nombre de tours que la roue fait par seconde.

60 cm 64° O • • • A B λ

•

Exercice 55

La Terre effectue une rotation complète autour de son axe en 23 heures, 56 minutes et 4 secondes. Son rayon à l’équateur est selon les mesures contemporaines d'environ 6378 Km.

a) Calculer de combien de degrés, la terre tourne en une seconde.

b) Calculer la distance parcourue (en mètre) pendant une seconde par un point P situé sur

l'équateur, dû à la rotation de la Terre.

Exercice 56 *

a) Si le pignon de rayon r tourne d’un angle de ₁ α₁ degré, trouver l’angle de rotation α₂ en degré correspondant du pignon de rayon r . ₂

b) Un cycliste expérimenté peut atteindre une vitesse de 64 Km/h.

Si la transmission par pignons a r = 13 cm, ₁ r = 5 cm, et si la roue a un diamètre de 71 cm, ₂ évaluer combien de tours par minute du pignon avant produira une vitesse de 64 Km/h. Indication : convertir d’abord 64 Km/h en cm/s.

Exercice 57 *

a) Calculer l’aire et le périmètre de la surface ombrée.

Le rayon de chaque cercle mesure 40 cm. C ,C et C sont les centres des cercles. _{1 2 3}

b) La figure représente un carré de côté a.

Les lignes à l'intérieur représentent des quarts de cercles. Calculer l'aire de la figure hachurée en fonction de a.

•

•

•

C2 _C3

2.3.4 Angles inscrits et angles au centre

Si un angle au centre ω intercepte le même arc de cercle qu' un angle inscrit α alors ω=2α

Illustration

α est aigu α est obtus

Démonstration

a) Exprimons tous les angles

du triangle ABO en fonction de β : Le triangle ABO est isocèle en O car OA=OB=r (le rayon du cercle) donc α₁=β

De plus α₁+ + =β λ 180 ⇒ =λ 180 − ⋅2 β

(théorème de la somme des angles dans un triangle)

b) Exprimons tous les angles du triangle ACO en fonction de γ :

Le triangle ACO est isocèle en O car OA=OC=r (le rayon du cercle) donc α₂ = γ

De plus α₂ + + =γ θ 180 ⇒ =θ 180 − ⋅2 γ (thm. de la somme des angles dans un triangle)

c) Déduisons de a) et de b) que ω=2α: ω=360 − − =λ θ 360 −

(

) (

)

(

)

(

)

•

•

Marche à suivre pour résoudre les problèmes

1) Faire un dessin avec des légendes ; indiquer les données du problème.

2) Identifier dans le dessin les angles inscrits et les angles au centre. (hypothèse du théorème) 3) Écrire les égalités entre les mesures d’angles. (conclusion du théorème)

4) Utiliser ces égalités pour calculer les angles désirés.

De manière générale : Indiquer systématiquement le nom du théorème que vous utilisez.

Exercice 58

Soit O le centre du cercle.

Déterminer la valeur des angles α , δ et γ .

Exercice 59

Soit O le centre du cercle.

Déterminer la valeur des angles α , β et γ .

Exercice 60

Soit O le centre du cercle. [AD] est un diamètre du cercle.

Déterminer la valeur des angles α , β , et δ .

γ A B 25° δ O C α γ A B 50° β O C α 50° D A B C

•

Exercice 61

Soit O le centre du cercle. Calculer la valeur de l’angle ε.

Exercice 62

Soit O le centre du cercle.

ABCDE est un pentagone régulier. Calculer la valeur de l’angle λ.

Exercice 63

Démontrer le théorème suivant : (corollaire 1)

Si A, B et C sont trois points sur un cercle et que le segment [BC] est un diamètre du cercle, alors le triangle ABC est rectangle en A.

Exercice 64

Démontrer le théorème suivant : (corollaire 2)

Si des angles inscrits interceptent un même arc de cercle alors ils sont égaux.

Exercice 65

Soit O le centre du cercle. Déterminer la valeur des angles α , β , γ et δ . A B C D E λ • O a _a a a a ε • O O 55° 75° γ α • β δ A B C D F E

Exercice 66

Soit O le centre du cercle.

Déterminer la valeur des angles α , β , γ et δ .

Exercice 67

Démontrer le théorème suivant : (corollaire 3)

Si un quadrilatère est inscrit dans un cercle alors la somme des angles opposés est de 180°.

α + γ = 180° et β + δ = 180°

Exercice 68

Soit O le centre du cercle.

On donne le rayon du cercle r = 5 cm et α = 30°. Calculer la longueur x de l’arc de cercle intercepté par l’angle inscrit α.

Exercice 69

Les points E, F et G appartiennent au cercle de centre O et de rayon 3 cm.

Sachant que α =30, calculer l’aire de la surface ombrée.

G O α • • • • F E • x α A B C O • O 80° 30° α β δ γ • D A O

•

Exercice 70

Soit un demi-cercle de centre O et de diamètre AD=10

a) Calculer la longueur x de l’arc de cercle . b) Déterminer les angles du triangle CDI .

Exercice 71

Soit un demi-cercle de centre O et T un point sur le cercle. [AB]// [DE]

AT = 220 m DE = 750 m AB = 275 m Calculer l’aire du triangleTDE.

Exercice 72 *

Démontrer le théorème suivant :

Si le point P est à l’extérieur du cercle alors PA · PB=PC · PD

Démarche conseillée :

a) Montrer que les triangles PAD et PBC sont semblables .

b) Poser les rapports du théorème de Thalès pour les triangles PAD et PBC.

2.3.5 Ce qu’il faut absolument savoir

21♥ Connaître la définition d'un cercle et d'un disque ok

22♥ Connaître la définition d'une droite sécante et tangente à un cercle ok

23♥ Connaître la définition d'un angle au centre et d’un angle inscrit ok

24♥ Savoir reconnaître un angle au centre et un angle inscrit ok

25♥ Connaître la définition d'un arc de cercle, d'un secteur disque et d’un segment circulaire ok

26♥ Connaître les formules donnant l’aire et le périmètre d’un disque fonction du rayon ok

27♥ Connaître et appliquer les formules donnant la longueur d'un arc de cercle,

l'aire d'un secteur de disque en fonction de l’angle au centre ok

28♥ Connaître et appliquer le théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre ok

29♥ Démontrer le théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre ok

30♥ Connaître et appliquer les trois corollaires du théorème de l'angle inscrit

et de l'angle au centre ok P A B C D

•

•

•

•

•

2.4 Trigonométrie dans le triangle

rectangle

La trigonométrie (trigonos = à trois angles et metron = mesure) est une branche des mathématiques née dans l’antiquité pour résoudre des problèmes d’astronomie. L’un des premiers ouvrages de trigonométrie connus, l’Almageste, est un livre écrit par l’astronome grec Claude Ptolémée (90 –168 ap. J.-C.)

2.4.1 Définitions des rapports trigonométriques

Considérons un triangle ABC, rectangle en C avec des cotés de longueurs a, b et c. α et β sont deux angles complémentaires c’est-à-dire : α+β = 90°.

Dans le dessin ci-contre :

• le segment [BC] est le côté opposé à α et BC a= . • le segment [AC] est le côté adjacent à α et AC b= .

• le segment [AB] est l'hypoténuse du triangle rectangle et AB c= .

Les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle

À partir du triangle ABC rectangle en C, on définit les relations suivantes : Le sinus de l’angle α est le rapport entre les longueurs du côté opposé à α et de l’hypoténuse, c’est-à-dire sin( ) a

c

α = « sin-opp-hyp »

Le cosinus de l’angle α est le rapport entre les longueurs du côté adjacent à α et de l’hypoténuse, c’est-à-dire cos( ) b

c

α = « cos-adj-hyp »

La tangente de l’angle α est le rapport entre les longueurs des côtés opposé et adjacent à α, c’est-à-dire tan( ) a

b

α = « tan-opp-adj »

Remarques

a) Attention, ces définitions ne sont valables que dans un triangle rectangle. b) Les touches /symboles sur la calculatrice sont : SIN COS TAN .

Application / Activité

Calculer la hauteur h de l'arbre sachant que la personne mesure 1,80 m.

h 50° b α c a A B C β

Remarques

a) « Les rapports trigonométriques dépendent uniquement de la mesure de l’angle. »

Explication

b) « Les rapports trigonométriques ne dépendent pas des triangles particuliers dans lesquels

ils sont calculés » Explication

Définitions

Selon la figure ci dessus, si un observateur situé en un point X regarde un objet, alors l’angle que forme la ligne de visée avec l’horizontale l est l’angle d’élévation de cet objet, si l’objet se trouve au-dessus de l’horizontale, et l’angle de dépression de l’objet, si l’objet se trouve au-dessous de l’horizontale.

Remarques

a) Pour calculer la hauteur de l’arbre dans l’activité précédente nous avons utilisé un angle

d’élévation dont la mesure était de 50°.

b) Nous utiliserons cette terminologie dans les exercices qui suivent.

b=b’ α

a α’

a’ _tan

_{( )}

_{( )}

b b' α α α = ≠ = α ≠ a’ b α a b’

( )

Bricoler un « astrolabe » (utile pour mesurer un angle d'élévation ou de dépression)

Remarque

L’angle α indiqué par « l’astrolabe » correspond à l’angle d’élévation ou de dépression α que l’on cherche à déterminer (voir figure ci-contre).

α α α