Bissectrices égales.
Soient un triangle ABC (Cf. fig.1 pour fixer les notations). Soient respectivement E et F des points de [AC] et [AB] tels que (BE) et (CF) se coupent en un point I de la bissectrice de l'angle A.
Montrons que les longueurs BE et CF ne peuvent être égales que si le triangle ABC est isocèle ; le cas où (BE) et (CF) sont bissectrices des angles B et C est un cas particulier de cette proposition.
Si BE = CF, les cercles circonscrits aux triangles ABE et ACF ont le même diamètre 2R = BE/sin A = CF/sin A. La figure 2 représente un cercle de rayon 2R et deux triangles inscrits A1KL et A2KL respectivement égaux à AFC et ABE. A1 et A2 sont sur le même arc ; d'autre part ils sont distincts car A1KL = AFC = ABC + FCB > ABC > ABE = A2KL ; donc A1KL > A2KL.
Les bissectrices des angles A1 et A2 se coupent au point N, milieu de l'arc opposé à celui portant les points A1 et A2. Soient I1 et I2 les pieds de ces bissectrices. Les longueurs A1I1 et A2I2
sont égales car égales à AI. Soit S le point diamétralement opposé à N et supposons que les angles A1NS et A2NS soient différents, par exemple A1NS > A2NS (cas de la figure 2). Alors NA1 <NA2 et NI1 > NI2 ; donc A1I1 = NA1 – NI1 <NA2 – NI2 = A2I2. Les longueurs A1I1 et A2I2 ne peuvent être égales que lorsque les angles A1NS et A2NS sont égaux, c'est-à-dire quand (A1A2) est parallèle à (KL). Donc A2K = A1L, soit AB = AC. Le triangle ABC est isocèle.
