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D20324. Du circonscrit à l’inscriptible L’hexagone

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Academic year: 2022

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D20324. Du circonscrit à l’inscriptible

L’hexagoneA1A2A3A4A5A6 est circonscrit à la conique Γ.

Montrer que l’hexagoneB1B2B3B4B5B6 où B1 =A1A3∩A2A4, B2 =A2A4∩A3A5,

B3 =A3A5∩A4A6, B4 =A4A6∩A5A1, B5 =A5A1∩A6A2, B6 =A6A2∩A1A3,

est inscriptible dans une conique.

Solution

Dans l’hexagone A1A2A3A4A5A6, les droites A1A4, A2A5, A3A6 ont un point communO en vertu du théorème de Brianchon.

Les triangles A1A3A5 et A4A6A2 sont donc homologiques, ce qui implique que les points A6A2 ∩A3A5, A2A4 ∩A5A1, A4A6 ∩A1A3 sont en ligne droite. Ces points sont aussi les intersections B5B6∩B2B3,B1B2∩B5B4, B3B4∩B1B6; puisqu’ils sont alignés, par la réciproque du théorème de Pas- cal (dont le théorème de Brianchon est le dual) l’hexagoneB1B2B3B4B5B6

est inscriptible dans une conique.

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