LM270 UPMC 2009–2010 TE1
Universit´ e Pierre et Marie Curie 2009–2010 LM270, TE (Travail Encadr´e) n
◦1
Exercice 1. SoitS leR-espace vectoriel des suites r´eelles (un)n∈N v´erifiant la relation de r´ecurrence lin´eaire
un+2=un+1+ 2un.
Soita= (an)n∈Nl’´el´ement de S d´efini para0= 513/512 eta1=−255/256.
1. Montrer queS est unR-espace vectoriel de dimension 2.
2. Donner deux suites g´eom´etriques non nullesv= (pn)n∈Net w= (rn)n∈N(avecp6=r) appartenant `aS.
3. Montrer que les deux suites vetw forment une base deS.
4. D´eterminers, t∈Rtels quea=sv+tw.
5. Calculera15.
Exercice 2. Pour tout polynˆomeP ∈R[X], on noteP(i) lei-`eme polynˆome d´eriv´e deP, c.-`a.-d.,P(1)=P0et P(i+1)= (P(i))0 pouri≥1. On fixe un entierd≥2 et des r´eelsa1, . . . , ad. On consid`ere l’application
φ:R[X]→R[X], P 7→P+ Xd
i=1
aiP(i).
1. Montrer queφest lin´eaire et que pour toutn∈N,φenvoie le sous-espaceRn[X] des polynˆomes de degr´e
≤ndans lui-mˆeme.
2. Montrer queφest bijective.
Exercice 3. SoientB= (~i,~j,~k) la base canonique deR3 etul’endomorphisme deR3 d´efini par u(~i) =~i+ (1 +√
3)~j+ (1−√ 3)~k u(~j) = (1−√
3)~i+~j+ (1 +√ 3)~k u(~k) = (1 +√
3)~i+ (1−√ 3)~j+~k 1. ´Ecrire dans la baseB la matriceAdeu, puis celle deu2=u◦u.
2. SoitB0 = (v1, v2, v3) o`u v1 =√
3(~i−~j),v2 =~i+~j−2~k, v3=~i+~j+~k. Montrer queB0 est une base de R3 et ´ecrire la matrice de passageP deB`a B0.
3. Calculeru(vi) pouri= 1,2,3 et ´ecrire la matriceA0 deudans la baseB0.
4. Soient v ∈R3 et (x0, y0, z0) ses coordonn´ees dans la baseB0. D´eterminer les coordonn´ees de u(v) dans la base B.
Exercice 4. SoitA=
1 2 3 4 5
0 3 4 5 6
2 1 5 4 3
3 2 8/3 5 22/3
∈M4,5(R). R´esoudre au choix l’une des questions suivantes :
1. D´eterminer rang(A) et des bases de Im(A) et Ker(A).
2. D´eterminer rang(A) et des ´equations de Ker(A) et Im(A).
