1995-2

I

La moyenne arithm´ etico-g´ eom´ etrique M (a, b)

Remarque : Il n’est pas n´ecessaire de d´emontrer l’existence et la positivit´e de an et bn pour tout n, qui semble implicitement admise par l’´enonc´e. Si on tient `a le faire il suffit d’introduire l’application ϕ : (u, v) 7→ ((u+v)/2,√uv), de R<sub>+</sub>×R+→ R+×R+. Par le principe de r´ecurrence il existe une unique suite (an, bn)n `a valeurs dans R+ × R⁺ satisfaisant (a0, b0) = (a, b) et (a_n+1, b_n+1) = ϕ((a_n, b_n)) = ((a_n+ b_n)/2,√

a_nb_n).

1. (1) – Prouvons d’abord que la propri´et´e P(n) = bn< a_n est vraie pour n ≥ 1.

– a₁− b1= a + b 2 −√

ab = (√ a −√

b)²

2 > 0 puisque a 6= b. Donc P(1) est vrai.

– Supposons P(n) vrai, c’est `a dire an> b_n. Alors √a_n>√

b_n et donc an+1− bⁿ⁺¹= a_n+ b_n

2 −p

anbn= 1 2(√

a_n−√

bn)²> 0,

c’est `a dire que P(n + 1) est vrai. Ainsi par le principe de r´ecurrence P(n) est vrai pour tout n ≥ 1.

La fin de la d´emonstration n’utilise pas de r´ecurrence. Soit n ≥ 1. De bn< a_n on d´eduit

a_n+1 = a_n+ b_n

2 < a_n+ a_n

2 = a_n, et b_n=pb_npb_n≤pb_npa_n= b_n+1. Ainsi, pour n ≥ 1 on a 0 ≤ bn≤ bn+1< a_n+1< a_n.

– Enfin pour tout n ≥ 0 (et non pas seulement pour n ≥ 1) on a a_n+1− bn+1= a_n+ b_n− 2√

a_nb_n

2 ≤ a_n+ b_n− 2 min(an, b_n)

2 = |an− bn|

2 · (1)

Remarquons que l’in´egalit´e obtenue est large. L’in´egalit´e stricte demand´ee par l’´enonc´e est fausse lorsque a ou b est nul.

Si a = b tous les a_i et b_i sont ´egaux ; si 0 = b < a, les b_i sont tous nuls, et a_i = 2⁻ⁱa.

(2) La suite (an)_n≥1, d´ecroissante minor´ee par b1 est convergente, et (bn)_n≥1 croissante major´ee par a₁ l’est aussi. La majoration (1) donne par une r´ecurrence imm´ediate

0 ≤ an− bn≤ 2⁻ⁿ|a − b| (2)

pour tout n ≥ 1. On en d´eduit 0 = lim(an− bn) = lim a_n− lim bn.

2. – Soit k fix´e et, pour n ≥ 0, a^′n= a_n+k et b^′_n= b_n+k. Le couple (a^′_n, b^′_n) satisfait la relation de r´ecurrence

a^′_n+1= a^′_n+ b^′_n

2 , b^′_n+1=pa^′_nb^′_n et la condition initiale (a^′₀, b^′₀) = (a_k, b_k).

Par d´efinition de M on a donc M (a_k, b_k) = lim

n→+∞a^′_n= lim

n→+∞a_n+k = lim

n→+∞a_n= M (a, b).

– La permutation de a et b ne change pas les valeurs de a_n et b_n pour n ≥ 1, donc M (b, a) = M (a, b).

– Si on multiplie a et b par un mˆeme λ > 0, par une r´ecurrence imm´ediate, tous les a_net b_n sont multipli´es par λ, et donc aussi leur limite. C’est `a dire que M (λa, λb) = λM (a, b).

De ce dernier point on d´eduit encore, en choisissant λ = a, M (a, b) = aM

 1,b

a



= af b a

 .

3. (1) u0= 1 et v0 = x sont continues et positives. Supposons un et vn continues positives.

Alors u_n+1= (u_n+ v_n)/2 et v_n+1 = √u_nv_n sont encore continues et positives (car x 7→√

x est continue sur R₊).

(2) Lorsque a = 1 et b = x la majoration (2) s’´ecrit

0 ≤ un(x) − vn(x) ≤ 2⁻ⁿ|1 − x| (n ≥ 1).

Puisque f (x) est limite de la suite d´ecroissante (u_n(x))_n≥1 et de la suite croissante (v_n(x))_n≥1, on a pour tout n ≥ 1 vn(x) ≤ f(x) ≤ un(x) et donc,

0 ≤ un(x) − f(x) ≤ un(x) − vn(x) ≤ 2⁻ⁿ|1 − x| (3) (3) Si x appartient `a l’intervalle ferm´e born´e [0, A], on a

|1 − x| ≤ 1 + A.

Avec la majoration (3) ci dessus on en d´eduit 0 ≤ un(x) − f x) ≤ 2⁻ⁿ(1 + A) qui prouve la convergence uniforme de la suite (u_n) sur [0, A]. La restriction de f `a [0, A]

est donc continue. A ´etant arbitraire f est continue sur R₊.

4. Puisque f (x) est limite de la suite d´ecroissante (u_n(x))_n≥1et de la suite croissante (v_n(x))_n≥1 on a v₁(x) ≤ f(x) ≤ u1(x) c’est `a dire √

x ≤ f(x) ≤ 1 + x

2 . En rempla¸cant x par 1 dans cet encadrement on obtient f (1) = 1. Puis, pour x > 1,

√x − 1

x − 1 ≤ f (x) − 1 x − 1 ≤

1+x 2 − 1 x − 1 · Puisque les fonctions x 7→ √

x et x 7→ ^1+x₂ sont d´erivables en 1, de d´eriv´ee 1/2, lorsque x → 1 les deux termes extrˆemes de cet encadrement tendent vers 1/2. Lorsque x → 1 par valeurs plus petites que 1 le mˆeme raisonnement en changeant le sens des in´egalit´es montre que le taux d’accroissement (f (x) − 1)/(x − 1) tend encore vers 1/2. Ainsi f est d´erivable en 1 de d´eriv´ee 1/2.

5. (1) Si b = 0 les b_n sont tous nuls et M (a, 0) = 0. En particulier f (0) = M (1, 0) = 0. De f (x) ≥√

x on d´eduit f (x)/x ≥ 1√x et lim_x→0f (x)/x = +∞. La fonction f n’est pas d´erivable en 0 mais son graphe poss`ede une tangente verticale au point (0, 0).

(2) On a xf (1/x) = xM (1, 1/x) = M (x, 1) = M (1, x) = f (x).

(3) Il en r´esulte que :

x→∞lim f (x)

x = lim

x→∞f1 x



= lim

x→0f (x) = 0 Vu f (x) ≥√

x, lim_x→∞f (x) = +∞ et f admet une branche parabolique horizontale au voisinage de l’infini.

6. u₀ = 1 et v₀ = x sont croissantes. Si u_n et v_n sont croissantes il en est de mˆeme de u_n+1= (u_n+ v_n)/2 et v_n+1 = √u_nv_ncar le produit de deux fonctions croissantes positives est croissante. Ainsi u_n est croissante pour tout n. Si x ≤ y on a donc un(x) ≤ un(y) pour tout n, et, par prolongement des in´egalit´es par passage `a la limite on obtient f (x) ≤ f(y).

7. Le programme sage ci dessous d´efinit la fonction f et affiche les valeurs demand´ees : def f(x) :

u, v = 1.0, x

while abs(u-v) > 10^(-5) : u,v = (u+v)/2, sqrt(u * v) return (u+v)/2

[f(x) for x in [0.01, 0.1, 0.2, 0.6, 0.8, 2, 3, 10, 100]]

Voici ces valeurs (arrondies `a la pr´ecision 10⁻³) ainsi que le graphe demand´e :

0,01 0,1 0,2 0,4 0.6 0.8 2 3 10 100 0,262 0,425 0,521 0,666 0,787 0,897 1,457 1,864 4,250 26,217

0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.5 1 1.5 2

II

Expression de M(a, b) par une int´ egrale elliptique

1. Convergence et propri´et´es des int´egrales I et J (1) L’int´egrale

Z _+∞

0

dt

p(t²+ a²)(t²+ b²) est impropre en la borne +∞ (ce n’est pas une int´egrale impropre en 0 car a et b sont non nuls). Quand t → +∞, l’int´egrande est positif et ´equivalent `a t⁻². L’int´egrale impropre I est donc de mˆeme nature que l’int´egrale R_+∞

1 t⁻²dt, donc convergente. Puisque l’int´egrande est pair Z 0

−X

dt

p(t²+ a²)(t²+ b²) = Z X

0

dt

p(t²+ a²)(t²+ b²)·

En faisant tendre X vers l’infini, on en d´eduit la convergence de la premi`ere int´egrale impropre ci dessous, et l’´egalit´e

Z 0

−∞

dt

p(t²+ a²)(t²+ b²) = Z _+∞

0

dt

p(t²+ a²)(t²+ b²)· Ceci donne la convergence de J et l’´egalit´e J = 2I.

(2) La fonction θ 7→ tan θ est une bijection croissante de [0, π/2[ sur [0, +∞[, de d´eriv´ee b/ cos²θ. Le changement de variable t = b tan θ donne

I(a, b) = Z ^π₂

0

1 s

b²sin²θ cos²θ + a²

 b² cos²θ

b dθ cos²θ =

Z ^π₂

0

dθ

p(a²cos²θ + b²sin²θ)·

En particulier, si a = 1 et b = x, g(x) = Z ^π₂

0

dθ

p(cos²θ + x²sin²θ)· La fonction

(x, t) 7→ dθ

p(cos²θ + x²sin²θ) est une fonction continue de ]0, +∞[×[0, π/2] ainsi

que sa d´eriv´ee partielle par rapport `a x : (x, t) 7→ − x sin(t)²

(cos(t)²+ x²sin(t)²)^3/2· Par le th´eor`eme de d´erivation d’une int´egrale d´ependant d’un param`etre, g est continˆuement d´erivable sur R^∗₊, de d´eriv´ee

g^′(x) = Z π/2

0 − x sin(t)²

(cos(t)²+ x²sin(t)²)^3/2 dt.

(3) On a ´evidemment I(a, b) = Z _∞

0

dt

p(t²+ a²)(t²+ b²) = I(b, a). L’´egalit´e I(λa, λb) = λ⁻¹I(a, b) r´esulte de la formule d´emontr´ee en II.1.2 par lin´earit´e de l’int´egrale. Enfin, appliquant ce dernier r´esultat avec λ = a on obtient

I(a, b) = I(a × 1, a × b/a) = a⁻¹I(1, b/a) = a⁻¹g(b/a), ce qui donne aussi la continuit´e de la fonction (a, b) 7→ I(a, b).

2. (1) Par d´efinition

Ja + b 2 ,√

ab

= Z _∞

−∞

ds q

s²+ ^a+b₂
2√

s²+ ab Le changement de variable s = 1

2

 t − ab

t



donne ds dt = 1

2

 1 + ab

t²



dt puis

Ja + b 2 ,√

ab

= 1

2 Z _∞

0

1 +^ab_t2

q1

4(t −^ab_t)²+^(a+b)₄ ²q

1

4(t − ^ab_t )²+ ab dt

= 2 Z _∞

0

t²+ ab

p(t²− ab)²+ t²(a + b)²p(t²− ab)²+ 4abdt

= 2 Z _∞

0

dt

p(t²+ a²)(t²+ b²) = 2I(a, b) = J(a, b) Ainsi on aJa + b

2 ,√ ab

= J(a, b) et donc aussi Ia + b 2 ,√

ab

= I(a, b). Puis, par une r´ecurrence imm´ediate I(a_n, b_n) = I(a, b) pour tout n.

(2) Puisque I(a_n, b_n) = I(a, b) pour tout n, on a I(a, b) = lim I(a_n, b_n). Notons M = M (a, b). Par II.1.3, (a, b) 7→ I(a, b) est continue. On peut donc ´ecrire

I(a, b) = lim I(a_n, b_n) = I(lim(a_n, b_n))

= I(M, M ) = Z π/2

0

√ dθ

M²cos²θ + M²cos²θ = π 2M

c’est `a dire I(a, b)M (a, b) = π/2. Choisissant (a, b) = (1, x) cela donne g(x)f (x) = π/2. En particulier, f = π/2g est de classe C¹ sur ]0, ∞[, puisque g est de classe C¹ et ne s’annule pas.

3. (1) Le changement de variable s = x/t donne dt = −x ds/s² et Z ^√_x

0

dt

p(t²+ 1)(t²+ x²) = − Z ^√_x

∞

x ds s²

q

(^x_s2² + 1)(^x_s²2 + x²)

= Z _∞

√x

ds

p(s²+ 1)(s²+ x²)· On en d´eduit

g(x) = Z ^√_x

0

dt

p(t²+ 1)(t²+ x²)+ Z _∞

√x

dt

p(t²+ 1)(t²+ x²) = 2 Z ^√_x

0

dt

p(t²+ 1)(t²+ x²)·

(2) Sur l’intervalle [0,√

x] on a 1 ≤ 1 + t²≤ 1 + x et donc

√ 1 1 + x

Z ^√_x

0

√2 dt

t²+ x² ≤ Z ^√_x

0

2 dt

p(1 + t²)(t²+ x²) ≤ Z ^√_x

0

√2 dt t²+ x² c’est `a dire

√h(x)

1 + x ≤ g(x) ≤ h(x).

Puisque lim_x→0√

1 + x = 1, g(x) est ´equivalent `a h(x) au voisinage de 0.

(3) On calcule h(x) par le changement de variable t = xu soit u = t x : h(x) = 2

Z ^√_x

0

√ dt

t²+ x² = 2 Z √¹

x

0

√ du 1 + u²

= 2 arcsh 1

√x

= 2 ln 1

√x + r

1 +1 x



= 2 ln 1

√x(1 +√

x + 1)

= − ln x + 2 ln(1 +√

1 + x) ∼ − ln x au voisinage de 0, car lim_x→0ln(1 +√

1 + x)/ ln x = 0.

(4) Au voisinage de x = 0, les ´equivalences g(x) ∼ h(x) et h(x) ∼ − log x donnent f (x) = π

2 1 g(x) ∼ π

2 1

h(x) ∼ − π 2 ln x·

Quand x tend vers l’infini (et donc 1/x vers 0) cela donne, en utilisant I.5.2, f (x) = xf 1

x



∼ −π 2

x

ln(1/x) ∼ π 2

x ln x· III

Expression de π en fonction de f et f

Si x ∈]0, 1[ on a u0 = 1 > x = v₀ et, par I.1.1 u_n > v_n ≥ 0 pour n ≥ 1. Pour tout n ≥ 0, w_n=pu²_n− vn² > 0 et k_n= 2⁻ⁿln un

w_n sont donc bien d´efinis.

1. (1) Par d´efinition de u_n+1= u_n+ v_n

2 et v_n+1= √u_nv_non a u²_n+1− v²n+1= u²_n+ v²_n+ 2u_nv_n− 4unv_n

4 = (u_n− vn)² 4 et donc w_n+1=

q

u²_n+1− vn+1² = u_n− vn

2 · Il en r´esulte M (un+1, wn+1) = M un+ v_n

2 ,u_n− vn

2



= 1

2M (un+ vn, un− vⁿ) (4) L’´egalit´e M (a, b) = M (^a+b₂ ,√

ab) avec a = u_n+ v_n et b = u_n− vn donne M (u_n+ v_n, u_n− vn) = M (u_n,pu²_n− vn²) = M (u_n, w_n), qui, avec (4) donne M (un+1, wn+1) = 1

2M (un, wn). Une r´ecurrence imm´ediate donne M (u_n, w_n) = 1

2M (u_n−1, w_n−1) = 1

2²M (u_n−2, w_n−2) . . .

= 1

2ⁿM (u₀, w₀) = 1 2ⁿfp

1 − x²

(2) Vue l’´equation M (a, b) = af (_a^b) (question (I.2)) l’´egalit´e d´emontr´ee dans la question pr´ec´edente s’´ecrit encore

u_n(x)f wn(x) un(x)



= 1 2ⁿf (p

1 − x²) ou 2ⁿf wn(x) un(x)



= f (√ 1 − x²) un(x) · Puisque lim_n→∞u_n(x) = f (x) ≥√

x > 0 on en d´eduit

n→∞lim 2ⁿf wn(x) u_n(x)



= f (√ 1 − x²) f (x) ·

(3) Comme lim_n→∞w_n= lim_n→∞pu_n² − v²n= 0 et lim_n→∞u_n= f (x) 6= 0 on a

n→∞lim w_n(x)

u_n(x) = 0.

Puisque lim_n→∞w_n/u_n= 0, il r´esulte de la question II.3.4 que f w_n

u_n



∼ −π 2

1 ln

wn

uⁿ



Avec le r´esultat de la question pr´ec´edente question on en d´eduit f (√

1 − x²)

f (x) = lim

n→∞2ⁿf wn

un



= lim

n→∞−π 2

2ⁿ ln

wn

un

 = lim

n→∞

π 2

1 kn(x)

puis lim_n→∞k_n(x) = π 2

f (x) f (√

1 − x²)· 2. (1) u₁ = √

x et v₁ = (1 + x)/2 sont des fonctions d´erivables `a d´eriv´ees strictement positives sur ]0, 1[. Par r´ecurrence u^′_n+1= (u^′_n+ v_n^′)/2 et v_n+1^′ = u_nv^′_n+ u^′_nv_n

√unvn

sont aussi strictement positives sur ]0, 1[, pour tout n ≥ 0.

(2) De kn= 2⁻ⁿlog(un/wn) = 2⁻ⁿ(log un− log wⁿ) on tire k_n^′ = 2⁻ⁿ u^′_n

u_n −w^′_n w_n



· (5)

De w_n=pu²_n− v²nil r´esulte w_n^′ = unu^′_n− vⁿv^′_n

w_n . Reportons cette expression dans (5) k^′_n

v_n² = 2⁻ⁿ v_n²

 u^′_n

u_n −u_nu^′_n− vnv^′_n w²_n



= u^′_n

u_n −u_nu^′_n− vnv^′_n u²_n− v²n



= 2⁻ⁿu_nv^′_n− u^′nv_n u_nv_nw²_n · (6) Rempla¸cons n par n + 1 dans (5) et divisons les deux membres par v²_n+1,

k^′_n+1

v²_n+1 = 2⁻ⁿ⁻¹ v²_n+1

u^′_n+1

un+1 −w_n+1^′ wn+1



·

Nous avons d´emontr´e dans la question III.1.1 que w_n+1= ^un−v₂ ⁿ. En utilisant v²_n+1= u_nv_n, u_n+1= (u_n+ v_n)/2 et w_n par (u_n− vn)/2 on obtient

k_n+1^′

v²_n+1 = 2⁻ⁿ⁻¹ u_nv_n

 u^′_n+ v_n^′

u_n+ v_n −u^′_n− v^′n

u_n− vn



= 2⁻ⁿu_nv_n^′ − u^′nv_n

u_nv_nw_n² · (7) La comparaison de (6) et (7) donne k^′_n+1

v²_n+1 = k_n^′ v_n²·

(3) Le r´esultat pr´ec´edent donne par une r´ecurrence imm´ediate k_n^′ v²_n = k^′₀

v₀² soit k_n^′ = k^′₀

v₀²v²_n= v²_n x(1 − x²) car u_o= 1 et v₀ = x donnent k₀= ln 1

√1 − x² et k^′₀ = x 1 − x²·

(4) Sur le compact K, 1/(x(1 − x²)) est born´ee par une constante M . D’o`u 

k^′_n(x) − f²(x) x(1 − x²)

=    

v_n²(x) − f²(x) x(1 − x²)

≤ M|v²n(x) − f²(x)|

= M |vn(x) − f(x)| |vn(x) + f (x)| (8) Pour x ∈ K ⊂ [0, 1] on a f(x) ≤ f(1) = 1, et |vn(x) + f (x)| ≤ 2. De plus, par I.1.1 on a 0 ≤ f(x) − vⁿ(x) ≤ uⁿ(x) − vⁿ(x) ≤ 2⁻ⁿ(1 − x) ≤ 2⁻ⁿ. Avec (8) cela donne

k^′_n(x) − f²(x) x(1 − x²)

≤ 2¹⁻ⁿM qui prouve la convergence uniforme de (k^′_n) vers x 7→ f²(x)

x(1 − x²) pour x ∈ K.

3. (1) Par (III.1.3) (kn) converge simplement sur ]0, 1[ vers x 7→ π 2

f (x) f (√

1 − x²)· Sur tout compact K ⊂ ]0, 1[, (k^′n(x)) converge uniform´ement vers f²(x)/(x(1 − x²). Par le th´eor`eme de d´erivation terme `a terme d’une suite de fonctions,

π 2

 f (x) f (√

1 − x²)

_′

= (lim kn(x))^′ = lim k_n^′(x) = f²(x)

x(1 − x²)· (9) (2) La d´eriv´ee du premier membre est

π 2

 f (x) f (√

1 − x²)

_′

= π 2

f^′(x)f (√

1 − x²) + f (x)f^′(√

1 − x²)√ ^x 1−x²

f²(√

1 − x²) ·

Avec (9) cela donne l’´equation fonctionelle f²(x)

x(1 − x²) = π 2

f^′(x)f (√

1 − x²) + f (x)f^′(√

1 − x²)√ ^x 1−x²

f²(√

1 − x²) ·

Avec x₁ = x et x₂ =√

1 − x², ceci s’´ecrit plus agr´eablement f²(x₁)f²(x₂)

x₁x₂ = π

2 x₂f^′(x₁)f (x₂) + x₁f (x₁)f^′(x₂)
· Faisant x = x₁= x₂ = √¹

2 dans cette ´equation on obtient le r´esultat.

IV

Approximation de π.

1. (1) Soit x ∈ K. Partant de 0 ≤ un(x) − vn(x) ≤ 2⁻ⁿ,la division par v_n(x) donne 0 ≤ yn(x) − 1 = u_n(x) − vn(x)

vn(x) ≤ 2⁻ⁿ

vn(x) ≤ 2⁻ⁿ

v1(x) = 2⁻ⁿ

√x ≤ mK2⁻ⁿ, avec m_K un majorant sur K de la fonction continue 1/√

x. Puisque m_K2⁻ⁿtend vers 0 et ne d´epend pas de x cela prouve la convergence uniforme sur K de (y_n) vers 1.

(2) Par d´efinition de u_n+1= u_n+ v_n

2 et v_n+1= √u_nv_n, y_n+1= u_n+1

v_n+1 = u_n+ v_n 2√u_nv_n·

La premi`ere ´egalit´e en d´ecoule en divisant num´erateur et d´enominateur par vn. z_n+1 = v_n+1^′

u^′_n+1 = (√u_nv_n)^′ u^′_n+ v_n^′

2

= u^′_nv_n+ u_nv_n^′

√u_nv_n(u^′_n+ v_n^′)

donne la deuxi`eme ´egalit´e en divisant num´erateur et d´enominateur par u^′_nv_n. (3) Pour n = 1, z₁ = v^′₁

u^′₁ = (√ x)^′

(1 + x)^′/2 = 1

√x > 1. Supposons z_n≥ 1, alors

z_n+1− 1 = 1 + ynzn−√yn− zⁿ√yn

(1 + z_n)√y_n

= (√yn− 1)(zⁿ√yn− 1) (1 + zn)√yn ≥ 0

car y_n≥ 1. Par r´ecurrence on a donc zn≥ 1 pour tout n, soit u^′n≤ vn^′ puis u^′_n+1= u^′_n+ v_n^′

2 ≥ 2u^′_n 2 = u^′_n (4) L’in´egalit´e √y_n≤ yn d´ecoule de y_n≥ 1.

Puis zn+1= 1 + ynzn

(1 + z_n)√y_n ≤ yn+ znyn

(1 + z_n)√y_n ≤ yn

√y_n donne zn+1≤√yn. Enfin y_n+1

zn+1 − 1 = (1 + y_n)(1 + z_n)

2(1 + ynzn) − 1 = −1 + yn+ z_n− ynz_n

2(1 + ynzn) = −(y_n− 1)(zn− 1) 2(1 + ynzn) ≤ 0.

Ces in´egalit´es donnent en particulier yn+1 ≤ zⁿ ≤ yⁿ. Comme les yn convergent uniform´ement vers 1 sur K, les z_n convergent uniform´ement vers 1.

(5) De v_n+1 = √u_nv_n on d´eduit v^′_n+1= u^′_nv_n+ u_nv_n^′

2√u_nv_n puis, avec la d´efinition z_n= v_n^′ u^′_n, v_n+1^′

v_n^′ = vn+ znun

2z_n√u_nv_n =

1 zn + y_n

2√y_n On a donc vn+1 ≤ v^′nsi et seulement si 1

z_n + yn≤ 2√ync’est `a dire si et seulement si (√yn− 1)² ≤ 1 − 1

z_n = z_n− 1 z_n Or par IV.1.4

1 − 1

z_n ≥ 1 − 1

y_n ≥ 1 − 1

√y_n =

√y_n− 1

√y_n et il suffit donc que 1

√y_n ≥√y_n− 1 soit encore√y_n(√y_n−1) ≤ 1. Cette condition est assur´ee pourvu que, pour x ∈ K on ait 1 ≤ yn≤ 2. Puisque ynconverge uniform´ement vers 1 sur K, ceci est vrai `a partir d’un certain entier n₀.

Alors pour n ≥ n0 et x ∈ K on a vn(x) ≥ v^′n0(x) et donc

0 ≤ v^′n(x) − u^′n(x) = u^′_n(x)(z_n(x) − 1) ≤ v^′n(x)(z_n(x) − 1) ≤ v^′n⁰(x)(z_n(x) − 1),

et enfin, si M0 est un majorant de v^′_n0 sur K,

0 ≤ vn^′(x) − u^′n(x) ≤ M0(z_n(x) − 1). (10) Pour tout x ∈ K, (vn^′(x))_n≥n0 est une suite d´ecroissante `a termes positifs, donc convergente. Soit ℓ(x) sa limite. Par (10), pour x ∈ K, limn→∞|u^′n(x) − v^′n(x)| = 0.

On a donc aussi lim_n→∞u^′_n(x) = l(x). Comme la suite des (v_n^′)_n≥n0 est d´ecroissante, et la suite des (u^′_n(x)) croissante, on a

u^′_n(x) ≤ ℓ(x) ≤ vn^′(x), et 0 ≤ ℓ(x) − u^′n(x) ≤ v^′n(x) − u^′n(x) ≤ M0(z_n(x) − 1) . La convergence uniforme uniforme sur K de zn vers 1 donne a convergence uniforme de u^′_n vers ℓ. On obtient de la mˆeme fa¸con la convegence uniforme de (v_n^′) vers ℓ.

2. (1) Comme les u_n et les u^′_n convergent uniform´ement, la limite des u^′_n est la d´eriv´ee de la limite des u_n, c’est `a dire la d´eriv´ee de f . On a donc

2√ 2 lim

n→∞

v_n² √¹

2
un √1 2

u^′_n √¹

2

= 2√ 2

f³

√1 2

 f^′

√1 2



(2) Par III.3.2 et la question pr´ec´edente, π = lim π_n, avec

π_n−1= 2√ 2v²_n √¹

2
u_n √¹ 2

u^′_n √¹

2

·

Notons x₁ = 1/√

2. Alors π₀ = 2√

2(v²₁(x₁)u₁(x₁))/u^′₁(x₁) = 2 +√

2. En notant u_n (resp. u^′_n, vn, v_n^′) pour un(x1) (resp. u^′_n(x1), vn(x1), v_n^′(x1)) on a

π_n

π_n−1 = u_n+1u^′_n u^′_n+1vn

= (u_n+ v_n)u^′_n (u^′_n+ v^′_n)vn

= 1 + y_n 1 + zn·

Autrement dit, π est la limite de la suite (π_n) de premier terme x₀ = 2 +√ 2 et v´erifiant la r´ecurrence π_n= 1 + y_n(1/√

2) 1 + z_n(1/√

2)· 3. (1) On a

y_n+1− 1 = 1 + yn− 2√yn

2√yn

= (√yn− 1)² 2√yn

(11) Pour n = 0, vu y0 = 1/x, cela donne

y₁(1/√

2) = 0.015051 . . . < 0.016 = 8

500· (12)

De (11) on d´eduit y_n+1− 1 = 1 2√y_n

(y_n− 1)² (1 + √y_n)² ≤ 1

8(y_n− 1)² car y_n ≥ 1, puis par r´ecurrence 0 ≤ yn+1− 1 ≤ (y₁− 1)²ⁿ

8²ⁿ⁻¹ = 8 y1− 1 8

2ⁿ

et enfin avec (12)

0 ≤ yn+1(1/√

2) − 1 ≤ 8 y₁(1/√ 2) − 1 8

!2ⁿ

≤ 8(500)⁻²ⁿ.

(2) Puisque yn≤ zⁿ (IV.1.4) et πn= π_n−1(1 + yn)/(1 + zn) la suite (πp) est d´ecroissante.

En utilisant z_p+1≥ 1 on obtient ensuite 0 ≤ πp− πp+1 = π_pz_p+1− yp+1

1 + zp+1 ≤ π_p

2 (z_p+1− yp+1) ≤ π₀

2 (z_p+1− yp+1)·

La majoration z_p+1≤ yp (IV.1.4) donne alors π_p− πp+1≤ π₀

2 (y_p− yp+1) puis 0 ≤ πn+1− πn+k =

k−1X

i=1

(π_n+i− πn+i+1) ≤ π₀ 2

k−1X

i=1

(y_n+i− yn+i+1)

= π₀

2 (y_n+1− yn+k) et, en faisant tendre k vers l’infini, 0 ≤ πⁿ⁺¹− π ≤ π0

2 (yn+1− 1) ≤ 4π⁰(500)⁻²ⁿ· (3) Pour que πn+1− π soit inf´erieur `a 10^−1000000 il suffit que 2ⁿln 500 ≥ 10⁶ln 10 + ln 4π0

donc que n ≥ 19. Ainsi π20approche π `a moins de 10<sup>−1000000</sup> pr`es.

La programme sage ci dessous calcule les n premiers π_i. def itere(n) :

RR = RealField(200) ; x = RR(1/sqrt(2)) y = (1+x)/(2*sqrt(x))

z = 1/sqrt(x) pi = RR(2+sqrt(2)) print pi

for i in range(n) :

pi , y , z = pi*(1+y)/(1+z), (1+y)/sqrt(y)/2, (1+y*z)/(1+z)/sqrt(y) print pi

itere(6)

3.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731767 3.1426067539416226007907198236183018919713562462771672539111 3.1415926609660442304977522351203396906792842568645289058336 3.1415926535897932386457739917571417940347896238674518419432 3.1415926535897932384626433832795028841972241204665627203933 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749

Quelques th´ eor` emes utilis´ es

Th´eor`eme 1 Toute fonction continue d´efinie sur un compact K est born´ee.

Th´eor`eme 2 (Th´eor`eme de la limite monotone) Pour qu’une suite croissante (u_n) (resp.

d´ecroissante) soit convergente il faut et il suffit qu’elle soit major´ee (resp. minor´ee). Si cela est v´erifi´e lim u_n= sup {un, n ≥ 0}.

Th´eor`eme 3 Soit X un espace norm´e de dimension finie, et (un)n une suite de fonctions continues sur X qui converge uniform´ement vers u. Alors u est une fonction continue sur X.

Th´eor`eme 4 Soit (un)n une suite de fonctions d´erivables sur l’intervalle I, qui converge en un point x₀ de I, et telle que la suite des d´eriv´ees (u^′_n)_n soit uniform´ement convergente sur tout intervalle compact contenu dans I. Alors (u_n) converge simplement sur I vers une fonction u.

La convergence est uniforme sur tout intervalle born´e de I, et, de plus, pour tout x ∈ I, u^′(x) = lim

n→∞u^′_n(x).

Th´eor`eme 5 Soit I un intervalle r´eel, et f : [a, b] × I → C une fonction continue ainsi que la d´eriv´ee partielle (t, x) 7→ ∂f

∂x(t, x). Alors la fonction g d´efinie par g(x) =

Z b a

f (t, x) dt est une fonction de classe C¹ sur I et sa d´eriv´ee est donn´e par

g^′(x) = Z _b

a

∂f

∂x(t, x) dt.

Th´eor`eme 6 Soit f et g deux fonctions continues et positives sur [0, +∞], avec f(t) ∼ g(t) lorsque t → ∞. Alors les int´egrales impropres

Z _∞

0

f (t) dt,

Z _∞

0

g(t) dt sont de mˆeme nature.

Sottisier

– Le produit de deux fonctions croissantes n’est pas une fonction croissante : sur R, x 7→ x est croissante mais x 7→ x² n’est pas croissante. En revanche le produit de deux fonctions croissantes positives est une fonction croissante.

– Le (( th´eor`eme des suites adjacentes )), utilis´e par beaucoup, n’est pas tr`es utile. Le th´eor`eme important et utile est le th´eor`eme de la limite monotone.

– Pour a, b > 0 dire que l’int´egrale Z 1

0

dt

p(t²+ a²)(t²+ b²)

(( converge en 0 )) c’est une absurdit´e. Il s’agit d’une int´egrale ordinaire (cf. article Analogies entre int´egrales impropres et s´eries num´eriques).

– Dire que la fonction x → un(x) est une fonction croissante ce n’est pas dire que u_n(x) ≤ u_n+1(x) mais que, chaque fois que x ≤ y, on a un(x) ≤ un(y).