• Aucun résultat trouvé

Faites de mˆeme en utilisant un polynˆome de degr´e 3

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Partager "Faites de mˆeme en utilisant un polynˆome de degr´e 3"

Copied!
1
0
0

Texte intégral

(1)

Mod. num. Interpolation et approximation polynˆomiale L3 2016/2017 Exercice 1. D´eterminer la droite de r´egression lin´eaire approchant les points

(1,3),(2,5),(3,6),(4,7),(5,7),(6,10),(10,15)

Faites de mˆeme en enlevant le point d’abscisse 10, et comparer l’extrapolation de la droite au point avec la valeur de l’ordonn´ee 15. Faites de mˆeme en utilisant un polynˆome de degr´e 3.

Exercice 2. D´eterminer le polynˆome d’interpolation passant par les points (1,3),(2,2),(4,1),(5,4),(6,3)

en ex´ecutant `a la main l’algorithme des diff´erences divis´ees. Calculer sa valeur en 3. Programmer l’algorithme des diff´erences divis´ees et d’´evaluation rapide en un point.

Exercice 3. On cherche `a approcher la fonctionf(x) = sin(πx) sur [−1,1] par un polynˆome.

1. D´eterminer la valeur exacte de f(k/6) pourk∈[−6,6] puis une valeur approch´ee.

2. D´eterminer le polynˆome de Lagrange correspondant `a ces 13 points, puis une majoration de l’erreur commise, en fonction dex, puis uniforme. Repr´esenter graphiquement l’erreur.

3. Faire le mˆeme calcul avec 7 points de Tchebyshev.

Exercice 4. On cherche `a approcher la fonction erfpar un polynˆome sur des intervalles de R+. Pr`es de 0, on peut utiliser le d´eveloppement de Taylor, pr`es de l’infini son d´eveloppement asymptotique. Mais pour x entre disons 1 et 10, aucun des deux d´eveloppements ne converge assez vite. Proposez une m´ethode d’approximation bas´ee sur une interpolation qui donne une pr´ecision raisonnable (disons1e-8).

Exercice 5. Illustrer le ph´enom`ene de Runge avec la fonction 1/(1 + 25x2) interpol´ee sur [−1,1]

par de plus en plus de points ´equidistants. V´eifiez qu’il ne se produit pas en prenant des points de Tchebyshev.

Exercice 6. D´eterminer le polynˆome d’interpolation aux points (a, f(a)),(a+b2 , f(a+b2 )),(b, f(b)).

Calculer et factoriser son int´egrale entreaet b(formule de Simpson).

Exercice 7. 1. Calculer le polynˆome caract´eristique d’une matrice de taille n en utilisant l’interpolation du d´eterminant en 0, ..., n (´ecrire un programme et l’ex´ecuter pour une matrice al´eatoire de taille 100 par exemple).

2. Combien d’op´erations (en fonction de n) faut-il effectuer pour d´eterminer ce polynˆome (on suppose le calcul du d´eterminant en une valeur deλfait num´eriquement) ?

3. Tester ensuite la factorisation du polynˆome caract´eristique pour une matrice de taille pas trop petite (al´eatoire ou matrice companion d’un polynˆome) et comparer avecegvl. Est- ce une bonne id´ee de calculer les racines du polynˆome caract´eristique pour diagonaliser une matrice ?

Exercice 8. On consid`ere le produit scalairef.g=R1

−1f(t)g(t)dtsur les fonctions continues de [−1,1]→R. Construire une base orthonormale de 5 polynˆomes de degr´e 0, 1, 2, 3 et 4. SoitP le projet´e de la fonctionf(x) = ln(2 +x) sur cette base, repr´esenterP etf sur le mˆeme graphe.

Quelle est la distance def `a l’espace des polynˆomes de degr´e≤4 ?

Exercice 9. D´eterminer la meilleure approximation lin´eaire sur [0,1] def(x) =x5+x3au sens de la normeL puis au sens de la normeL2.

Exercice 10. On donne les points (0,2),(1,1),(2,2/3),(3,1/2),(4,1/3),(10,1/10). Chercher des fonctions approchant au mieux ces points au sens des moindres carr´es. Comparer les erreurs.

Exercice 11. On veut ´editer une table de cosinus en degr´es qui permette de d´eterminer la valeur de cos par interpolation lin´eaire entre deux valeurs successives du tableau avec une erreur d’au plus1e-6. Combien d’entr´ees sont-elles n´ecessaires dans la table ?

1

Références

Documents relatifs

Le rang de f est au plus 2 puisque le d´ eterminant de f est nul, et les deux premi` eres colonnes sont non proportionnelles, donc le rang de f vaut 2.. La trace de f

Soit A, B deux polynˆome non nuls, on effectue les divisions euclidiennes suc- cessives des quotients par leurs restes, jusqu’`a arriver `a un reste nul, alors le dernier reste non

Un exemple un peu long: Sous-espace stable engendr´e par un vecteur non nul Soit x un vecteur non nul d’un espace vectoriel E de dimension finie n sur K, et soit a ∈ L(E) ; on

Dans ces deux exemples la matrice (dans la base canonique de R 2 ou C 2 ) est la mˆeme, la diff´erence vient du changement de corps de base.. Compl´ements sur

On peut montrer, mais c’est plus difficile, que le polynˆ ome donn´ e ci-dessus est universel, au sens o` u toute extension galoisienne de degr´ e trois de K est corps de

´ Enoncer le th´ eor` eme du cours sur le comportement asymptotique d’une suite monotone7. Donner la d´ efinition de deux

En utilisant que 1 est une valeur propre de f factoriser le polynˆ ome caract´ eristique de f.. Calculer les projecteurs spectraux

´ Ecrire la matrice de ϕ dans la base pr´ ec´ edente, donner la trace, le d´ eterminant et le polynˆ ome caract´ eristique de ϕ.. Donner son polynˆ ome caract´ eristique et