Pour tout x∈[0

Universit´e Claude Bernard Lyon 1 L2 MASS

MASS 32 Compl´ements d’Analyse Contrˆole continu final

Vendredi 21 Janvier 2011 Dur´ee : 2 heures

Les documents et les calculatrices sont interdits

Exercice 1.

1) On consid`ere, pour toutn∈IN^∗, l’applicationu_n: IR→IR d´efinie paru_n(x) = x² ne^−nx. a) D´emontrer que la s´erie de fonctions

∞

X

n=1

u_n est simplement convergente sur [0,+∞[

et qu’elle diverge pour tout x /∈[0,+∞[.

Pour tout x∈[0,+∞[, on note f(x) :=

∞

X

n=1

u_n(x).

b) Expliciter, pour toutn ∈IN^∗, le nombre r´eel ||u_n||∞:= sup

x∈[0,+∞[

|u_n(x)|.

c) f est-elle continue sur [0,+∞[ ?

2) On consid`ere, pour tout n ∈IN^∗, l’application v_n : IR→IR d´efinie par v_n(x) = 1 ne^−nx. a) D´emontrer que la s´erie de fonctions

∞

X

n=1

vn est simplement convergente sur ]0,+∞[

et qu’elle diverge pour tout x /∈]0,+∞[.

Pour tout x∈]0,+∞[, on note g(x) :=

∞

X

n=1

v_n(x).

b) D´emontrer que pour tout x∈]0,+∞[, g(x)≤ e^−x 1−e^−x. c) D´emontrer que la s´erie de fonctions

∞

X

n=1

v_n⁰ converge uniform´ement sur tout intervalle de la forme [a,+∞[ avec a >0.

d) D´emontrer queg est d´erivable sur ]0,+∞[ et expliciterg⁰(x) pour toutx∈]0,+∞[.

e) En d´eduire g(x) pour tout x∈]0,+∞[.

3) Expliciter f(x) pour tout x∈[0,+∞[.

1

Exercice 2. On consid`ere la s´erie de fonctions

∞

X

n=1

(−1)ⁿ x⁴+nx² n² .

1) D´emontrer que cette s´erie est uniform´ement convergente sur tout intervalle de la forme [a, b] avec a < b mais n’est pas absolument convergente sur cet intervalle.

2) Enoncer le th´eor`eme d’int´egrabilit´e des s´eries de fonctions et montrer que Z 1

0

∞

X

n=1

(−1)ⁿ x⁴+nx² n²

! dx=

∞

X

n=1

(−1)ⁿ 5n+ 3 15n² .

Exercice 3. D´evelopper ln(3−2x−x²) en s´erie enti`ere et pr´eciser le rayon de conver- gence de la s´erie trouv´ee.

Exercice 4.

1) Expliquer pourquoi l’application f : IR→IR d´efinie par f(x) = sinx

x pour toutx6= 0, et f(0) = 1

est d´eveloppable en s´erie enti`ere, pr´eciser pour tout n ∈ IN la valeur num´erique de f⁽ⁿ⁾(0).

2) On d´esigne par

∞

X

n=0

a_nxⁿ une s´erie enti`ere `a variable r´eelle de rayon de convergenceR et de sommeS.

On consid`ere l’´equation diff´erentielle :

xy⁰⁰+ 2y⁰+xy = 0 (E) o`u y est une fonction de x.

a) D´emontrer que S est solution de l’´equation diff´erentielle (E) si et seulement si : a₁ = 0 et (n+ 1)(n+ 2)a_n+1+an−1 = 0 pourn ≥1.

b) Si S est solution de (E) calculer, pour tout n ∈IN, a2n+1, puis a2n en fonction de a₀, et expliciter S en fonction dea₀ et de f. D´eterminer R.

2