Septembre 2013

(1)

PanaMaths

[1 - 2]

Septembre 2013

Pour tout entier naturel n, calculer :

2

( )

3 2

k n

k n

S n

≤

k

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

= ∑ −

Analyse

L’indexation de la somme peut dérouter. Assez naturellement, on peut alors vouloir écrire

( )

⁻³ ^k sous la forme d’une puissance d’exposant 2k …

Résolution

Comme ^{− =}³

( )

ⁱ ³ ², il vient :

( ) ( )

²

( )

² ²

2 2 2

3 3 3 1

2 2 2

k k

k n k

n

k n k n k n

n n n

S i i

k k k

−

≤ ≤ ≤

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= − ⎜ ⎟= ⎜ ⎟= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑ ∑ ∑

Ainsi, la somme

( )

² ²

2

3 1

2

k n k

k n

n i

k

−

≤

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑

correspond aux termes comportant une puissance paire de i 3 apparaissant dans le développement

( )

0

3 1

n j

n j j

n i j

−

=

⎛ ⎞⎜ ⎟

∑

⎝ ⎠ qui n’est rien d’autre que le développement de

(

¹⁺ⁱ ³

)

ⁿ^.

Les puissances paires de i 3 donnant un nombre réel et les puissances impaires un imaginaire pur, il vient immédiatement : ₂

^∑

_{k n}_≤ ^⎛^⎜_⎝₂ⁿ_k^⎞^⎟_⎠

( )

ⁱ ³ ²^k¹ⁿ⁻²^k ⁼^{Re 1}

( (

⁺ⁱ ³

)

ⁿ

)

^.

Or :

(

¹⁺ⁱ ³

)

ⁿ ⁼^⎛^⎜⎜⎝²^⎛^⎜⎜⎝¹₂⁺ⁱ ₂³^⎞^⎟⎟⎠^⎞^⎟⎟⎠ⁿ ⁼^⎛^⎜⎝²^eⁱ^π³^⎞^⎟⎠ⁿ ⁼²ⁿ^eⁱⁿ^π³ ⁼²ⁿ^⎛⎜⎝^cos^⎛⎜⎝ⁿ^π₃^⎞⎟⎠⁺ⁱ^sin^⎛⎜⎝ⁿ^π₃^⎞⎟⎠^⎞⎟⎠ Ainsi : ^{Re 1}

( (

⁺ⁱ ³

)

ⁿ

)

⁼^{2 cos}ⁿ ^⎛^⎜_⎝ⁿ^π₃^⎞^⎟_⎠^.

Le résultat obtenu est valable pour tout entier naturel n.

(2)

PanaMaths

[2 - 2]

Septembre 2013

Résultat final

( )

2

, 3 2 cos

2 3

k n

n k n

n S n n

k

π

≤

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

∀ ∈^` =

∑

− ⎜⎝ ⎟⎠= ⎜⎝ ⎟⎠