Exercice I.
Pour les fonctionsf suivantes :
— Montrer qu’elles sont de classeC2sur un ouvert que l’on précisera
— Calculer leurs dérivées partielles premières et secondes
— Puis, si possible, rechercher les points critiques et extrema éventuels def
— Et enfin, dire, si possible, si ces extrema sont également globaux.
1. f(x, y) =x2+y2 2. f(x, y) =x2−y2 3. f(x, y) =xy 4. f(x, y) =x2+y4
5. f(x, y) =x2+ 3x2y−xy+y2 6. f(x, y) = xy
x2+y2 7. f(x, y) =xye−x2−y2 8. f(x, y) =
√x
ln(y)
9. f(x, y) =exyln(1 +x2+y2) 10. f(x, y) =x3+y3−3xy
11. f(x, y) =x2(1 +y3) +y2 12. f(x, y) =p
9−x2−y2
13. f(x, y) = ln(xy)−
√2
2 x2y+1 2x2 14. f(x, y) = 3−x2+ 2xy2−2y4+ 2y2 15. f(x, y) = 9x2+ 8xy+ 3y2+x−2y 16. f(x, y) =y (ln(y))2+x2
17. f(x, y) =xy(x+y−1)
18. f(x, y) =−2(x−y)2+x4+y4 19. f(x, y) =√
y−x ln(x)
20. f(x, y) =−y3 4 +x2y
3 +9y 4 + 2x
Exercice II.
Ecrire le développement limité à l’ordre2en(0; 0)de la fonctionf définie surR2par f(x, y) =y2x+ (1 +y)ex. Exercice III.
Soit la fonctionfdéfinie surR2par f(x, y) = 9x2+ 8xy+ 3y2+x−2y.
1. Montrer quef admet un seul extremum local surR2, et déterminer sa nature.
2. Calculerf
−1 2; 1
.
3. Retrouver le résultat de la question précédente, en développant 3
y+4 3x− 1
3 2
+11 3
x+ 1
2 2
. 4. Quelle information supplémentaire cela nous apporte-t-il ?
5. Proposer un programme Scilab traçant le graphe def. Exercice IV.
Soit la fonctionfdéfinie surR2par f(x, y) = 4x3y+ 6x2y2+ 4xy3. 1. Déterminer les points critiques def.
2. a. Etudier le signe des fonctions g:x7−→f(x, x) et h:x7−→f(x,−x)
b. Soitr >0. Justifier que la bouleBrde centre(0; 0)et de rayonr >0contient des points de la forme (x, x)et(x,−x).
c. L’applicationf admet-elle un extremum surR2?
Exercice V.
On considère l’applicationfdéfinie surR∗+×R∗+par ∀(x, y)∈R∗+×R∗+, f(x, y) = xe−x y +y
e. 1. Montrer quef est de classeC2surR∗+×R∗+.
2. Calculer les dérivées partielles d’ordre 1 def en tout point(x, y)deR∗+×R∗+.
3. Montrer que qu’il existe un couple unique(x, y)deR∗+×R∗+en lequel les deux dérivées partielles d’ordre 1 def s’annulent, et calculer ce couple.
4. Est-ce quef admet un extremum ? Exercice VI.
Soitf la fonction définie sur U = (R∗)2 par ∀(x, y)∈U, f(x, y) = 4xy+ 1 x+ 1
y. 1. Etudier la fonction définie surR∗parg(x) =f(x,1).
2. a. Calculer les dérivées partielles premières et secondes def surU. b. f admet-elle des extrema locaux surU?
c. Montrer quef n’a pas d’extremum global surU. Exercice VII.
On considère l’applicationgdéfinie sur l’ouvertU =]0,+∞[×RdeR2par g(x, y) = 1
x +ex−y2ey. 1. Etablir que l’équationex = 1
x2, d’inconnuex∈]0; +∞[, admet une unique solutionα, et queα∈ 1
2; 1
. 2. Représenter graphiquement l’ensembleU.
3. Calculer, pour tout(x, y)deU, les dérivées partielles premières degen(x, y).
4. Montrer quegadmet deux points critiques et deux seulement, et que ceux-ci sont(α,0)et(α,−2), oùα est le réel défini à la question 2.
5. Est-ce quegadmet un extremum local en(α,0)? Et en(α,−2)? 6. Est-ce quegadmet un extremum global surU?
Exercice VIII.
On note F :R2 →R l’application définie par F(x, y) = (x−1)(y−2)(x+y−6).
1. Montrer que(4; 2)et(2; 3)sont des points critiques deF. 2. Est-ce queF présente un extremum local au point(4; 2)? 3. Est-ce queF présente un extremum local au point(2; 3)? Exercice IX.
On considère la fonctionf définie sur le fermé[0; 1]2 par f(x, y) = (x+y)√
1−x2+p 1−y2
. 1. Justifier quefadmet sur[0; 1]2 un maximum global et un minimum global.
2. Montrer que ce minimum global vaut0.
3. Créer un programme Scilab traçant le graphe def.
Exercice X.
Une urne contient des boules bleues, vertes et rouges avec les proportions respectives p,q,r, vérifiant 0< p <1, 0< q <1, 0< r <1 et p+q+r = 1.
On effectue des tirages successifs avec remise, et on s’arrête au premier changement de couleur.
On noteXla variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués.
On note, pourn∈N∗, Bn={lenetirage donne une boule bleue}, et de mêmeVnetRnpour les autres couleurs.
Partie A.
1. Déterminer X(Ω).
2. Pourn≥2, exprimer l’évènement {X=n} en fonction des évènements élémentaires Bk,VketRk. 3. En déduire que ∀n≥2, P(X=n) = (1−p)pn−1+ (1−q)qn−1+ (1−r)rn−1.
4. Montrer queXadmet une espérance, et que celle-ci vaut E(X) = 1
1−p+ 1
1−q + 1 1−r −2.
Partie B.
On considère la fonctionf définie par f(x, y) = 1
1−x + 1
1−y + 1 x+y. On étudie icif sur l’ensemble D=
(x, y)∈R2
x >0, y >0 et x+y <1
. 1. Vérifier quef est bien définie sur cet ensemble, et le dessiner dans le planR2. 2. a. Calculer les dérivées partielles d’ordre1def, pour(x, y)∈D.
b. Démontrer que l’unique point critique def est 1
3;1 3
(ie le couple(x0;y0)pour lequel elles s’an- nulent simultanément).
c. f y atteint-elle un extremum ? Partie C.
1. ExprimerE(X)à l’aide de la fonctionf, et depetq.
2. Comment doit être composée l’urne pour, qu’en moyenne, on obtienne des boules de deux couleurs différentes le plus vite possible ? Justifier.
3. Quel est dans ce cas le nombre moyen de coups nécessaires ? Exercice XI.
On considère les séries statistiques X= (x1, ..., xn) et Y = (y1, ..., yn).
L’objectif est de déterminer les coefficientsaetbde la droite de regression des moindres carrés.
Pour cela, on définit la fonctionf surR2 par f(a, b) =
n
X
k=1
(yi−axi−b)2. 1. Montrer que 3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2.
2. Montrer que n
n
X
i=1
x2i −
n
X
i=1
xi
!2
≥0.
3. Rappeler les définitions des moyennes empiriques x et y, des variances empiriques σ2x et σy2, et de la covariance empiriqueσx,y2
4. Justifier quefest de classeC2surR2.
5. Calculer les dérivées partielles d’ordre1def, et déterminer le seul point critique possible.
6. Calculer les dérivées partielles d’ordre2def, et vérifier quef admet un minimum local en ce point.
Sujets récents
Exercice XII. (EML 2020)
1. Soitn∈N∗. Montrer que l’équation(En) :xn+x−1 = 0admet une unique solutionunsurR+. 2. On considère la fonctionFde classeC2sur l’ouvert]0,+∞[2définie par F : (x, y) =x2y+x2−y2
2 −2x.
a. Calculer les dérivées partielles d’ordre1deF en tout point(x, y)de]0,+∞[2.
b. Montrer que la fonctionF admet(u3, u23) comme unique point critique, où le réelu3 est l’unique solution surR+de l’équation(E3).
3. a. Écrire la matrice hessienne, notéeH, de la fonctionF au point(u3, u23).
b. Montrer que la matriceHadmet deux valeurs propresλ1etλ2, vérifiant λ1λ2=−6u23−2.
4. La fonctionF présente-t-elle des extrema locaux sur]0,+∞[2? Exercice XIII. (Ecricome 2019)
On considère la fonctionf définie sur l’ouvertR∗+×R∗+par ∀(x, y)∈R∗+×R∗+, f(x, y) = x
y2 +y2+ 1 x. 1. On utiliseScilabpour tracer les lignes de niveau de la fonctionf. On obtient le graphe suivant :
Etablir une conjecture à partir du graphique quant à l’existence d’un extremum local pour f, dont on donnera la nature, la valeur approximative et les coordonnées du point en lequel il semble être atteint.
2. a. Démontrer quef est de classeC2surR∗+×R∗+.
b. Calculer les dérivées partielles premières de f, puis démontrer que f admet un unique point cri- tique, notéA, que l’on déterminera.
c. Calculer les dérivées partielles secondes def, puis démontrer que∇2(f)(A) = 2 −2
−2 8
! .
d. En déduire que la fonctionf admet au pointAun extremum local, préciser si cet extremum est un minimum, et donner sa valeur.
Exercice XIV. (EML 2019)
On considère la fonctionf définie sur]0,+∞[par ∀t∈]0,+∞[, f(t) =t+1 t. Partie A : Etude d’une fonction d’une variable
1. Etudier les variations de la fonctionf sur]0,+∞[.
Dresser le tableau des variations def en précisant les limites en0et en+∞.
2. Montrer quef réalise une bijection de[1,+∞[vers[2,+∞[.
On noteg: [2,+∞[−→[1,+∞[la bijection réciproque de la restriction def à[1,+∞[.
3. a. Dresser le tableau de variations deg.
b. Justifier que la fonctiongest dérivable sur]2,+∞[.
c. Soity ∈ [2,+∞[. En se ramenant à une équation du second degré, résoudre l’équationf(t) = y d’inconnuet∈]0,+∞[. En déduire une expression deg(y)en fonction dey.
Partie B : Etude d’une fonction de deux variables
On considère la fonctionhde classeC2sur l’ouvertU =]0; +∞[×]0; +∞[définie par :
∀(x, y)∈U, h(x, y) = 1
x +1 y
(1 +x)(1 +y).
1. Calculer les dérivées partielles d’ordre1dehen tout(x, y)∈U. 2. Soit(x, y)∈U. Montrer que :
(x, y)est un point critique deh ⇐⇒
y=x2 x=y2
.
3. En déduire quehadmet un unique point critique surU dont on précisera les coordonnées(a, b).
4. a. Vérifier que ∀(x, y)∈U, h(x, y) = 2 +f(x) +f(y) +f x
y
. b. En déduire quehadmet en(a, b)un minimum global surU. Exercice XV. (EML 2018)
Dans tout cet exercice,f désigne la fonction définie surR∗par ∀x∈R∗, f(x) =x−ln(x).
Partie I : Etude de la fonctionf
1. Dresser le tableau de variations def en précisant ses limites en 0 et en+∞.
2. Montrer que l’équationf(x) = 2, d’inconnuex∈ R∗, admet exactement deux solutions, que l’on notea etb, telles que0< a <1< b.
3. Montrer queb∈[2; 4]. On donneln(2)'0.7 Partie II : Etude d’une fonction de deux variables
On considère la fonctionHdéfinie sur l’ouvertU = (R∗+)2par H(x, y) = x2
2 −xy−2x+ey. 1. Justifier queHest de classeC2surU.
2. a. Calculer les dérivées partielles d’ordre 1 deHen tout(x, y)deU.
b. Montrer que la fonction H admet exactement deux points critiques :(a,ln(a)) et (b,ln(b)), où les réelsaetbsont ceux introduits dans la question2.
3. a. Écrire la matrice hessienne, notéeMa, deHau point(a,ln(a)).
b. Montrer queMaadmet deux valeurs propres distinctes, notéesλ1 etλ2, vérifiant : λ1+λ2 =a+ 1 et λ1λ2=a−1.
c. La fonctionHprésente-t-elle un extremum local au point(a,ln(a))?
4. La fonctionHprésente-t-elle un extremum local au point(b,ln(b))? Exercice XVI. (Ecricome 2017)
Dans tout l’exercice,aest un réel strictement positif.Partie A.
On considère la fonctionϕdéfinie surR+∗par ∀x >0, ϕ(x) = ln(x)−ax2a. 1. Déterminer lim
x→0ϕ(x) et lim
x→+∞ϕ(x).
2. Etudier les variations deϕ, et dresser son tableau de variations.
On fera apparaitre dans ce tableau le réel x0 = 1
2a2 2a1
. 3. Démontrer que sia <
r 1
2e, l’équation ϕ(x) = 0 admet exactement deux solutionsz1 et z2, vérifiant : z1< x0< z2.
Que se passe-t-il sia= r 1
2e? Sia >
r 1 2e? Partie B.
Soitf la fonction définie sur l’ouvertU = (R+∗)2par ∀(x, y)∈U, f(x, y) = ln(x) ln(y)−(xy)a. 1. Justifier quefest de classeC2surU.
2. Calculer les dérivées partielles premières def.
3. Démontrer que pour tout(x, y)∈U : (x, y)est un point critique def ⇐⇒
( x=y, ϕ(x) = 0.
4. Démontrer que sia <
r 1
2e, la fonctionf admet exactement deux points critiques :(z1, z1)et(z2, z2), où z1etz2sont les réels définis dans la partie A.
Déterminer aussi les éventuels points critiques def dans les cas oùa= r 1
2e eta >
r 1 2e. Partie C.
Dans cette partie, on suppose quea <
r 1 2e.
On rappelle alors que la fonctionf admet exactement deux points critiques :(z1, z1)et(z2, z2), oùz1etz2sont les réels définis dans la partie A.
1. Calculer les dérivées partielles d’ordre 2 de la fonctionf. 2. Calculer la matrice hessienne def au point(z1, z1).
Vérifier que cette matrice peut s’écrire sous la forme ∇2(f)(z1, z1) =
−a2z12a−2 1
z12 −a2z12a−2
1
z12 −a2z12a−2 −a2z12a−2
. 3. On poseM =∇2(f)(z1, z1),X1 = 1
1
!
etX2= −1 1
! .
CalculerM X1etM X2, et en déduire les valeurs propres deM. 4. La fonctionf présente-t-elle un extremum local en(z1, z1)?
Si oui, est-ce un minimum ? Un maximum ?
5. La fonctionf présente-t-elle un extremum local en(z2, z2)? Si oui, est-ce un minimum ? Un maximum ?
Exercice XVII. (EDHEC 2017)
On considère la fonctionf qui à tout couple(x, y)deR2associe le réel f(x, y) =x4+y4−2(x−y)2. 1. Justifier quefest de classeC2 surR2.
2. a. Calculer les dérivées partielles d’ordre1def.
b. Montrer que le gradient defest nul si, et seulement si, on a
x3−x+y = 0 y3+x−y = 0
c. En déduire quef possède trois points critiques :(0,0),(√ 2,−√
2),(−√ 2,√
2).
3. a. Calculer les dérivées partielles d’ordre 2 def.
b. Écrire la matrice hessienne def en chaque point critique.
c. Déterminer les valeurs propres de chacune de ces trois matrices puis montrer quef admet un mini- mum local en deux de ses points critiques. Donner la valeur de ce minimum.
d. Déterminer les signes def(x, x)etf(x,−x)au voisinage dex= 0. Conclure quant à l’existence d’un extremum en le troisième point critique def.
4. a. Pour tout(x, y)deR2, calculerf(x, y)−(x2−2)2−(y2−2)2−2(x+y)2. b. Que peut-on déduire de ce calcul quant au minimum def?
5. a. Compléter la deuxième ligne du script suivant afin de définir la fonctionf. function z=f(x,y)
z= ...
endfunction
x=linspace(-2,2,101) y=x
fplotd3d(x,y,f)
b. Le script précédent, une fois complété, renvoie l’une des trois nappes suivantes. Laquelle ? Justifier la réponse.
a. b. c.
Exercice XVIII. (Ecricome 2009)
On considère l’application ϕdéfinie sur R∗+ par ϕ(x) = 2 lnx 2
+ 1
x, ainsi que la fonction numériquef des variables réellesxetydéfinie par ∀(x, y)∈]0,+∞[×]0,+∞[, f(x, y) =ex+4yln (xy).
Partie A. Etude des zéros deϕ.
1. Déterminer la limite deϕ(x)lorsquextend vers0par valeurs positives. Interpréter graphiquement cette limite.
2. Déterminer la limite deϕ(x) lorsquex tend vers+∞, ainsi que la limite de ϕ(x)
x lorsque xtend vers +∞. Interpréter graphiquement cette limite.
3. Justifier la dérivabilité deϕsurR+∗, déterminer sa dérivée.
4. Dresser le tableau de variation deϕ, faire apparaître les limites deϕen0+et+∞.
5. On rappelle queln (2)'0,7. Montrer l’existence de deux réels positifsαetβtels que ϕ(α) = (β) = 0.
6. Proposer un programme en Pascal permettant d’encadrerαdans un intervalle d’amplitude10−2. Partie B. Extrema def sur]0,+∞[×]0,+∞[
1. Justifier quefest de classeC2 sur]0,+∞[×]0,+∞[.
2. Calculer les dérivées partielles premières et prouver que pourx, etystrictement positifs
∂f
∂x(x, y) =f(x, y) +1 xex+4y
∂f
∂x(x, y) = 4f(x, y) + 1 yex+4y
3. Montrer que les points de coordonnées respectives α,α
4
et
β,β 4
sont des points critiques de f sur ]0,+∞[×]0,+∞[.
4. Calculer les dérivées partielles secondes sur]0,+∞[×]0,+∞[et établir que :
∂2f
∂x2
α,α 4
= α−1 α2 e2α
∂2f
∂y2
α,α 4
= 16α−1 α2 e2α
∂2f
∂y∂x
α,α 4
= 4 αe2α
5. La fonctionf présente-t-elle un extremum local sur]0,+∞[×]0,+∞[au point de coordonnées α,α
4
? Si oui, en donner sa nature (maximum on minimum)
6. De même,f présente-t-elle un extremum local sur]0,+∞[×]0,+∞[au point de coordonnées
β,β 4
?
