DS9 vA
Exercice 1
Partie I : étude de quelques propriétés d’une variable aléatoire X Dans cet exercice,θ (theta) désigne un réel élément de
0,1
2
.
On considère la fonction f définie par :f :x7→
1 θ x1+1θ
si x>1 0 si x <1 1. Montrer que f peut être considérée comme une densité.
On considère dans la suite une variable aléatoireX de densitéf et on noteF sa fonction de répartition.
2. Montrer que X possède une espérance et une variance et les déterminer.
3. Déterminer, pour tout réel x, l’expression deF(x) en fonction dex etθ.
4. a) Montrer que l’équationF(x) = 1
2 possède une seule solution, notée Me, que l’on déterminera.
b) Montrer :∀x∈
0,1 2
,2x(1−x)61.
c) ComparerE(X)etMe.
5. Soit aun réel supérieur ou égal à 1etb un réel strictement positif.
a) Montrer :P[X>a]([X > a+b]) = a
a+b 1
θ
.
b) Déterminer la limite de cette quantité lorsqueatend vers+∞. Interpréter cette dernière valeur si l’on admet que la variableX représente la durée de vie d’un certain appareil.
Partie 2 : simulation de X
6. On pose Y = ln(X) et on admet que Y est une variable aléatoire définie sur le même espace probabilisé que X. On noteGsa fonction de répartition.
a) Pour tout réelx, exprimer G(x) à l’aide de la fonction F.
b) En déduire queY suit une loi exponentielle dont on précisera le paramètre.
7. On rappelle qu’enScilab, la commandegrand(1, 1, 'exp', 1/lambda)simule une variable aléa- grand
Partie 3 : estimation d’un paramètre
On suppose dans la suite que le paramètre θ est inconnu et on souhaite en trouver une estimation ponctuelle puis par intervalle de confiance.
On considère pour celanvariables aléatoiresY1,. . .,Yntoutes définies sur le même espace probabilisé, mutuellement indépendantes, et suivant toutes la même loi queY.
8. On pose Tn= 1 n
n
P
i=1
Yk.
a) Justifier queTn est un estimateur deθ.
b) Tn est-il un estimateur sans biais deθ?
c) Calculer le risque quadratique deTnen tant qu’estimateur deθ.Tnest-il un estimateur convergent deθ?
9. a) Écrire l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour la variableTn. b) Établir l’inégalité :
∀ε >0, P([θ∈[Tn−ε, Tn+ε]]) > 1− θ2 n ε2 c) En utilisant le fait queθ6 1
2, déterminer un intervalle de confiance pourθau niveau de confiance 90%lorsque l’on choisitn= 1000.
Exercice 2
On considère la fonction f définie sur l’ouvert deR∗+×R∗+ par :
∀(x, y)∈R∗+×R∗+, f(x, y) = x
y2 +y2+ 1 x
La première partie consiste en l’étude des extrema éventuels de la fonction f, et la deuxième partie a pour objectif l’étude d’une suite implicite définie à l’aide de la fonction f.
Ces deux parties sont indépendantes.
Partie A
1. On utiliseScilabpour tracer les lignes de niveau de la fonction f. On obtient le graphe suivant :
Établir une conjecture à partir du graphique quant à l’existence d’un extremum local pourf, dont on donnera la nature, la valeur approximative et les coordonnées du point en lequel il semble être atteint.
2. a) Démontrer quef est de classeC2 surR∗+×R∗+.
b) Calculer les dérivées partielles premières de f, puis démontrer que f admet un unique point
Partie B
Pour tout entiern non nul, on notehn la fonction définie surR∗+ par :
∀x >0, hn(x) = f(xn,1) = xn+ 1 + 1 xn
3. Démontrer que pour tout entier naturel n non nul, la fonction hn est strictement décroissante sur ]0,1[ et strictement croissante sur[1,+∞[.
4. En déduire que pour tout entier nnon nul, l’équation hn(x) = 4 admet exactement deux solutions, notées unetvn et vérifiant : 0< un<1< vn.
5. a) Démontrer :
∀x >0, ∀n∈N∗, hn+1(x)−hn(x) = (x−1)(x2n+1−1) xn+1 b) En déduire :∀n∈N∗, hn+1(vn)>4.
c) Montrer alors que la suite(vn) est décroissante.
6. a) Démontrer que la suite(vn) converge vers un réel`et montrer : `>1.
b) En supposant que` >1, démontrer : lim
n→+∞vnn= +∞.
En déduire une contradiction.
c) Déterminer la limite de(vn).
7. a) Montrer :∀n>1, vn63.
b) Écrire une fonctionScilabd’en-tête function y = h(n,x)qui renvoie la valeur de hn(x) lors- qu’on lui fournit un entier naturelnnon nul et un réel x∈R∗+ en entrée.
c) Compléter la fonction suivante pour qu’elle renvoie une valeur approchée à10−5 près devnpar la méthode de dichotomie lorsqu’on lui fournit un entiern>1en entrée :
1 function res=v(n)
2 a = 1
3 b = 3
4 while (b-a) > 10∧∧∧(-5)
5 c = (a+b)/2
6 if h(n,c) < 4 then
7 ...
8 else
9 ...
10 end
11 end
12 ...
13 endfunction
d) À la suite de la fonctionv, on écrit le code suivant :
1 X = 1:20
2 Y = zeros(1,20)
3 for k = 1:20
4 Y(k) = v(k)∧∧∧k
5 end
6 plot2d(X, Y, style=-2, rect=[1,1,20,3]) À l’exécution du programme, on obtient la sortie graphique suivante :
Expliquer ce qui est affiché sur le graphique ci-dessus.
Que peut-on conjecturer ?
e) Montrer :∀n>1, (vn)n= 3 +√ 5 2 .
f ) Retrouver ainsi le résultat de la question6.c).
Exercice 3
On noteB= (e1, e2, e3) la base canonique deR3.
On considère l’endomorphisme f deR3 dont la matrice dans la baseB est la matrice Adonnée par : A=
0 −2 −5
−2 0 4
1 1 0
On considère également l’endomorphisme g deR3 défini par :
∀(x, y, z)∈R3, g(x, y, z) = (x+y−z, 2y, −x+y+z) Enfin, on pose :
u=e1−e2 = (1,−1,0) et v=f(e1) +e1
1. a) Calculerv.
b) Montrer que la familleC= (u, v, e1) est une base deR3. c) On noteP la matrice de passage de la base B à la baseC.
Expliciter la matriceP et calculer P−1.
2. a) Déterminer la matriceA0 de f dans la baseC.
b) En déduire les valeurs propres def. L’endomorphismef est-il diagonalisable ? c) L’endomorphismef est-il bijectif ?
d) Expliciter, sans justification, le lien entre les matricesA,A0,P etP−1.
3. a) Déterminer la matriceB deg dans la base B. b) Montrer :B2 = 2B.
c) En déduire les valeurs propres deg, ainsi qu’une base de chaque sous-espace propre.
d) L’endomorphismeg est-il diagonalisable ? On pose : E ={M ∈M3(R) |BM =M A}.
4. a) Montrer queE est un espace vectoriel.
b) SoitM une matrice appartenant à E.
Montrer queM n’est pas inversible. (On pourra raisonner par l’absurde).
5. On cherche à montrer que E n’est pas réduit à l’ensemble{0}.
a) Justifier que, pour tout réelλ, les matricesA−λ I3 et(tA)−λ I3 ont même rang, la matrice I3 désignant la matrice identité deM3(R).
b) En déduire que la matricesB ettA admettent une valeur propre en commun, notéeα.
c) Soient X un vecteur propre de B associé à la valeur propre α, et Y un vecteur propre de tA associé à la valeur propreα. On note : N =XtY.
Montrer que la matriceN est non nulle et que N appartient à E.
d) En déduire :dim(E)>2.
