Barème

DS9 vA /156

Exercice 1 /54

Partie I : étude de quelques propriétés d’une variable aléatoire X Dans cet exercice,θ (theta) désigne un réel élément de

0,1

2

.

On considère la fonction f définie par :f :x7→





 1 θ x^1+1θ

si x>1 0 si x <1 1. Montrer que f peut être considérée comme une densité.

• 1 pt : f continue sauf éventuellement en 1

• 1 pt : ∀x∈R, f(x)>0 car θ >0

• 2 pts : Z +∞

−∞

f(t) dt converge et vaut 1

On considère dans la suite une variable aléatoireX de densitéf et on noteF sa fonction de répartition.

2. Montrer que X possède une espérance et une variance et les déterminer.

• 1 pt : convergence absolue

• 1 pt : Z +∞

−∞

x f(x) dx= Z +∞

1

x f(x) dx car f nulle en dehors de [1,+∞[

• 1 pt : x7→x f(x) continue par morceaux sur [1,+∞[

• 1 pt : lim

B→+∞

1 B^1θ−1

= 0 car θ <1

• 1 pt : E(X) = 1 1−θ

• 1 pt : E(X²) = 1 1−2θ

• 1 pt : V(X) = θ²

(1−2θ) (1−θ))²

3. Déterminer, pour tout réel x, l’expression deF(x) en fonction dex etθ.

• 3 pts : F :x7→







0 si x∈ ]− ∞,1[

1− 1 x^1θ

si x∈[1,+∞[

× 1 pt : cas x∈ ]− ∞,1[

× 2 pts : cas x∈[1,+∞[

1

4. a) Montrer que l’équationF(x) = 1

2 possède une seule solution, notée Me, que l’on déterminera.

• 1 pt : l’équation n’a pas de solution sur ]− ∞,1[

• 2 pts : 2^θ est l’unique solution de l’équation sur [1,+∞[

b) Montrer :∀x∈

0,1 2

,2^x(1−x)61.

• 1 pt : 2^x(1−x)61 ⇔ x ln(2) + ln(1−x)60

• 1 pt : h:x7→x ln(2) + ln(1−x) dérivable sur [0,¹₂] et :∀x∈[0,¹₂], h⁰(x) = ln(2)− 1 1−x

• 1 pt : h décroissante sur [0,¹₂] et h(0) = 0 c) ComparerE(X)etM_e.

• 1 pt : d’après 2. et 4.a), M_e6E(X) ⇔ 2^θ(1−θ)61

• 1 pt : dernière inégalité vraie car θ∈ ]0,¹₂[

5. Soit aun réel supérieur ou égal à 1etb un réel strictement positif.

a) Montrer :P[X>a]([X > a+b]) = a

a+b ¹_θ

.

• 1 pt : P([X > a]) = 1− 1 a^1θ

6= 0

• 1 pt : [X > a+b]⊂[X > a] car b >0

• 1 pt : P[X>a]([X > a+b]) = 1−F(a+b) 1−F(a) =

1−

1− ¹

(a+b)^1θ

1− 1− ¹

a^θ1

car a>1 et a+b>1

• 1 pt : P[X>a]([X > a+b]) = a

a+b ¹_θ

b) Déterminer la limite de cette quantité lorsqueatend vers+∞. Interpréter cette dernière valeur si l’on admet que la variableX représente la durée de vie d’un certain appareil.

• 1 pt : lim

a→+∞

1 θ ln

a a+b

= 0

• 1 pt : exp continue en 0 donc lim

a→+∞ P[X>a]([X > a+b]) = exp(0) = 1

• 1 pt : interprétation

Partie 2 : simulation de X

6. On pose Y = ln(X) et on admet que Y est une variable aléatoire définie sur le même espace probabilisé que X. On noteGsa fonction de répartition.

a) Pour tout réelx, exprimer G(x) à l’aide de la fonction F.

• 1 pt : ∀x∈R, G(x) =F(e^x)

0 si argument de la stricte croissance de la fonction exp sur R est oublié b) En déduire queY suit une loi exponentielle dont on précisera le paramètre.

• 2 pts : G:x7→







0 si x∈ ]− ∞,0[

1−e^{−1θ x} si x∈[0,+∞[

(1 pt par cas)

• 1 pt : Y ,→ E 1

θ

7. On rappelle qu’enScilab, la commandegrand(1, 1, 'exp', 1/lambda)simule une variable aléa- toire suivant la loi exponentielle de paramètre λ. Écrire des commandes Scilabutilisant grand et permettant de simuler X.

• 3 pts : 1 pt par ligne

1 theta = input('Entrez un paramètre theta :')

2 Y = grand(1, 1, 'exp', theta)

3 X = exp(Y)

Partie 3 : estimation d’un paramètre

On suppose dans la suite que le paramètre θ est inconnu et on souhaite en trouver une estimation ponctuelle puis par intervalle de confiance.

On considère pour celanvariables aléatoiresY1,. . .,Yntoutes définies sur le même espace probabilisé, mutuellement indépendantes, et suivant toutes la même loi queY.

8. On pose Tn= 1 n

n

P

i=1

Y_k.

a) Justifier queTn est un estimateur deθ.

• 1 pt

b) T_n est-il un estimateur sans biais deθ?

• 1 pt : T_n admet une espérance

• 2 pts : E(Tn) =θ

c) Calculer le risque quadratique deT_nen tant qu’estimateur deθ.T_nest-il un estimateur convergent deθ?

• 1 pt : Tn admet un risque quadratique

• 1 pt : décomposition biais-variance

• 1 pt : V _n

P

i=1

Yi

=

n

P

i=1

V(Yi) par indépendance de Y1, . . ., Yn

• 1 pt : r_θ(T_n) = θ² n

• 1 pr : lim

n→+∞ r_θ(T_n) = 0, donc T_n est un estimateur convergent de θ 9. a) Écrire l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour la variableT_n.

• 1 pt : T_n admet une variance

• 1 pt : d’après 8.b) et 8.c), ∀ε >0, P([|T_n−θ|> ε])6 θ² n ε²

b) Établir l’inégalité :

∀ε >0, P([θ∈[Tn−ε, Tn+ε]]) > 1− θ² n ε²

• 1 pt : P([|T_n−θ|> ε]) = 1−P([|T_n−θ|6ε])

• 1 pt : P([|T_n−θ|6ε]) =P([T_n−ε6θ6T_n+ε])

• 1 pt : conclusion

c) En utilisant le fait queθ6 1

2, déterminer un intervalle de confiance pourθau niveau de confiance 90%lorsque l’on choisitn= 1000.

• 1 pt : θ6 1

2 donc 1− θ²

n ε² >1− 1 4n ε²

• 2 pts : 1

4n ε² >0,9 ⇔ r 5

2n 6ε

• 1 pt : comme n= 1000, ε= r 5

2n = 1 20

Exercice 2 /48

On considère la fonction f définie sur l’ouvert deR^∗₊×R^∗₊ par :

∀(x, y)∈R^∗+×R^∗+, f(x, y) = x

y² +y²+ 1 x

La première partie consiste en l’étude des extrema éventuels de la fonction f, et la deuxième partie a pour objectif l’étude d’une suite implicite définie à l’aide de la fonction f.

Ces deux parties sont indépendantes.

Partie A

1. On utiliseScilabpour tracer les lignes de niveau de la fonction f. On obtient le graphe suivant : Établir une conjecture à partir du graphique quant à l’existence d’un extremum local pourf, dont on donnera la nature, la valeur approximative et les coordonnées du point en lequel il semble être atteint.

• 2 pts : f admet un minimum local, de valeur 3, au point (1,1) 2. a) Démontrer quef est de classeC² surR^∗+×R^∗+.

• 2 pts

b) Calculer les dérivées partielles premières de f, puis démontrer que f admet un unique point critique, notéA, que l’on déterminera.

• 1 pt : ∀(x, y)∈R^∗+×R^∗+, ∂1(f)((x, y) = 1 y² − 1

x² et ∂2(f)(x, y) =−2x y³ + 2y

• 1 pt : (x, y) point critique de f ⇔ ∇(f)(x, y) = 0_M2,1(R)

• 1 pt : ⇔

( y = x

y = x

y³

• 1 pt : ⇔

y = x x = 1

• 1 pt : f admet A= (1,1) comme unique point critique

c) Calculer les dérivées partielles secondes de f, puis démontrer que la matrice hessienne de f au pointA est la matriceH définie par : H =

2 −2

−2 8

.

• 2 pts : ∀(x, y) ∈ R^∗+ ×R^∗+, ∂²_1,1(f)(x, y) = 2

x³, ∂_1,2² (f)(x, y) = ∂_2,1² (f)(x, y) = −2 y³ et

∂²_2,2(f)(x, y) = 6x y⁴ + 2

• 1 pt : H=∇²(f)(x, y) =

2 −2

−2 8

d) En déduire que la fonctionf admet au pointAun extremum local, préciser si cet extremum est un minimum, et donner sa valeur.

• 1 pt : det

∇²(f)(1,1)−λ I

= 12−10λ+λ²

• 1 pt : P(X) = 12−10X+X² admet 2 racines 5 +√

13 et 5−√ 13

• 1 pt : 5 +√

13>0 et 5−√ 13>0

• 1 pt : f admet un minimum local en (1,1) Partie B

Pour tout entiern non nul, on noteh_n la fonction définie surR^∗+ par :

∀x >0, hn(x) = f(xⁿ,1) = xⁿ+ 1 + 1 xⁿ

3. Démontrer que pour tout entier naturel n non nul, la fonction hn est strictement décroissante sur ]0,1[ et strictement croissante sur[1,+∞[.

• 1 pt : hn dérivable sur R^∗₊ et : ∀x∈R^∗₊, h⁰_n(x) =n x²ⁿ−1 xⁿ⁺¹

• 1 pt :

x Signe deh⁰n(x)

Variations dehn

0 1 +∞

− 0 +

+∞

3 3

+∞

+∞

4. En déduire que pour tout entier nnon nul, l’équation h_n(x) = 4 admet exactement deux solutions, notées unetvn et vérifiant : 0< un<1< vn.

• 3 pts : théorème de la bijection sur ]0,1[

× 1 pt : hypothèses

× 1 pt : hn(]0,1[) = ]3,+∞[

× 1 pt : 4∈ ]3,+∞[

• 1 pt : théorème de la bijection sur ]1,+∞[

• 1 pt : h_n(1) = 36= 4 5. a) Démontrer :

∀x >0, ∀n∈N^∗, hn+1(x)−hn(x) = (x−1)(x²ⁿ⁺¹−1) xⁿ⁺¹

• 1 pt

b) En déduire :∀n∈N^∗, h_n+1(v_n)>4.

• 1 pt : ∀x∈ ]1,+∞[, hn+1(x)−hn(x)>0

• 1 pt : on applique à vn>1 : hn+1(vn)> hn(vn) = 4 c) Montrer alors que la suite(v_n) est décroissante.

• 1 pt : hn+1(vn)>hn+1(vn+1)

• 1 pt : réciproque de hn+1 sur ]1,+∞[strictement croissante sur ]3,+∞[

6. a) Démontrer que la suite(v_n) converge vers un réel`et montrer : `>1.

• 1 pt : (v_n) décroissante et minorée par 1 donc converge vers `>1 b) En supposant que` >1, démontrer : lim

n→+∞vⁿ_n= +∞.

En déduire une contradiction.

• 1 pt : vn ∼

n→+∞ ` donc (vn)

∼

n→+∞ `ⁿ

• 1 pt : comme ` >1, lim

n→+∞ `ⁿ= +∞

• 1 pt : h_n(v_n) = (v_n)ⁿ+ 1 + 1

(v_n)ⁿ donc lim

n→+∞ h_n(v_n) = +∞

• 1 pt : absurde car h_n(v_n) = 4 c) Déterminer la limite de(vn).

• 1 pt : lim

n→+∞ vn= 1 d’après6.a) et 6.b) 7. a) Montrer :∀n>1, v_n63.

• 1 pt : v_n63 ⇔ h_n(v_n)6h_n(3) ⇔ 46h_n(3)

• 1 pt : h_n(3) = 3ⁿ+ 1 + 1

3ⁿ >3 + 1 + 1 3ⁿ >4

b) Écrire une fonctionScilabd’en-tête function y = h(n,x)qui renvoie la valeur de h_n(x) lors- qu’on lui fournit un entier naturelnnon nul et un réel x∈R^∗+ en entrée.

• 1 pt :

1 function ^y = h(ⁿ, ^x)

2 y = x^∧∧∧n + 1 + (1 / x^∧∧∧n )

3 endfunction

c) Compléter la fonction suivante pour qu’elle renvoie une valeur approchée à10⁻⁵ près dev_npar la méthode de dichotomie lorsqu’on lui fournit un entiern>1en entrée :

• 3 pts : 1 pt par ligne

1 function ^res = v(ⁿ)

2 a = 1

3 b = 3

4 while (b-a) > 10^∧∧∧(-5)

5 c = (a+b) / 2

6 if h(ⁿ,c) < 4 then

7 a = c

8 else

9 b = c

10 end

11 end

12 res = a

13 endfunction

d) À la suite de la fonctionv, on écrit le code suivant :

1 X = 1:20

2 Y = zeros(1,20)

3 for k = 1:20

4 Y(k) = v(k)^∧∧∧k

5 end

6 plot2d(X, Y, style=-2, rect=[1,1,20,3])

À l’exécution du programme, on obtient la sortie graphique suivante : Expliquer ce qui est affiché sur le graphique ci-dessus.

Que peut-on conjecturer ?

• 1 pt : le nuage de points correspond au tracé des 20 premières valeurs de la suite (v_nⁿ)

• 1 pt : on conjecture que (vⁿ_n) est constante, approximativement de valeur 2,61.

e) Montrer :∀n>1, (vn)ⁿ= 3 +√ 5 2 .

• 1 pt : (v_n)ⁿ−3 + 1

(vn)ⁿ = 0 donc (v_n)ⁿ2

−3 (v_n)ⁿ+ 1 = 0

• 1 pt : les racines de P(X) =X³−3X+ 1 sont 3 +√ 5

2 et 3−√ 5 2

• 1 pt : 5

2 < 3 +√ 5

2 <3 et 0< 3−√ 5 2 < 1

2

• 1 pt : comme vn>1, alors (vn)ⁿ>1. D’où : (vn)ⁿ= 3 +√ 5 2 f ) Retrouver ainsi le résultat de la question6.c).

• 1 pt : ln(vn) = 1

n ln 3 +√ 5 2

!

• 1 pt : vn= exp ln(vn)

n→+∞−→ exp(0) = 1

Exercice 3 /54

On noteB= (e1, e2, e3) la base canonique deR³.

On considère l’endomorphisme f deR³ dont la matrice dans la baseB est la matrice Adonnée par : A=





0 −2 −5

−2 0 4

1 1 0





On considère également l’endomorphisme g deR³ défini par :

∀(x, y, z)∈R³, g(x, y, z) = (x+y−z, 2y, −x+y+z) Enfin, on pose :

u=e1−e2 = (1,−1,0) et v=f(e1) +e1

1. a) Calculerv.

• 1 pt : Mat_B f(e1)

=



 0

−2 1





• 1 pt : v=f(e1) +e1 = (1,−2,1)

b) Montrer que la familleC= (u, v, e1) est une base deR³.

• 2 pts : C famille libre

• 1 pt : Card(C) = 3 = dim(R³)

c) On noteP la matrice de passage de la base B à la baseC.

Expliciter la matriceP et calculer P⁻¹.

• 1 pt : P =





1 1 1

−1 −2 0

0 1 0





• 3 pts : P⁻¹=





0 −1 −2

0 0 1

1 1 1





2. a) Déterminer la matriceA⁰ de f dans la baseC.

• 1 pt : MatC f(u)

=



 2 0 0





• 1 pt : MatC f(v)

=



 0

−1 0





• 1 pt : MatC f(u)

=



 0 1

−1



 car, comme v=f(e₁) +e₁, f(e₁) =v−e₁

• 0 pt : A⁰ =





2 0 0

0 −1 1

0 0 −1





b) En déduire les valeurs propres def. L’endomorphismef est-il diagonalisable ?

• 1 pt : Sp(f) = Sp(A⁰) ={2,−1}

• 3 pts : E₂(A⁰) = Vect







 1 0 0









× 1 pt : écriture système

−3y + z = 0

− 3z = 0

× 1 pt : résolution système { y =z= 0

× 1 pt : détermination E₂(A⁰)

• 1 pt : dim E₂(A⁰)

= 1 car







 1 0 0







 base deE₂(A⁰)

• 1 pt : E−1(A⁰) = Vect







 0 1 0







 et dim E−1(A⁰)

= 1

• 1 pt : dim E₁(A⁰)

+ dim E−1(A⁰)

= 26= 3 et A⁰ ∈M3(R), doncA⁰ n’est pas diagona- lisable et f non plus

c) L’endomorphismef est-il bijectif ?

• 1 pt : non car 0 n’est pas valeur propre

d) Expliciter, sans justification, le lien entre les matricesA,A⁰,P etP⁻¹.

• 1 pt : A⁰ =P⁻¹A P

3. a) Déterminer la matriceB deg dans la base B.

• 1 pt : g(e1) = (1,0,−1)

• 1 pt : g(e2) = (1,2,1)

• 1 pt : g(e₃) = (−1,0,1)

• 0 pt : B =





1 1 −1

0 2 0

−1 1 1





b) Montrer :B² = 2B.

• 1 pt

c) En déduire les valeurs propres deg, ainsi qu’une base de chaque sous-espace propre.

• 1 pt : X²−2X est un polynôme annulateur de B

• 1 pt : Sp(g) = Sp(B)⊂ {0,2}

• 2 pts : E0(g) = Vect ((1,0,1))

• 2 pts : (1,0,1)

base de E₀(g)

× 1 pt : caractère générateur

× 1 pt : caractère libre

• 1 pt : (1,1,0),(−1,0,1)

base de E₂(g)

d) L’endomorphismeg est-il diagonalisable ?

• 1 pt : dim E₀(g)

= 1 et dim E₂(g)

= 2

• 1 pt : dim E₀(g)

+ dim E₀(g)

= 3 = dim(R³), donc g est diagonalisable On pose : E ={M ∈M3(R) |BM =M A}.

4. a) Montrer queE est un espace vectoriel.

• 1 pt : E ⊂M3(R)

• 1 pt : 0_M3(R)∈ E

• 2 pts : E stable par combinaison linéaire b) SoitM une matrice appartenant à E.

Montrer queM n’est pas inversible. (On pourra raisonner par l’absurde).

• 1 pt : si M inversible, alors A=M⁻¹B M

• 1 pt : A et B semblable donc représentent le même endomorphisme

• 1 pt : absurde car f non diagonalisable (2.b)) et g diagonalisable (3.d))

5. On cherche à montrer que E n’est pas réduit à l’ensemble{0}.

a) Justifier que, pour tout réelλ, les matricesA−λ I3 et(^tA)−λ I3 ont même rang, la matrice I3

désignant la matrice identité deM3(R).

• 1 pt : ^t(A−λ I3) =^tA−λ I3 par linéarité de la transposition

• 1 pt : rg(^tN) = rg(N)

b) En déduire que la matricesB et^tA admettent une valeur propre en commun, notéeα.

• 1 pt : d’après 2.b) et 3.c), A et B ont la valeur propre 2 en commun

• 1 pt : rg(^tA−2I3) = rg(A−2I3)<3, donc 2 est aussi valeur propre de ^tA

c) Soient X un vecteur propre de B associé à la valeur propre α, et Y un vecteur propre de ^tA associé à la valeur propreα. On note : N =X^tY.

Montrer que la matriceN est non nulle et que N appartient à E.

• 1 pt : N 6= 0_M3(R)

• 1 pt : B N = 2N =α N

• 1 pt : N A=X^t(^tA Y)

• 1 pt : N A=X(α Y) =α N =B N d) En déduire :dim(E)>2.

• 1 pt : X1 =



 1 1 0



 et X2 =





−1 0 1



 sont des vecteurs propres de B associés à la VP 2

• 1 pt : comme Y vecteur propre de^tA associé à la VP2, d’après la qst précédente, N₁ =X₁^tY ∈ E et N₂ =X₂^tY ∈ E. D’où : Vect (N₁, N₂)⊂ E

• 2 pts : (N1, N2) libre

• 1 pt : dim Vect (N1, N2)

= 2