1.2. Extremum local d’une fonction

1. Applications des développements limités

1.1. Calculs de limites

Considérons une fonctionh:I\ {x₀}7→Rbien définie et de la forme h(x)= f(x)

g(x), x∈I\ {x₀}.

Supposons que f et gadmettent des DL en x₀et nous supposons de plus que

x→xlim0

f(x)= lim

x→x0

g(x)=0.

Nous cherchons une méthode générale pour calculer lim

x→x0

h(x). Soit donc f(x)=a₁(x−x₀)+a₂(x−x₀)²+ · · · +a_n(x−x₀)ⁿ+o¡

(x−x₀)ⁿ¢ et

g(x)=b₁(x−x₀)+b₂(x−x₀)²· · · + · · · +b_n(x−x₀)ⁿ+o¡

(x−x₀)ⁿ¢ . On pose

n_f =inf {k∈{1,· · ·,n},a_k6=0} et n_g=inf {k∈{1,· · ·,n},b_k6=0} . Alors nous avons la proposition suivante

Proposition 1

Soitn∈Ntel quen_gÉn. Alors (a) Sin_f >n_g, alors lim

x→x0

h(x)=0 (b) Sin_f =n_g, alors lim

x→x0

h(x)=a_nf b_ng

(c) Sin_f <n_g, alors ha une limite infinie à gauche et à droite.

Démonstration. Par définition de n_f etn_g, nous avons h(x)=

a_nf(x−x₀)^nf + · · · +a_n(x−x₀)ⁿ+o((x−x₀)ⁿ)

b_ng(x−x₀)^ng+ · · · +b_n(x−x₀)ⁿ+o((x−x₀)ⁿ), x∈I\ {x₀}.

Maintenant, en factorisant par (x−x₀)^nf de numérateur et par (x−x₀)^ng de dénominateur, nous obtenons

h(x)=

(x−x₀)^nf ×

³

a_nf +a_nf+1(x−x₀)· · · +a_n(x−x₀)^n−nf +o((x−x₀)^n−nf)

´

(x−x₀)^ngס

b_ng+b_ng+1(x−x₀)· · · +b_n(x−x₀)^n−ng+o((x−x₀)^n−ng)¢, x∈I\ {x₀}.

1

Il résulte den_f >n_gque h(x)=(x−x₀)^nf−ng×

a_nf+a_nf+1(x−x₀)· · · +a_n(x−x₀)^n−nf+o((x−x₀)^n−nf) b_ng+b_ng+1(x−x₀)· · · +b_n(x−x₀)^n−ng+o((x−x₀)^n−ng), en faisant tendrexvers x₀, nous aboutissons

x→xlim0

h(x) = lim

x→x0

(x−x₀)^nf−ng×a_nf +a_nf+1(x−x₀)· · · +a_n(x−x₀)^n−nf +o((x−x₀)^n−nf) b_ng+b_ng+1(x−x₀)· · · +b_n(x−x₀)^n−ng+o((x−x₀)^n−ng)

= 0×a_nf b_ng

= 0.

Ce qui montre (a). Pour le cas oùn_f =n_g, la fonctionhest égale à h(x)=

a_nf+a_nf+1(x−x₀)· · · +a_n(x−x₀)^n−nf+o((x−x₀)^n−nf) b_ng+b_ng+1(x−x₀)· · · +b_n(x−x₀)^n−ng+o((x−x₀)^n−ng). Donc lim_x→x0h(x)=^a_b^{n f}

n g, ceci prouve (b).

Pourtant, sin_f <n_g, la fonctionhest égale à h(x)= 1

(x−x₀)^ng−nf ×

a_nf +a_nf+1(x−x₀)· · · +a_n(x−x₀)^n−nf +o((x−x₀)^n−nf) b_ng+b_ng+1(x−x₀)· · · +b_n(x−x₀)^n−ng+o((x−x₀)^n−ng), Alors

lim

x→x⁺₀h(x) = lim

x→x⁺₀

1

(x−x₀)^ng−nf ×

a_nf +a_nf+1(x−x₀)· · · +a_n(x−x₀)^n−nf +o((x−x₀)^n−nf) b_ng+b_ng+1(x−x₀)· · · +b_n(x−x₀)^n−ng+o((x−x₀)^n−ng)

= +∞ × a_nf b_ng

= +∞ si

Ãa_nf b_ng >0

!

, ou bien = −∞ si

Ãa_nf b_ng <0

! . De même, nous obtenons

x→xlim⁻₀h(x) = (−∞)^ng−nf × a_nf b_ng. Suivant la parité de ¡

n_g−n_f¢

et la positivité de ^a_b^{n f}

n g, nous avons quatre cas. Si (n_g−n_f) est impair et ³_{an f}

b_{n g} >0´

, ou bien (n_g−n_f) est pair et ³_{an f}

b_{n g} <0´

, alors lim_x→x⁻

0 h(x)= −∞. Pour les deux cas qui restent, la limite est égale à+∞. On en déduit (c).

Exemples.

(1) Calculons la limite en 0 de la fonction x7→h(x)=ln(1+x)−tanx+¹₂sin²x 3x²sin²x . Nous avons,

sin²x=x²+o(x²).

Donc, d’une part

3x²sin²x=3x⁴+o(x⁴).

D’autre part

ln(1+x)−tanx+1

2sin²x = µ

x−x² 2 +x³

3 −x⁴

4 +o(x⁴)

¶

− µ

x+x³

3 +o(x⁴)

¶ +1

2 µ

x−x³

6 +o(x⁴)

¶²

= −x² 2 −x⁴

4 +1

2(x²−1

3x⁴)+o(x⁴)

= − 5

12x⁴+o(x⁴).

Par conséquent

h(x)=−₁₂⁵ x⁴+o(x⁴)

3x⁴+o(x⁴) =−₁₂⁵ +o(1) 3+o(1) = − 5

36+o(1).

Ainsi

limx→0h(x)= − 5 36. (2) En utilisant les développements limités on a :

(i) lim_x→0^1−cos(x)_sin(x) =lim_x→0^{1−1+x2/2+o(x2)}

x+o(x²) =lim_x→0^x/2+o(x)_1+o(x) =0.

(ii)

limx→0

x−xcos(x)

x−sin(x) = lim

x→0

x−x(1−^x₂²+o(x²)) x−x+^x₆³ +o(x³)

= lim

x→0

x³/2+o(x³) x³/6+o(x³)

= 3

(iii) lim_x→0+ 1

x−sin(x)=lim_x→0 ⁶

x³+o(x³)= +∞.

1.2. Extremum local d’une fonction

SoitI un intervalle ouvert deRetx₀∈I, et soit f:I−→Rune fonction réelle.

Définition 1

On dit que f admet un maximum local (ou relatif) en x₀ s’il existe un intervalle ouvert J contenantx₀ tel que pour tout x∈J∩I, on a f(x)Éf(x₀). On définit de même un mini- mum local en inversant le sens de l’inégalité. Un extremum local est un maximum ou un minimum local.

Rappelons le résultat suivant qui donne une condition nécessaire pour qu’une fonction admette un extremum local.

Théorème 1

Soit f :I−→Rune fonction dérivable. Si f admet un extremum local enx₀, alors f⁰(x0)=0.

La réciproque de ce théorème est fausse, comme le montre l’exemple de la fonction f(x)=x³, dont la dérivée s’annule en 0, mais qui ne possède pas d’extremum en ce point.

Le théorème suivant donne une condition suffisante pour qu’une fonction f admette un extre- mum local en x₀, en appliquant la développement limité de f.

Proposition 2

Si le premier terme du déveleppement limité de f(x)−f(x₀)

est un monôme de degré pair, alors f admet un extremum local en x₀, de plus, le signe du coefficient nous permet de dire si c’est un maximum ou minimum local.

Démonstration. On part du développement limité de f(x)=f(x0)+a_p(x−x₀)^p+(x−x₀)^pε(x), où limx→x₀ε(x)=0, et ple premier degré pair. On a donc

f(x)−f(x0)=(x−x₀)^p(ap+ε(x)).

Le signe de la quantitéa_p+ε(x), au voisinage dex₀, est le même signe quea_p, en effet : Comme limx→x0ε(x)=0, par définition de limite, pour toutε>0, il existeη>0, tel que six∈]x₀−η,x₀+η[, alors−ε<ε(x)<ε, d’où a_p−ε<a_p+ε(x)<a_p+ε. Ainsi, sia_p>0, alors il existe ε0>0 tel que a_p−ε0>0 (il suffit de prendreε0=^a₂^p), donc pour ceε0il existeη0>0 tel que pour toutxdans ]x0−η0,x₀+η0[ voisinage dex₀,a_p+ε(x)>0. Sia₀<0, alors de même façon, il existeε1>0 tel quea_p+ε1<0, et il existe doncη1>0 tel que pour chaque xdans ]x0−η1,x₀+η1[ voisinage de x₀,a_p+ε(x)<0.

- Sia_p<0, alors f(x)−f(x0)É0 sur un voisinage dex₀, donc f admet un maximum local enx₀. - Sia_p>0, alors f(x)−f(x0)Ê0 sur un voisinage de x₀, doncdonc f admet un minimum local en

x₀.

Enfin, f admet un extremum enx₀.

Exemples.

(1) La fonction cosinus admet un maximum local en 0. En effet, son développement limité d’ordre 2 au voisinage de 0 est donné par

cos(x)−cos(0)= −x²

2 +o(x²).

(2) La fonction f(x)=(1+sin(x))^x admet un minimum local en 0. En effet, son développement limité d’ordre 2 au voisinage de 0 est comme suit

f(x)=1+x²+o(x²).

(Pour le calcul du développement limité, voir Feuille d’exercices-Séance 7-).

1.3. Position d’une courbe par rapport à sa tangente

Considérons une fonction f:I→Radmettant un DL au voisinage d’un pointx₀∈I, de la forme f(x)=a₀+a₁(x−x₀)+a_p(x−x₀)^p+o¡

(x−x₀)^p¢ ,

où pest le plus petit entierÊ2 tel que le coefficienta_p est non nul. Nous savons que l’équation de la tangente à la courbe de f au pointx₀est donnée par

y=a₀+a₁(x−a).

Maintenant nous nous intéressons à connaitre la position de cette tangente par rapport à la courbe de f au voisinage de x₀.

Proposition 3

La position de la courbe par rapport à la tangente au voisinage dex₀ est donnée par 3 cas possibles (selon le signe de la fonctionx7→a_p(x−x₀)^p au voisinage dex₀).

(a) Si pest pair eta_p>0, alors la courbe est au-dessus de la tangente.

(b) Si pest pair eta_p<0, alors la courbe est au-dessous de la tangente.

(c) Si p est impair, alors la courbe traverse la tangente au point d’abscisse x₀, c’est un point d’inflexion.

Démonstration. Par hypothèse, la fonction f est donnée par f(x)=a₀+a₁(x−x₀)+a_p(x− x₀)^p+(x−x₀)^pε(x) avec lim_x→x0ε(x)=0. Considérons la fonction g(x)=f(x)−a₀−a₁(x−x₀)= (x−x₀)^p×(a_p+ε(x)). Or, la quantitéa_p+ε(x) est du signe dea_p sur un voisingae dex₀. Alors, sur un voisinage dex₀, le signe de g(x) est le même signe quea_p(x−x₀)^p. Donc, si pest pair et a_p>0, alorsa_p(x−x₀)Ê0, ce qui implique que g(x)Ê0, donc f(x)Êa₀+a₁(x−x₀). Il en résulte (a). De même on obtient (b) et (c).

Voici un exemple d’une courbe qui représente point d’inflexion au point d’abscisse x₀

x y

x₀

Exemples.

(1) Le déveleppoment limité de la fonction f(x)=e^xau voisinage de 0 est donné par f(x)=1+x+x²/2+o(x²)

Donc la tangente à la courbeCf en 0 est y=1+x, etCf est au dessus de la tangente en 0 au voisinage de 0.

(2) Soit g(x)=Arctan(1+x). Nous avons g(x)=π

4−x 2−x²

4 +o(x²).

Donc la tangente à la courbe Cg en 0 est donnée par y= ^π₄−₂^x et Cg est en dessous de sa tangente au voisinage de 0.

(3) Nous avons

sin(x)=x−x³

6 +o(x³).

La courbeCsin est au dessus de la tangente, y=x, à droite de 0 au et en dessous à gauche. En fait, 0 est un point d’inflexion de la fonctionsinus.

Exercice.Soit f:I→Rune fonction de classeC²(I).

1. Montrer que six₀∈I est un point d’inflexion alors f"(x₀)=0.

2. Déterminer tous les points d’inflexion de la fonction x7→x⁴−2x³+1.