Chapitre 8
Applications de la dérivation
Les savoir-faire
230. Connaître le lien entre le signe def′ et le sens de variation def. 231. Etudier les variations d’une fonction.
232. Utiliser les variations d’une fonction pour obtenir ses extrema, obtenir des inégalités, résoudre un problème d’optimisation,...
I. Sens de variation et dérivation
Soitf une fonction dérivable sur un intervalleI.
• Sif est croissante surI, alors pour tout réelxdeI, f′(x)>0
• Sif est décroissante surI, alors pour tout réelxdeI, f′(x)60
• Sif est constante surI, alors pour tout réelxdeI, f′(x) = 0 Théorème
Interprétation graphique
2 4 6 8
−2
−4
−6
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
Sif est strictement croissante surI, alors en chaque point de C, le coefficient directeur de la tangente est positif, donc pour
tout réeladeI,f′(a)>0
Sifest strictement décroissante surI, alors en chaque point de C, le coefficient directeur de la tangente est négatif, donc pour
tout réeladeI,f′(a)<0
a
a a a a a a a
0
1
Soitf une fonction dérivable sur un intervalleI.
• Si pour tout réelxdeIon a f′(x)>0, alorsf est strictement croissante surI.
• Si pour tout réelxdeIon a f′(x)<0, alorsf est strictement décroissante surI.
• Si pour tout réelxdeIon a f′(x) = 0, alorsf est constante surI.
Théorème
Remarque :
Pour étudier les variations d’une fonction, on étudie le signe de sa dérivée.
Exemple :
Déterminer les variations de la fonctionf définie sur Rpar :f(x) =x3+9
2x2−12x+ 5. Vidéo
II. Extremum d’une fonction
1. Maximum, minimum
Soitf une fonction dérivable sur un intervalleI etaun réel deI.
• On dit que le réelM est le maximum def sur I atteint ena, sif(a) =M et si pour tout réelxdeI, on a f(x)6M.
• On dit que le réelmest le minimum def sur I atteint enb, si f(b) =met si pour tout réelxdeI, on a f(x)>m.
• Unextremum de f sur Iest un maximum ou un minimum.
Définition
Exemple :
Soitf la fonction définie surRpar :f(x) = 5x2−3x+ 4.
Déterminer l’extremum de la fonctionf. Vidéo
2. Extremum local
Soitfune fonction dérivable sur un intervalleIetaun réel deI. Dire queLest unmaximum (respectivement minimum) local de f sur I s’il existe un intervalle ouvert J contenu dans I, tel que L est le maximum (respectivement minimum) def surJ.
Définition
]
x J[
0 0
f(x0) =L
L est un maximum local de f
2
3. Lien dérivée/Extremum local
Soitf une fonction dérivable sur un intervalleI.
Si f admet un extremum local enx0∈I, alors on af′(x0) = 0.
Théorème
Remarque :
La réciproque de ce théorème est fausse.
Soitf une fonction dérivable sur un intervalle ouvertI. Soitx0∈I.
Si f′(x0) = 0et sif′ change de signe enx0, alorsf admet un extremum local enx0. Théorème
3
