Applications de la dérivation

(1)

Applications de la dérivation www.mathGM.fr

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Lycée Louise Michel (Gisors)

(2)

230. Connaître le lien entre le signe def^′et le sens de variation def.

231. Etudier les variations d’une fonction.

232. Utiliser les variations d’une fonction pour obtenir ses extrema, obtenir des inégalités, résoudre un problème d’optimisation,...

(3)

Théorème

Soitf une fonction dérivable sur un intervalleI.

•Sif est croissante surI, alors pour tout réelxdeI,

•Sif est décroissante surI, alors pour tout réelxde I,

•Sif est constante surI, alors pour tout réelxde I,

(4)

Théorème

•Sif est croissante surI, alors pour tout réelxdeI, f^′(x)>0

•Sif est décroissante surI, alors pour tout réelxde I,

(5)

Théorème

•Sif est décroissante surI, alors pour tout réelxde I, f^′(x)60

(6)

Théorème

•Sif est décroissante surI, alors pour tout réelxde I, f^′(x)60

•Sif est constante surI, alors pour tout réelxde I, f^′(x) = 0

(7)

Interprétation graphique

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

0

−2

−4

−6 2 4 6 8

Sif est strictement croissante surI, alors en chaque point de C, le coefficient directeur de la tangente est positif, donc pour tout réeladeI,f^′(a)>0

Sifest strictement décroissante surI, alors en chaque point de C, le coefficient directeur de la tangente est négatif, donc pour tout réeladeI,f^′(a)<0

a

a a a a a a a

0

(8)

Applications de la dérivation

www.mathGM.fr Théorème

•Si pour tout réelxdeI on af^′(x)>0, alors

•Si pour tout réelxdeI on af^′(x)<0, alors

•Si pour tout réelxdeI on af^′(x) = 0, alors

(9)

Théorème

•Si pour tout réelxdeI on af^′(x)>0, alorsf est strictement croissante surI.

•Si pour tout réelxdeI on af^′(x)<0, alors

(10)

•Si pour tout réelxdeI on af^′(x)<0, alorsf est strictement décroissante surI.

(11)

Théorème

•Si pour tout réelxdeI on af^′(x) = 0, alorsf est constante surI.

(12)

•Si pour tout réelxdeI on af^′(x) = 0, alorsf est constante surI.

Remarque

Pour étudier les variations d’une fonction, on étudie le signe de sa dérivée.

Exemple

Déterminer les variations de la fonctionfdéfinie surRpar : f(x) =x³+9

2x²−12x+ 5. Vidéo

(13)

Minimium, maximum

Définition

Soitf une fonction dérivable sur un intervalleIetaun réel deI.

•On dit que le réelM estle maximum def surI atteint ena, sif(a) =M et si pour tout réelxdeI, on a

f(x)6M.

•On dit que le réelmestle minimum def surI atteint enb, sif(b) =met si pour tout réelxdeI, on a

f(x)>m.

•Unextremum de f surIest un maximum ou un minimum.

(14)

Définition

Soitf une fonction dérivable sur un intervalleIetaun réel deI.

•On dit que le réelM estle maximum def surI atteint ena, sif(a) =M et si pour tout réelxdeI, on a

f(x)6M.

•On dit que le réelmestle minimum def surI atteint enb, sif(b) =met si pour tout réelxdeI, on a

f(x)>m.

•Unextremum de f surIest un maximum ou un minimum.

Exemple

Soitf la fonction définie surRpar :f(x) = 5x²−3x+ 4.

Déterminer l’extremum de la fonctionf. Vidéo

(15)

Extremum local

Définition

Soitf une fonction dérivable sur un intervalleIetaun réel deI. Dire queLest unmaximum (respectivement minimum) localde f surI s’il existe un intervalle ouvert J contenu dansI, tel queLest le maximum

(respectivement minimum) def surJ.

]

_x0^J

[

0

f(x⁰) =L

L est un maximum local def

(16)

Théorème

Sif admet un extremum local enx0∈I, alors on a

(17)

Lien dérivée/Extremum local

Théorème

Sif admet un extremum local enx0∈I, alors on a f^′(x0) = 0.

(18)

Théorème

Remarque :

La réciproque de ce théorème est fausse.

(19)

Lien dérivée/Extremum local

Théorème

Remarque :

Théorème

Soitf une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I.

Soitx⁰∈I.

Si et si , alorsf admet

un extremum local enx⁰.

(20)

Théorème

Remarque :

Théorème

Soitf une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I.

Soitx⁰∈I.

Sif^′(x⁰) = 0et sif^′ change de signe enx⁰, alorsf admet un extremum local enx⁰.