1S Contrôle : loi binomiale, applications de la dérivation (2h)
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Contrôle : loi binomiale, applications de la dérivation (2h)
.E 1
.. correction ( 5 points )Après fabrication, les lecteurs MP3 d'une entreprise subissent quatre contrôles successifs indépendants, la probabilité qu'un lecteur MP3 de la production soit rejeté à un contrôle est de 0, 106.
Un lecteur MP3 est :
□□
□ commercialisé s'il subit avec succès les quatre contrôles successifs ;
□□
□ détruit s'il est rejeté au moins deux fois ;
□□
□ commercialisé sans le logo sinon.
Le coût de fabrication d'un lecteur MP3 s'élève à 50e. Son prix de vente est de 120e pour un lecteur avec logo et 60e pour un lecteur sans logo.
On désigne parG la variable aléatoire qui, à chaque lecteur MP3 fabriqués, associe le gain algébrique (éventuellement négatif) réalisé par l'entreprise.
1. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire G (arrondir à 10−3 près).
2. Calculer à 10−2 près l'espérance mathématique de G. Donner une interprétation de ce résultat.
E 2
.. correction ( 5 points )Une entreprise A est spécialisée dans la fabrication en série d'un article.
Un contrôle de qualité a établi que la probabilité qu'un article produit soit défectueux est égale à 0, 05.
On considère la variable aléatoire X qui, à n articles achetés par un commerçant, associe le nombre d'articles défectueux.
1. Justifier que X suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
2. Le commerçant achète n=25 articles. On arrondira les résultats à 10−3 près.
(a) Déterminer la probabilité qu'au moins3 articles soient défectueux.
(b) Déterminer la probabilité qu'au plus 4 articles soient défectueux.
(c) Déterminer la probabilité qu'exactement 2 articles soient défectueux.
3. Combien y a-t-il en moyenne d'articles défectueux ?
4. Le commerçant souhaite que la probabilité d'avoir au moins un article défectueux soit inférieure à 0, 5. Déterminer la valeur du nombre n d'articles qu'il peut commander.
5. Écrire un algorithme qui permet de déterminer la valeur de n trouvée précédemment.
E 3
.. correction ( 5 points )« Avec la crème Norel, les rides sont visiblement réduites », c'est ce qu'affirme la firme de cosmétologie Norel dans une publicité.
Elle ajoute : «78% des femmes utilisant cette crème se déclarent satisfaites du résultat. » Une association de consommateurs souhaite vérifier les dires de l'entreprise. À partir d'un échantillon de 200 utilisatrices (la population est suffisamment grande pour considérer qu'il s'agit de tirages avec remise), on obtient une fréquence f d'utilisatrices satisfaites du produit.
On souhaite savoir pour quelles valeurs de f, on peut mettre en doute le pourcentage annoncé par le fabriquant au seuil de 5%.
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1. On fait l'hypothèse que Noreal dit vrai et que le taux de femmes satisfaites est p=0, 78. Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire X égale au nombre de femmes satisfaites de l'échantillon ?
2. On note I l'intervalle de fluctuation à 95%. Déterminer I.
3. Énoncer la règle de décision permettant de rejeter ou non l'hypothèse p=0, 78 selon la valeur de la fréquence f des consommatrices satisfaites de l'échantillon.
4. Sur 200 femmes interrogées, 71% se déclarent satisfaites de la crème Noreal. Peut-on considérer, au seuil de 5%, l'affirmation du fabriquant comme exacte ?
5. Même question si le pourcentage de femmes satisfaites est de 71% mais que l'étude ne porte que sur 100 femmes ? Expliquez votre résultat.
E 4
.. correction ( 5 points ) Soit f la fonction définie sur I=]3 ;+∞[ par :f(x)=x2+7 x−3.
1. Déterminer l'expression de la dérivée f′ de f sur I. 2. Dresser le tableau de variation de f sur l'intervalle I.
3. Déterminer le minimum de f sur I et la valeur pour laquelle il est atteint.
4. En déduire que pour tout x>3, on a f(x)⩾14.
E 5
.. correction ( bonus )Dans un repère orthormé, P est la parabole d'équation y=x2. h est un nombre réel strictement positif.
On inscrit dans la partie du plan délimitée parP et la droite d'équation y=h un rectangle comme sur la figure ci-dessous.
1 2 3
−1 1
−2 0
h Démontrer qu'il existe un rectangle
d'aire maximale dont on exprimera les dimensions en fonction de h.
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.
Correction
.E 1
.. énoncé1. Soit X la variable aléatoire qui à un lecteur MP3 associe le nombre de fois où il est rejeté. X suit une loi binomiale de paramètre 4 et 0, 106.
□
□
□ P (G=10)=P (X=1)≈0, 303;
□
□
□ P (G=70)=P (X=0)≈0, 639;
□
□
□ P (G= −50)=1−P (G=10)−P (G=70)≈0, 058.
xi −50 10 70
P (G=xi) 0, 058 0, 303 0, 639
2. E (G)≈44, 86.
E 2
.. énoncé1. On assimile le contrôle de qualité d'un produit fabriqué à une épreuve de Bernoulli de paramètre 0, 05.
On répèten fois, de manière indépendante, une épreuve de Bernoulli de paramètre0, 05. X compte le nombre de succès (nombre d'articles défectueux) donc X suit une loi bino- miale de paramètres n et 0, 05.
2. (a) P (X⩾3)≈0, 127; (b) P (X⩽4)≈0, 993; (c) P (X=2)≈0, 231; 3. E (X)=25×0, 05=1, 25.
4. P (X⩾1)=1−P (X=0)=1−0, 95n.
Avec la fonctionTABLEde la calculatrice on obtient 0⩽n⩽13. 5.
VARIABLES : Entier :n DEBUT
n ← 1
tant que 1−0, 95n ⩽ 0, 5 faire
n ← n+1 fintantque afficher(n-1) FIN
E 3
.. énoncé1. On répète 200 fois de manière identique des épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre 0,78, X suit la loi binomiale de paramètre 200 et 0, 78.
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2. a=144 et b=167. On en déduit I=[0, 72 ; 0, 837]. 3. □□□ Si f ∉I on rejette l'hypothèse au seuil de 5% ;
□
□
□ si f ∈I on ne rejette pas l'hypothèse au seuil de 5%.
4. 0, 71∉I donc on rejette l'hypothèse au seuil de 5%.
5. Si l'échantillon ne comporte que 100 femmes alors a=70 et b=86. On en déduit alorsI=[0, 70 ; 0, 86] et f ∈I. On ne peut donc plus rejeter l'hypothèse au seuil de 5%.
E 4
.. énoncé1. f est dérivable sur I et pour tout x∈I, f′(x)=2x(x−3)−(
x2+7)
(x−3)2 =x2−6x−7 (x−3)2 . 2. ∆=64, x1= −1 et x2=7.
x Sgn.
f′(x) Var.
f
3 7
0
14
+∞
− +
3. Le minimum de f est14, il est atteint pour x=7. 4. D'après le tableau pour tout x>3, f(x)⩾14.
E 5
.. énoncéSoit x∈[ 0 ;p
h]
et S (x) l'aire du rectangle inscrit.
S (x)=2x( h−x2)
= −2x3+2hx S est dérivable sur [0 ;p
h]
et pour tout x∈[ 0 ;p
h] , S′(x)= −6x2+2h.
x Sgn.
f′(x) Var.
f 0
0
√h 3
0
4 3h
√h 3
ph
0
+ −
Le rectangle est d'aire maximale lorsque x=
√h
3, ses dimensions sont alors l=2
√h 3 et L=2
3h.
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