Chapitre n°10 : Applications de la dérivation

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Chapitre n°10: Applications de la dérivation

Objectifs.

O17. Lien entre signe de la dérivée et sens de variation. Extremum d'une fonction : Exploiter le sens de variation pour l'obtention d'inégalités.

[Il n'est pas toujours utile de recourir à la dérivation pour étudier le sens de variation d'une fonction][On traite quelques problèmes d'optimisation]

Durée approximative : 9 cours

Cours n°1

Revoir les act. 1 et 2 du chapitre 7, qui donnent le lien entre sens de variation et signe du coefficient directeur de la tangente à la courbe.

Chapitre n°10: Applications de la dérivation I) Dérivée et sens de variation d'une fonction

Propriété n°1 : sens de variation signe de la dérivée→ Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I

● Si la fonction f est croissante sur I, alors, pour tout nombre de I, ...

● Si la fonction f est décroissante sur I, alors, pour tout nombre de I, ...

● Si la fonction est constante sur I, alors, pour tout nombre de I,...

Démonstration :

...

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Exemple n°1 :

On donne la représentation graphique d'une fonction f :

Parmi les trois graphiques ci-dessous, quel est celui qui correspond à la représentation graphique de la fonction dérivée f ' de f ?

Propriété n°2 : signe de la dérivée sens de variation→ Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I

● Si,pour tout nombre de I, ..., alors la fonction f est croissante sur I.

● Si, pour tout nombre de I, ..., alors la fonction f est décroissante sur I.

● Si, pour tout nombre de I, ..., alors la fonction est constante sur I.

Ce théorème est admis.

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Exemple n°2 :

Déterminez le sens de variation de la fonction f définie sur R par : f(x)= 1

3 x³ – x² + x +2

...

Exemple n°3 :

Montrez que, pour x appartenant à l'intervalle ]–∞;1[, x³3x + 18. (on pourra étudier les variations de la fonction f définie par …...) ...

...

Exercice n°1 Ex.2 p.92 Exercice n°2

Ex.8 p.92 Exercice n°3

Ex.17 p.93

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Exercice n°4 Ex.24 p.94 Exercice n°5

Ex.26 p.94 Exercice n°6*

Ex.39 p.95 Exercice n°10**

Ex.44 p.95

Activité d'approche n°1 : ex.62 p.97

Cours n°2 II) Extremums d'une fonction et dérivée

Définition n°1 (rappel)

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un nombre réel de I. f admet un maximum sur I s'il existe un nombre M tel que, quelque soit le nombre choisit x, f(x)M.

f admet un minimum sur I s'il existe un nombre m tel que, quelque soit le nombre choisit x, f(x)m.

Propriété n°3 :

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I ouvert (i.e. les extrêmités de l'intervalle sont exclues) et a un nombre appartenant à I.

Si f admet un extremum local en a sur I , alors la fonction dérivée s'annule en a : f '(a) = 0.

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Remarque :

Attention, réciproque fausse :

Propriété n°3 :

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I ouvert (i.e. les extrémités de l'intervalle sont exclues) et a un nombre appartenant à I.

S'il existe un nombre a de l'intervalle I pour lequel la fonction dérivée f ' s'annule en changeant de signe en a, alors f admet un extremum local en a sur I , alors f '(a) = 0.

Exemple n°4 :

Quelle somme minimale peut-on obtenir en ajoutant un nombre strictement positif et son inverse ?

...

Exercice n°11

Ex.46 et 47 p.95 Exercice n°12*

Ex.55 p.96

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Exercice n°14*

Ex.99 p.103 Exercice n°20***

Ex.104 p.105

En groupe, si la salle informatique est disponible :

Exercice n°21 TP1 p.106 Exercice n°22

TP2 p.107

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Indices ou résultats permettant de savoir si on a juste ou faux.

Ex.1 : croissante sur [-3;1] et décroissante sur [1;4]

Ex.2 : 1. Par lecture graphique, f est décroissante sur [–1 ; 1] et croissante sur [1 ; 3]. 2. f ’ est donc négative sur [–1 ; 1] et positive sur [1 ; 3].

Ex.3 : 1. f est croissante sur [– 4 ; 0] et décroissante sur [0 ; 4]. 2. f ’ est positive sur [– 4 ; 0] et négative sur [0 ; 4]. 3. A est la courbe représentative de la dérivée de la fonction f .

Ex.4 : 1. f ’ ( x ) = –2x + 3. 2. f est croissante sur ]– ∞ ; 1,5] et décroissante sur [1,5 ; +∞ [.

Ex.5 : 1. f ’ ( x ) = 3x² – 3 = 3(x² – 1). f ’ est positif sur ]– ∞ ; –1], négatif sur [–1 ;1]

et positif sur [1 ; +∞ [. 2. f est croissante sur ]– ∞ ; –1], décroissante sur [–1 ; 1]

et croissante sur [1 ; +∞ [.

Ex.6 : 1. f ’ ( x ) = 3x² + 1. 2. f est donc croissante sur IR

Ex.7 : 1. f ’ ( x ) = 4x³ – 3x² = x² (4x – 3). 2. f est décroissante sur ] – ∞ ; 3

4 ] , et croissante sur [ 3

4 ;+ ∞[.

Ex.8 : f est donc croissante sur ]0 ; +∞ [.

Ex.9 : f est donc décroissante sur ]– ∞ ; 1[

Ex.10 : f est décroissante sur ]0 ; 2] et croissante sur [2 ; +∞ [.

Ex.11 : V et F

Ex.12 : 1. Par lecture graphique, le maximum de f sur [0 ; 2] semble être égal à –2.

2. a. f ’ ( x ) =–3x² +3 =3(1 – x² ). f ’ ( x ) est négatif sur [–2 ; –1], positif sur [–1 ; 1]

et négatif sur [1 ; 2]. b. c. Le maximum de f sur [0 ; 2] est égal à –2. d. Pour tout x de [–2 ; 2], –6 f ( x ) –2.

Ex.13 : 1. f est décroissante sur ]– ∞ ; –1], croissante sur [–1 ; 2], décroissante sur [2 ; +∞ [. 2. Le maximum de f sur [0 ; 3] est atteint en x = 2. 3. Le minimum de f sur [0 ; 3] est égal à –1 car f (0) = –1 et f (3) = 0,5.

Ex.14 : 1. V ( x ) = x² (12 – x ). 2. V est croissante sur [0 ; 8] et décroissante sur [8 ; 12[. 3. Le volume de ce placard est maximal pour x = 8 et ce volume maximal est

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égal à 256 dm³ .

Ex.15 : 1. f est croissante sur ]–∞ ; 5], décroissante sur [5 ; 15] et croissante sur [15 ; +∞ [. 2. V ( x ) = x (30 – 2x )(15 – x ) = f ( x ). V est maximal pour x = 5 cm.

Ex.16 : 1. B ( x )= –x³ + 60x² – 525x pour x appartenant à [0 ; 45]. 2. B est

décroissante sur [0 ; 5], croissante sur [5 ; 35] et décroissante sur [35 ; 45]. 3. Le bénéfice est maximal pour 35 kilogrammes. 4. Le bénéfice maximal est égal à 12 250 euros.

Ex.17 : 1. f est croissante sur [0 ; 50] et décroissante sur [ 50 ; 10]. Le maximum de f est atteint pour x =

√

⁵⁰^{= 5}

√

^2. 2. a. x appartient à ]0 ; 10[. b. Aire ABC =

1

2 x

√

^{25− x}⁴² c. V( x ) = 10x

√

²⁵^{− x}⁴² . 3. a. V ( x ) = 5

√

^f⁽^x⁾. b. V a le même sens de variation que f . c. Le volume est maximal pour x = 5

√

2. et le volume maximal est égal à 250 cm³.

Ex.18 : 1. y = 5 – 3x . 2. Aire = x² + x (5 – 3x ) = –2x² + 5x . 3. L’aire est maximale pour x = 1,25 et alors y = 1,25 ; le logo est alors formé de deux carrés.

Ex.19 : 1. a. g est croissante sur [0 ;1] et décroissante sur [1 ; +∞ [. b. g est négative sur [0 ; +∞ [, donc 2

√

^x ^ x + 1. 2.a. y = 0,5x + 0,5. b. c est en dessous de la tangente.

Ex.20 : 1. Il semble que le pli minimal mesure environ 27 cm et qu’il soit obtenu pour x environ égal à 15 cm . 2. a. D’après l’énoncé MN = MC et le point N doit appartenir au segment [AD], donc la longueur x doit être supérieure à la moitié de CD et

inférieure à 21. b. DN =

√

²¹⁽²^{x − 21}⁾. c. Aire triangle MDN = (21−x)×

√

²¹⁽²^x−21)

2 Aire triangle MNP = xy

2 Aire triangle PMC= Aire triangle MNP. e.

√

²²^x⁻^x³²¹ ^{3.a. f}

est décroissante sur ]10,5 ; 15,75] puis, croissante sur [15,75 ; 21] b. Le pli minimal est atteint pour x = 15,75.

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