D15 – Dérivation - optimisation
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DERIVATION - OPTIMISATION 1
On dispose une feuille de carton rectangulaire, de 80 cm de long et 50 cm de large, avec laquelle on veut fabriquer une boîte ayant la forme d’un parallélépipède rectangle. Pour cela, on découpe dans la feuille quatre carrés égaux, aux quatre coins (voir la figure), puis on plie le carton suivant les segments [𝐴𝐵], [𝐵𝐶], [𝐶𝐷] 𝑒𝑡 [𝐷𝐴]. On appelle 𝑥 la mesure en cm de côté de chaque carré découpé.
1) Préciser entre quelles valeurs peut varier x pour que la boîte soit réalisable. On obtiendra un intervalle I.
2) Déterminer le volume en cm³ de la boîte obtenue, en fonction de x. On le notera 𝑉(𝑥) et l’on établira que :
𝑉(𝑥) = 4𝑥3− 260 𝑥2+ 4000𝑥
3) Étudier les variations de la fonction 𝑉 sur 𝐼, et en déduire la valeur de 𝑥 qui rend le volume de la boîte maximum. Quels sont alors les dimensions et le volume de la boîte obtenue ?
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Corrigé 2
1) Les distances doivent être strictement positives.
On résout :
50 – 2𝑥 > 0 et 80 – 2𝑥 > 0.
⇔ – 2𝑥 > − 50 et ⇔ – 2𝑥 > − 80
⇔ 𝑥 < 25 et ⇔ 𝑥 < 40
D’où : 𝐼 = ]0 ; 25 [
2) Le volume d’un parallélépipède rectangle est égal au produit de la longueur, de la largeur et de la profondeur, donc 𝑉(𝑥) = (50 − 2𝑥) (80 − 2𝑥) 𝑥
𝑉(𝑥) = (50 − 2𝑥) (80 − 2𝑥) 𝑥
⇔ 𝑉(𝑥) = (4000 − 100𝑥 − 160𝑥 + 4𝑥2) 𝑥
⇔ 𝑉(𝑥) = (4000 − 100𝑥 − 160𝑥 + 4𝑥2) 𝑥
⇔ 𝑉(𝑥) = 4𝑥3− 260 𝑥2+ 4000 𝑥
3) Calcul de de la dérivée
𝑉(𝑥) est la somme de fonctions polynômes dérivables sur 𝐼, donc 𝑉′(x) est dérivable sur 𝐼.
Soit 𝑉′(𝑥) = 12𝑥2− 520𝑥 + 4000
On résout 𝑉′(𝑥) = 0
⇔ 12𝑥2− 520𝑥 + 4000 = 0
∆ = 4900 > 0 donc l’équation admet deux solutions distinctes : 𝑥1= 10 et 𝑥2 = 100
3 ≈ 33,3
𝑥2 n’appartient pas à 𝐼 donc on ne retient que 𝑥1. Soit le tableau suivant :
Le maximum est atteint pour 𝑥 = 10. Lorsque les carrés ont 10 cm de côté, le volume de la boîte s’établit donc à 60 × 30 × 10 = 18 000 𝑐𝑚³, soit 18 litres.
