Application de la dérivation ES 1
Application de la dérivation et problèmes
Vérifier les acquis n°1 à 6 p 84
I. Signe de la dérivée et variations
A. Du sens de variation de la fonction au signe de sa dérivée Propriétés (admises)
𝑓 est une fonction dérivable sur un intervalle I.
Si f est croissante sur I alors pour tout nombre réel 𝑥 de I, 𝒇’(𝒙) ≥ 𝟎.
Si f est constante sur I alors pour tout nombre réel 𝑥 de I, 𝒇’(𝒙) = 𝟎.
Si f est décroissante sur I alors pour tout nombre réel 𝑥 de I, 𝒇’(𝒙) ≤ 𝟎.
Illustrations
Voir exercice résolu 1 p 87 Exercices n°11 – 13 – 14 – 15 – 16 – 17 p 92
B. Du signe de la dérivée au sens de variation de la fonction Propriétés (admises)
𝑓 est une fonction dérivable sur un intervalle I.
Si pour tout nombre réel 𝑥 de I, 𝒇’(𝒙) ≥ 𝟎, alors f est croissante.
Si pour tout nombre réel 𝑥 de I, 𝒇’(𝒙) = 𝟎, alors f est constante.
Si pour tout nombre réel 𝑥 de I, 𝒇’(𝒙) ≤ 𝟎, alors f est décroissante.
Illustrations
Exemple
𝑓 est la fonction dérivable sur R définie par 𝑓(𝑥) = 2𝑥3− 7.
Pour tout nombre réel 𝑥, 𝑓′(𝑥) = 6𝑥2. Donc, pour tout 𝑥 ≠ 0, 𝑓′(𝑥) > 0 et 𝑓′(0) = 0.
Par conséquent, la fonction 𝑓 est strictement croissante sur R.
Voir exercice résolu 2 p 87
Exercices n°18 – 20 – 21 – 22 – 23 – 24 – 25 – 26 – 27 p 92 – 93
Application de la dérivation ES 2 II. Tableau de variation d’une fonction et extremum
A. Comment dresser un tableau de variation ?
Pour étudier les variations d’une fonction donnée par son expression, on procède ainsi : 1- On calcule 𝑓′(𝑥).
2- On étudie le signe de 𝑓′(𝑥).
3- On dresse le tableau de variations de 𝑓.
Sur la ligne « 𝑥 », on note l’ensemble de définition de 𝑓 et les valeurs qui annulent 𝑓′(𝑥).
Sur la ligne « 𝑓′(𝑥) », on indique le signe de 𝑓′(𝑥).
Sur la ligne « 𝑓(𝑥) », on indique le sens de variation de f par des flèches et on note les valeurs exactes des images des nombres qui figurent sur la première ligne.
Exemple
𝑓 est la fonction définie sur [−1 ; 3] par 𝑓(𝑥) =1
4𝑥4−2
3𝑥3 +1
2𝑥2− 1 Calcul de la dérivée : 𝑓′(𝑥) = 𝑥3− 2𝑥2+ 𝑥
Signe de la dérivée : 𝑓′(𝑥) = 𝑥(𝑥2− 2𝑥 + 1) pour tout 𝑥 ∈ [−1; 3]
𝑓′(𝑥) = 𝑥(𝑥 − 1)² pour tout 𝑥 ∈ [−1; 3]
Or (𝑥 − 1)² ≥ 0 donc 𝑓′(𝑥) est du signe de 𝑥.
Donc 𝑓′(𝑥) ≤ 0 si 𝑥 ≤ 0 et 𝑓′(𝑥) ≥ 0 si 𝑥 ≥ 0. 𝑓′ s’annule en 0 et en 1.
Tableau de variation :
B. Extremum et tableau de variation Propriété
Lorsque la dérivée s’annule en 𝑥0 en changeant de signe, la fonction admet un extremum local en 𝑥0. Cet extremum vaut 𝑓(𝑥0)
Exemple
Pour la fonction de l’exemple précédent, on voit que la dérivée s’annule en 0 en changeant de signe, donc f admet un minimum en 0 qui vaut −1.
Donc pour tout 𝑥 ∈ [−1; 3], 𝑓(𝑥) ≥ 1
Voir exercices résolus 1 – 2 p 89
Exercices n°28 – 29 – 30 – 31 – 33 – 36 – 37 p 94 – 95 Problèmes n°51 – 52 – 53 p 98 – 99
Approfondissement n°67 – 69 p102 – 103 AP n°1 à 10 p 90 – 91
Autonomie n°58 à 65 p 100 – 101
