Dérivation et problèmes

Dérivation ES 1

Dérivation et problèmes

Vérifier les acquis n°1 à 6 p 60

I. Nombre dérivé en un point

𝑓 est une fonction définie sur un intervalle 𝐼, 𝑎 et 𝑎 + ℎ sont des nombres réels de 𝐼, avec ℎ ≠ 0 A. Taux d’accroissement

Définition

Le taux d’accroissement (ou taux de variation) de 𝑓 entre 𝑎 et 𝑎 + ℎ est le rapport

𝒇(𝒂+𝒉)−𝒇(𝒂)

𝒉

Interprétation graphique

Le taux d’accroissement de 𝑓 entre 𝑎 et 𝑎 + ℎ est le coefficient directeur de la droite (𝐴𝑀) ci-dessus.

Interprétation économique

Le taux d’accroissement de 𝑓 entre 𝑎 et 𝑎 + ℎ est l’accroissement moyen de la fonction 𝑓 (coût…) entre 𝑎 et 𝑎 + ℎ.

B. Nombre dérivé d’une fonction en 𝒂 Définition

Dire que 𝑓 est dérivable en 𝑎 signifie que 𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)

ℎ tend vers un nombre réel lorsque ℎ tend vers zéro.

On dit que ce réel est le nombre dérivée de 𝒇 en 𝒂 et on le note 𝒇’(𝒂)

𝐥𝐢𝐦𝒉→𝟎

𝒇(𝒂 + 𝒉) − 𝒇(𝒂)

𝒉 = 𝒇′(𝒂)

Voir exercice résolu 1 p 63 Exercices n°9 à 12 p 70 C. Tangente à la courbe d’une fonction

Définition – Propriété

Soit 𝑓 une fonction dérivable en 𝑎, 𝐶_𝑓 sa courbe représentative et 𝐴 le point de 𝐶_𝑓 d’abscisse 𝑎.

La tangente à la courbe 𝑪_𝒇 au point 𝑨 est la droite passant par 𝐴 et dont le coefficient directeur est 𝑓’(𝑎).

Une équation de cette tangente à la courbe 𝐶_𝑓 au point 𝐴 est : 𝒚 = 𝒇’(𝒂) (𝒙 − 𝒂) + 𝒇(𝒂)

Voir exercice résolu 2 p 63 Exercices n°13 à 23 p 70 – 71

D. Fonction dérivée Définition

Dire que 𝒇 est dérivable sur 𝑰 signifie que 𝑓 est dérivable en tout nombre réel de 𝐼.

La fonction dérivée de 𝑓 est la fonction qui, à tout nombre réel 𝑥 de I, associe 𝑓’(𝑥). On la note 𝑓’.

Dérivation ES 2 II. Dérivées des fonctions usuelles

Fonctions constantes 𝒙 ↦ 𝒌 avec 𝒌 ∈R

𝑓 est la fonction définie sur R par 𝒇(𝒙) = 𝒌 𝑓 est dérivable sur R et pour tout nombre réel x, 𝒇’(𝒙) = 𝟎

Démonstration

Pour tous nombres réels 𝑎 et ℎ ≠ 0, 𝒇(𝒂+𝒉)−𝒇(𝒂)

𝒉 =^𝒌−𝒌

𝒉 = 𝟎

Fonctions identité

𝑓 est la fonction définie sur R par 𝒇(𝒙) = 𝒙 𝑓 est dérivable sur R et pour tout nombre réel x, 𝒇’(𝒙) = 𝟏

Démonstration

Pour tous nombres réels 𝑎 et ℎ ≠ 0, 𝒇(𝒂+𝒉)−𝒇(𝒂)

𝒉 =^{𝒂+𝒉−𝒂}

𝒉 = ^𝒉

𝒉= 𝟏

Fonctions carré

𝑓 est la fonction définie sur R par 𝒇(𝒙) = 𝒙² 𝑓 est dérivable sur R et pour tout nombre réel x, 𝒇’(𝒙) = 𝟐𝒙

Démonstration

Pour tous nombres réels 𝑎 et ℎ ≠ 0, 𝒇(𝒂+𝒉)−𝒇(𝒂)

𝒉 =^{(𝒂+𝒉)²−𝒂²}

𝒉 = 𝒂²+𝟐𝒂𝒉+𝒉²−𝒂²

𝒉 =^{𝒉(𝟐𝒂+𝒉)}

𝒉 = 𝟐𝒂 + 𝒉 Et 2𝑎 + ℎ tend vers 2𝑎 quand ℎ tend vers 0.

Fonctions cube

𝑓 est la fonction définie sur R par 𝒇(𝒙) = 𝒙^𝟑 𝑓 est dérivable sur R et pour tout nombre réel x, 𝒇’(𝒙) = 𝟑𝒙²

Démonstration

Voir exercice résolu 1 p 65

Fonctions puissances 𝒙 ↦ 𝒙^𝒏 (avec 𝒏 ∈N, 𝑛 ≥ 2) (admis)

𝑓 est la fonction définie sur R par 𝒇(𝒙) = 𝒙^𝒏 𝑓 est dérivable sur R et pour tout nombre réel x, 𝒇’(𝒙) = 𝒏𝒙^𝒏−𝟏

Fonctions inverse

𝑓 est la fonction définie sur R par 𝒇(𝒙) =^𝟏

𝒙

𝑓 est dérivable sur R et pour tout nombre réel x, 𝒇’(𝒙) = − ^𝟏

𝒙²

Démonstration

Pour tous nombres réels 𝑎 ≠ 0 et ℎ ≠ 0, 𝒇(𝒂+𝒉)−𝒇(𝒂)

𝒉 =

𝟏 𝒂+𝒉−^𝟏

𝒂

𝒉 =

𝒂

𝒂(𝒂+𝒉)− ^𝒂+𝒉 𝒂(𝒂+𝒉)

𝒉 = ^{𝒂−(𝒂+𝒉)}

𝒂𝒉(𝒂+𝒉) = ^−𝒉

𝒂𝒉(𝒂+𝒉)= ^−𝟏

𝒂(𝒂+𝒉)

qui tend vers − ¹

𝑎² quand ℎ tend vers 0.

Fonctions racine carrée (Admis)

𝑓 est la fonction définie sur R par 𝒇(𝒙) = √𝒙 𝑓 est dérivable sur R et pour tout nombre réel x, 𝒇’(𝒙) = ^𝟏

𝟐√𝒙

Exercices n°24 à 32 p 71 – 72

Dérivation ES 3 III. Dérivées et opérations sur les fonctions

𝑢 et 𝑣 sont deux fonctions dérivables sur un intervalle 𝐼

Propriété : Somme de fonctions

La fonction 𝑢 + 𝑣 définie sur 𝐼 par (𝑢 + 𝑣)(𝑥) = 𝑢(𝑥) + 𝑣(𝑥) est dérivable sur 𝐼 et (𝒖 + 𝒗)^′= 𝒖^′+ 𝒗′

Démonstration

Pour tous nombres réels 𝑎 et 𝑎 + ℎ de 𝐼 avec ℎ ≠ 0

(𝑢+𝑣)(𝑎+ℎ)−(𝑢+𝑣)(𝑎)

ℎ =𝑢(𝑎+ℎ)+𝑣(𝑎+ℎ)−𝑢(𝑎)−𝑣(𝑎)

ℎ =𝑢(𝑎+ℎ)−𝑢(𝑎)+𝑣(𝑎+ℎ)−𝑣(𝑎)

ℎ =𝑢(𝑎+ℎ)−𝑢(𝑎)

ℎ +𝑣(𝑎+ℎ)−𝑣(𝑎) ℎ

qui tend vers 𝑢^′(𝑎) + 𝑣^′(𝑎) quand ℎ tend vers 0.

Exemple

Pour tout nombre réel 𝑥, 𝑓(𝑥) = 𝑥² + 𝑥. 𝑓 est dérivable sur R et 𝑓’(𝑥) = 2𝑥 + 1

Propriété : Produit de deux fonctions (admise)

La fonction 𝑢 × 𝑣 définie sur 𝐼 par (𝑢 × 𝑣)(𝑥) = 𝑢(𝑥) × 𝑣(𝑥) est dérivable sur 𝐼 et (𝒖 × 𝒗)^′ = 𝒖^′𝒗 + 𝒖𝒗′

Exemple

Pour tout nombre réel 𝑥 ≥ 0, 𝑓(𝑥) = 𝑥√𝑥

𝑓 est dérivable sur ]0; +∞[ et 𝑓’(𝑥) = 1 × √𝑥 + 𝑥 × ¹

2√𝑥= √𝑥 +¹₂√𝑥 =³₂√𝑥

Conséquences

Les fonctions 𝑘𝑢 et 𝑢², avec 𝑘 nombre réel, définies par (𝑘𝑢)(𝑥) = 𝑘 × 𝑢(𝑥) et (𝑢²)(𝑥) = 𝑢(𝑥) × 𝑢(𝑥) sont dérivables sur 𝐼 et (𝒌𝒖)^′= 𝒌𝒖′ (𝒖^𝟐)^′= 𝟐𝒖𝒖′

Exemples

 Pour tout nombre réel 𝑥, 𝑓(𝑥) = 3𝑥². 𝑓 est dérivable sur R et 𝑓^′(𝑥) = 3 × 2𝑥 = 6𝑥

 Pour tout nombre réel 𝑥, 𝑓(𝑥) = (𝑥²+ 𝑥)². 𝑓 est dérivable sur R et 𝑓^′(𝑥) = 2(𝑥²+ 𝑥)(2𝑥 + 1)

Propriété : Inverse d’une fonction (admise) Pour tout nombre réel 𝑥 de 𝐼, 𝑣(𝑥) ≠ 0 La fonction ¹

𝑣définie sur 𝐼 par (¹

𝑣) (𝑥) = ¹

𝑣(𝑥) est dérivable sur 𝐼 et (^𝟏

𝒗)^′= −^𝒗′

𝒗²

Exemple

Pour tout réel 𝑥, 𝑓(𝑥) = ¹

𝑥²+1. 𝑓 est dérivable sur R et 𝑓^′(𝑥) = − ^2𝑥

(𝑥²+1)²

Propriété : Quotient de deux fonctions Pour tout nombre réel 𝑥 de 𝐼, 𝑣(𝑥) ≠ 0 La fonction ^𝑢

𝑣définie sur 𝐼 par (^𝑢

𝑣) (𝑥) = ^𝑢(𝑥)

𝑣(𝑥) est dérivable sur 𝐼 et (^𝒖

𝒗)^′= ^{𝒖′𝒗−𝒖𝒗′}

𝒗²

Démonstration

𝑢

𝑣 = 𝑢 ×¹

𝑣 donc (^𝑢

𝑣)^′ = 𝑢^′×¹

𝑣+ 𝑢 × (−^𝑣′

𝑣²) =^{𝑢′𝑣−𝑢𝑣′}

𝑣²

Exemple

Pour tout nombre réel 𝑥, 𝑓(𝑥) =^3𝑥−2

𝑥²+1. 𝑓 est dérivable sur R et 𝑓^′(𝑥) =^3(𝑥2+1)−(3𝑥−2)×2𝑥

(𝑥²+1)² = ^{−3𝑥2+4𝑥+3}

(𝑥²+1)²

Voir exercices résolus 1 – 2 p 67

Exercices n°33 à 43 p 72 – 73 Problèmes n°50 à 52 p 76 – 77 Approfondissement n°70 p 80 – 81

DM n°54 p 77 et 72 p 81

AP n°1 à 8 p 68 – 69 Autonomie n°58 à 66 p 78 – 79