POUR OBTENIR PRESENTEE

PAR

POUR OBTENIR PRESENTEE

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ExaminattPurs

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Mr _B. SANSAL Rapporteur

Mr _H. DAHEL Mr H. TEOJINI

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Mr _M. BENAlSSA Président

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lE GRADE DE MAGISTER EN SCIENCES PHYSIQUES

2P-_tio_n: ELECTRONIQUE DES SYSTEMES

A L'UNIVERSITE DES SCIENCES ET DE lA TECHNOLOGIE

HOUARI BOUMEDIENE

Sout.Suz

kz24Janvklr1983 dczvant

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commission d'ýmcn:

LE GRADE DE MAGISTER EN SCIENCES PHVSlQUES

Sujet: Locansatlon ^d·unfZ

SOUrc<Z

d·ondcs ultrasonores

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Examinateurs

PAR

Ali MOUHOUCHE

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ELECTRONIQUE DES SYSTEMES

51!; ₀

POUR OBTENIR PRESENTEE

Mr _B. SANSAL Rapporteur

Mr _H. OAHEL Mr _{H. TEOJINI} Mr A. TALEB

Mr _M. BENAISSA Président

A LfUNIVERSfTE DES SCIENCES ET DE LA TECHNOLOGIE

HOUARI BOUMEDIENE

A IDee

_ure.

ff-l - -

^{11ère et JIIOn}

^père.

REM ERe lEM E N T S

Ce travail a été effectué dans deux laboratoires du centre des sciences et de la technologie nuclýalreB d'Alger:

le laboratoire de contrôle non destructif des matýriaux et le laboratoire d'électronique.

Je remercie vivement Monsieur DAHEL et Monsieur SiNSAL pour la formation qu'ils m'ont donnée et pour m'avoir permis de mener cette étude dans les meilleures conditions.

J'exprime ma reconnaissance à Mýnsieur BENAISSA pour avoir accepté de présider mon jury ^{de thèse.}

J'exprime également mes remerciements ^à Monsieur TALEB pour avoir accepté de faire partie de mon jury.

Je tiens particulièrement ^à remercier Monsieur TEDJINI et Monsieur TOUMI pour m'avoir constamment guidé ^et conseillé tout au long de la partie informatique de ce travail.

Que toute l'équipe du laboratoire de C.N.D.M. trouve ici mes remerciements, je cite notamment Monsieur DJELOUAH et Monsieur BENCHAALA pour tous les conseils et l'aide qu'ils m'ont apportés.

Ma gratitude va aussi vers tous ceux qui ont participé de près ou de loin à l'élaboration de ce travail, avec ma reconnaissance particulière ^à Mademoiselle B. GHERBI, Monsieur HALIMI, Monsieur LAZIB, Monsieur ABDI, Monsieur DABMANI,

Monsieur LOUNES M. pour la frappe et à tout le personnel du centre des sciences et de la technologie nucléaires.

CHAPITRE II: LOCALISATION MATHEMATIQUE ET DISPOSITIONS DES CAPTEURS

1. Solutions de l'ýquatinn de propaýtion d'une onde ultrasonore dans une plaque.

2. Conditions aux limites.

3. Déformation de la plaque.

1. Maille carrée.

- 1 -

I'l A TIE RES

LES ONDES DE LAMB

v. Mailles usuelles ^à quatre capteurs.

1. Equation de localisation.

2. Coordonnées de la source.

2. i^-.a l l l e t r i ar.r-u _{l a}i r e équilatérale centrée.

7, ;,aillf' lOSp.nfrp.

1. Mode zýro.

2. Epaisseurs et frýquences critiques.

TAB LED B S

IV. Vitesse de phase des ondes de LAMB V. Vitesse de groupe.

I. Introduction II. Ondes de

ýS

III. Nombres d ^Iondes de ^LAi-lB et frýquences critiques

I. Introduction.

II. L'ýmission acoustique.

III.Principe de localisation.

IV. Localisation à quatre capteurs.

CHAPITRE I.:

INTRODUCTION GENERALE

- (J ^_

CHAPITRE III: INSTRUNENTATION DE LOCALISATION.

MISE EN LIGIR SUR LE CALCULATEUR.

TRAITEhENT INFORi'iATIQUE.

I. Introduction.

II. Système multi-capteurs de localisation (S.M.C.I.).

1. Schýma gýnýral et fonctions.

2. Les différents modules du système.

3. Carte DELTA T.

4. Transmission de donnýes au calculateur.

III. Utilisation de l'ordinateur.

IV. Mode d'entrýe ^- sortie du calculateur ýULTI 20 et connexion ^à un

processus extérieur.

1. Carte coupleur M1604.

2. Connexion et test des lignes d'entrýe ^- sortie.

V. Rýalisation du couplage S.M.C.I. ^- MULTI 20.

1. Signaux ^du S.M.C.I. vers le MULTI 20.

a. - Signal d'interruption ^et autorisation de lecture (M.P.).

b. - Signaux ^de données.

2. Signal ^du MULTI 20 vers le S.M.C.I.

3. Adaptation ýlectrique.

VI. Programmation.

1. Choix du langage de programmation.

2. Programme d'interruption.

3. Programme de localisation.

4. Autres programmes.

I. Introduction.

II. Signaux acoustiques ^et identification des modes de LAMB.

III.Mesure de la vitesse de propagation.

- 3 -

a. - Mesure des DELTA T.

b. ^- Instrumentation.

c. - Précision sur la vitesse.

a. - Maille triangulaire centrée.

b. ý Maille losange.

c. - Maille carrée.

2. Influence de la dimension "a" de la maille.

a. - Maille carrée.

b. - Maille triangulaire centr'e.

c. - Maille losange.

1. Influence des erreurs sur les DELTA T.

3. Influence de l'incertitude sur la vitesse.

1. Cas de la maille triangulaire centr'e.

2. Facteurs limitant la précision de localisation.

1. Programme de détermination de la vitesse.

2. Disposition des capteurs.

3. Résultats et précision.

4. Valeur théorique de la vitesse.

V. Précision mathématique.

IV. Localisation.

CHAPITRE IV: MISE ^E:'T 08UVRE Dr: LA CHAINE DI'; LOCA I...ISATION.

RESULTATS ET PRECISION DE LOCALISATION.

- ADEXE ^I

- BIBLIOGRAPHIE.

Listings des programmes.

- 4 -

l I T R 0 pUC T l 0 ft

GEIER,LI

- 6 -

Toute plaque. naroi ^d' une ^CUVf; .u clo i son s'us ccntrainte peut être le

siège d'une faiblesse qui, constituée ^à l'origine par un défaut de struc- ture (densité de dislocation importante), risque si l'on n'y prend garde d'évoluer et se transformer en une microfissure. Il faut par conséquent surveiller toute structure qui travaille.

La naissance d'une microfissure s'accompagne d'un phénomène physique appelé "émission acoustique". C'est ^une émission d'ondes ultrasonores au sein du matériau. Ces ondes se propagent,à partir de la source, dans toutes les directions. Il est possible donc, grâce ^{à des} capteurs d'ultrasons

disposés sur la surface ^à surveiller, de déceler ces ondes de contrainte et, à partir des informations qu'elles véhiculent, on peut:

- connattre l'importance de la transformation que subit le matériau;

- situer l'endroit faillible, appelé source, où a lieu cette trans- formation ^"

Le but de ce travail est l'étude théorique et pratique de la locali- sation d'une source d'ondes ultrasonores sur une plaque. Pour mener cette étude nous avons dû simuler une source soit par un émetteur d'ultrasons excité électriquement, soit par percussion ponctuelle sur la plaque.

Grâce ^à une disposition convenable de détecteurs suivis par une chatne d'acquisition de signaux acoustiques, des informations arrivent ^{à un} calcu- lateur préalablement programmé pour ^les échanges avec un processus extérieur.

Ce calculateur effectue alors ^un traitement mathématique et nous donne des messages nous informant sur l'emplacement de la source d'émission acoustique.

Comme, il s'agit de localiser une source sur une plaque, ^les ondes de contraintes seront des ondes développées dans ^une structure relativement peu épaisse. ^Nous étudions, ^{dans le} premier chapitre, ^les ondes de plaques appelées aussi ondes de LAMB.

- ? -

Dans le deuxième chap ^{i t r e} nous exposerons ^1:< méthode mathématique de localisation et son application ^ý des dispositions particuliýres de capt0urs ultrasonores sur la plaque. Nous choisiront trois géométries usuelles à quatre capteurs: le carré, le triangle équilatéral centré et le losange.

Les expressions de localisation deviennent plus simples et font aussi ressortir des zones d'indétermination où la localisation est impossible.

Le troisième chapitre sera .ponsacré ^à l'étude de la cha!ne d'instru- mentation de localisation, de sa mise en ligne avec le calculateur qui permet une localisation immédiate. L'acquisition et le traitement des

signaux acoustiques se propageant dans la plaque se fait grâce ^{à un} système multi-capteurs informatisé (ou S.M.C.I.). Ce système mesure les quatre.

intervalles ne temps séparant l'arrivée des signaux ultrasonores aux dif- férents capteurs.

Pour la connexion du S.M.C.I. ^à l'ordinateur nous avons étudié les signaux d'échanges des deux parties et organisé leur enchainement dans le temps, de manière ^à ce qu'à chaque évènement acoustique les données soient prises en compte par le calculateur.

Nous présentons aussi, dans ce chapitre notre programmation pour l'ac- quisition des données et tout le traitement informatique mis au point.

Dans le quatrième chapitre, il s'agira de la mise en pratique du système de localisation et de la précision sur la position de la source.

Nous présentons d'abord 'une méthode de mesure de la vitesse de propaga- tion des ondes sur la plaque en utilisant la cha!ne de localisation.

Ensuite, nous examinons l'influence deJa nature des ondes de LAMB sur la précision de localisation.

D'après des localisation des sources effectuées avec une disposition de capteurs en triangle équilatéral centré, nous avons remarqué que l'er- reur de localisation n'èst pas la même en des endroits différents de la maille. Nous avons alors mené des simulations sur ordinateur permettant dý

- ,)Q

-

visualiser le champ d'erreurs sur la localisation en fonction des erreur8 sur les DELTA T (intervalles de teffips mesurés par le système multi-cap- teuý. Nous montrons ainsi l'influence _{de la} disposition des capteurs Bur la précision de la localisation en faisant ressortir les avantages et les inconvénients de chaque géométrie. Nous terminons par l'étude ^de l'influ- ence de la dimension de la maille et de l'erreur sur la vitesse.

CHA PIT REI ^I

ý ORDES DE

- 10 -

I. Introduction

La localisation de la source émettrice se fera sur une plaque métal- lique. Dans une telle structure les ondes ultrasonores se propagent d'une façon propre aux plaques.

LAMB a montré en 1917 que dans une plaque d'épaisseur e, du même ordre de grandeur que la longueur d'onde _ý des ondes ultrasonores, ^{il est} pos- sible d'obtenir une onde de plaque dont la vitesse de propagation est fonc- tion de la fréquence ^: c'est une onde DISPERSIVE.

Nous rappelons dans ce chapitre les caractéristiques et propriétés des ondes de LAMB.

- 11 ^-

II. Ondes de LAMB

1 - Solutions de l'éqUAtion de propagation d'une onde ultraaonore dan. une Elague

Prenone une plaque d'épaisseur ^{e = 2d} limité _par l8e plane z = ý ^{d. et} considérons le propagation d'une ^onde plane le long de la direction Ox.

La déformation ^HM' (U, V, W) subie par un point M(x, _1, z) dérive d'un potentiel aca1aire ý associé à la dilatation et d'un potentiel ^""cteur _ý aesocié ^à la rotation. ¢ ^et 'P ^sont les solutions de l'équation générale de propagation des ondes ultrasonores dans un milieu i.otrope. Ce. eolutiona sont priees sous forme de fonctionahyperboliquea pour ..ti.taire ^aux condi- tion. de symétrie et d'antisymétrie des ondes de LAMB.

;

^{= (A}_a ^{chqz + B}_a^{ahqz) exp (j(wt - kx» ( 1a)}

'JI ^{= (D} shaz ⁺ C chez) exp (j(wt ^- kx» (1b)

15 a

"" ec ^". ^A " B _" D et C conatantes arbitrairea.

a a ¹⁵ a

q2 = k2 k2

1

2 k2 k2

a =

t

- 12 ^-

et

ristiquen suivRntes

2jB kqchqd ^{+ C (k2 + s2)} chsd = 0

a a

B (k2 + s2) shqd ^- 2j C ks shad = ₀

a a

2j ^A kqshqd ^{+ D (k2 + s2)} shad = ⁰

s s

Pour que chaque systèae ^{ait des} solutions non triviales, il faut que son d'terminant soit ^{nul. On} obtient alors les 'quations caracté-

Ces deux systèmes ^se traduisent par ^: 2 - Conditions aux limites ^s

b =6' =6' =0

zz zy zx

Ces conditions donnent deux systèmes ^de deux 'quations chacun.

Le premier système est obtenu pour ý (+ d) = _{0, le} deuxième pour zz ^-

e

⁽⁺ d) = _O.

IS:!: ^-

, _"

k =.L est le nombre d'ondes des ondes de LAMB;

ou .

c

kl =L est le nombre d'ondes des ondes longitudinales;

cl

kt

w est le nombre d'ondes des ondes transversales.

=- Ct

Les potentiels ¢ etý doivent satisfaire ^aux conditions aux limites;

sur les faces z = + d les composantes ^du tenseur de contrainte sont nulles, soit:

c, cl et Ct 'tant les vitesses ^de propagation des ondes ^de LAMB, des ondes longitudinales ^et transversales respectivement.

tia1es.

(2a) (2s)

- 13 ^-

shs z 11

_...::a=--) )exp j(wt ^{- k} x - -)

chs d ⁸ 2

a

chs z

_ýa=--» exp j (wt - k x)

chs d a

a sh8 ^Z

_.:::8_» exp j I.wt _{- k x)}

shs d s

a

chq ^z 2k2

( 8 _ (

a

2 2

chq d k +s

a a a

shq ^z

( a

chq ^d a

chq ^z 2q ^s chs ^z 'Ti

(

s _( 2s ý. ^s »exp j(wt ^- ksx ^- 2) shq d k +s shs d

s s s s

+ Bk

8.

+ Bq a

shq ^z

W = _{Aq (} ^s_

" shq_s^d

U = Ak

s

(k2 + s2)2 chqd shsd ^- 4k²qs shqd chsd ^{= 0}

qa222= _ka - k1;

q222=k -L·

s s -1'

k étant le nombre d'ondes des ondes symétriques de LAMB;

s

k étant le nombre d'ondes ^des ondes antisymétriques de LAMB.

a

Soient k et k les valeurs de ^k satisfaisant respectivement aux &qua-

s a

tions (2s) et (2a). On trouve:

ob I

Et nous pouvons alors tirer D en fonction de A , et C en fonction de

s s a

Ba. Des expressions de ¢ etý ^nous déduisons les déplacements U et W où ils ne restent que les constantes A_e et B déterminées par les conditions ini-

a

- 14 ^-

U et W se pr'sentent sous la forme ^:

+ _W a

2 k2 k2

s =

s s t

2 k2 k2

s =

a a t

A = A shq d

s s

B = B chq ^d

a a

Us et Ws fonctions symétriques ^{en z;}

Ua et Va fonctions antisymétriques en z.

U = U + U

s a

Les expressions de U et W d'une part et celleede U et W d'autre

s s a a

part correspondent à deux groupes d'ondes qui satisfont indépendamment les équations de propagation et les conditions aux limites.

avec ^I

Les deux ondes peuvent donc exister indépendamment. L'onde caractérisée par l'indice "s" est une onde dont le mouvement est s:ySétrique par rapport au plan z = _0: c'est l'onde de _LAMB SYMETRIQUE.

L'onde caractérisée par l'indice "a" est une onde dont le mouvement est antisym'trique par rapport au plan ^z = ₀ c'est l'onde de LAMB ANTI- SYMETRIQUE.

amE SnmI'RIQUE

afDE ANTISYMJ:l'RIQUE

- 15 -

Lea Yibrations de type antiaymétriques s'apparentent aux ondes ^de cieaill... nt. Dane le plan axial lee parti^cul "" ont un .ouy..ent trane- yereal tandis qu'à ^la surface le .ouy..ent eet elliptique.

Lee vibrations ^de type symétrique ^eont eemblables aux ondee ^de compression ^{en ce} eene que dans ^le plan axial ^{de la} plaque l'onde ^qui

Be propage eet ^une onde de compreseion tandis qu'à ^la surface le mou- yement dee particules ^eet elliptique.

, - Déformation de la plague

- 16 ^-

1 -Mode zéro

c w sont respectivprncnt les vitesses de phase des

El. k

a

et

(2k! ^- ký)2 Sh«ý ^- ý)tWd) Ch«ý ^_

ý)twd)

ca cl ca Ct

(2k! ^- ký)2 Ch((ý ^-

ý)t

^wd) Sh((ý ^_

ý)t

^wd)

Cs cl Cs Ct

III. Nombre d'ondes de ýiB et frRguences critiques

Dans une plaque d'épaisseur e = 2d ^à une fréquence _w, il peut exister

un nombre fini d'ondes symétriques et antisymétriques de LAMB, différant l'une de l'autre par leur vitesse de phase et de groupe et par la distri- bution des déplacements et des contraintes à travers l'épaisseur de la plaque.

Le nombre d'ondes symétriques est déterminé par le nombre de racines réelles de l'équation (2s). Le nombre d'ondes antisymétriques par ^celles de l'équation (2a).

Les équations caractéristiques (2s) et (2a) s'expriment en fonction de la quantité wd sous la forme:

Chaque racine détermine un mode de rang n défini par son nombre d'ondes

ksasou k , ou sa vitesse de phase ^c ou c_a" Pour les applications pratiques on s'arrête généralement ^à une valeur maximum n = _3.

où

- 17 -

ondes symétriques et des ondes antisymétriques de LAMB.

Les expressions (3s) et (3a) sont les équations de dispersion des ondes de LAMB: f(w, k ) = _{0 et f(w, k )} = _o.

S a

Elles se transforment ainsi

et

Ce qui relie c à wd et c à wd.

s a

Pour wd tendant vers zéro, les équations (3s) et (3a) ont alors une seule racine chacune correspondant au mode zéro: la solution de l'équa- tion (38) notée _ka correspond au mode symétrique S ; la solution de l'é-

o ⁰

quation (3a) notée k cor-r-sapord au mode antisymétrique A ^"

a 0

o

2 - Epaisseurs et fréquences critiques

Quand le produit wd augmente ^les racines k et k varient en module,

So ao

et pour de nouvelles valeurs définies de wd, de nouvelles racines _{ks" kS2'} ks3, ^{.." ;} ka" ka2, ka3, ^... apparaissent correspondant chacune aux modes

1,2,3 """symétriques (S1'S2,S3 ^{... ) et} antisymétriques (A"A2,A3, ^{.." ) des}

ond es de LAl':B.

- 18 ^-

IV. Vitesse de phase des ondes de LANB

la vitesse Ct des ondes transversales.

quantité vd tend vers zéro, cSo est plus augmente, Cs diminue _{et ca} augmente ^et

o ⁰

des ondes de surface (ou ondes de quand la

zéro, Pour les modes

L'allure des vitesses de phase des divers modes est donnée à la planche

1 pour une plaque en acier.

Les valeurs des racines ^k et k dépendent de wd, donc de la fréquence

s a

pour une épaisseur donnée. Il en est de même pour les vitesses c et c des

s a

ondes symétriques et antisymétriques existant dans la plaque. C'est cette dépendance de la fréquence qui confère aux vitesses des ondes de LAMB leur propriété de dispersivité.

Les valeurs de d et " pour lesquelles ces racines k apparaissent sont appelées EPAISSEURS et FREQUENCES CRITIQUES. s,a

grand que ca_o ^" Ensuite lorsque wd tous deux tendýnt vers la vitesse c

s

RAYLEIGH) et ceci dès que le produit fréquence x épaisseur atteisne quel- ques MHz ^- mm. Les vitesses des modes d'ordre supérieur ^à zéro tendent vers

v. Vitesse de groupe

c¢ étant la vitesse de phase, la vitesse de groupe s'écrit:

gr dw ¢ \ dc¢ ^rA

c =

ý

^{= c - 1\} d À. et se calcule donc ^à partir de cT.

Les vitesses de grcupe des divers modes sont l'allure représentée sur la planche 2A pour ^les modes symétriques et la planche 2B pour les modes antisymétriques. Il s'agit aussi d'une plaque d'acier.

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CHA PIT ^{R E} II:

LOCALISATION MATHEMATIQUE ET DISPOSITIOI

DES CAPl'EURS "

- 23 ^-

I. Introduction

Une localisation immédiate exige ^{le choix} d'une méthode mathématique pour établir l'algorithme ^de résolution. Cette méthode mathématique doit tenir compte ^du nombre de capteurs d'ultrasons utilisés et de leur dispo- sition sur ^la plaque.

Dans notre cas, nous utilisons une maille ^à quatre capteurs. L'un ser- vant de référence, les trois autres peuvent nous donner ^trois intervalles de temps et nous permettent d'utiliser la méthode mathématique décrite dans ce chapitre.

Après la résolution des équations de localisation dans le cas général, nous examinerons ^trois dispositions particulières ^des transducteurs.

Les expressions des coordonnées de la source nous révýlent ^des particu- larités pour chaque géométrie (ou maille).

I

I

- 24 ^-

II. L'émission acoustique

L'émission acoustique ou émission d'ondes de contrainte désigne la cr'a- tion spontanée d'ondes élastiques accompagnant une déformation irréversible d'un matériau soumis à un champ de contraintes.

L'émission acoustique est généralement causée par un phénomène très bref.

A partir de la source, les ondes se propagent dans toutes les directions.

Lorsqu'elles sont détectées par un capteur,leur forme a été :modifiée par les fonctions de transfert des différents composants du système: nature de la source, modes ^de propagation des ondes élastiques dans la structure

considérée, distance séparant la source du capteur, sensibilité et spectre de réponse du capteur ainsi que son couplage sur la structure.

Tout signal reçu par un capteur déclenchera ou arrýtera un compteur de temps, contribuant ainsi ^à la mesure des "DELTA T" qui déterminent les

différences de temps de parcours entre la source et les différents capteurs.

La rýBolution des équations dans lesquelles entrent ces DELTA T, nous donnera les coordonnées de la source d'émission acoustique.

III. Principe de localisation

Soit une surface infinie sur laquelle se trouve deux capteurs! et B.

Si une source S émet à l'instant zéro une onde de contrainte, celle-ci parviendra par exemple au capteur A à l'instant t , puis au capteur B à

o

l'instant t + ýT ^" Il est possible de mesurer ýTAB ^en d'clenchant un

o AB

chronomètre par le signal A et en l'arrýtant par ^le signal B. Cette mesure détermine une branche d'hyperbole ^sur laquelle est située la source et

telle que

SB SA = _{V. ý TAB}

V est la vitesse de propagation des nndes danG le matýriau étudié.

1 - Equations de localisation

dans le 8Y8 tlHne d'axes _xOy avec ^:

2 +

= a c2

2c ⁼ AB

Cette hyperbole de foyers A et B (figure 1) a pour équation:

Une seule branche d'hyperbole est utile, ýlle est déterminée par le premier capteur atteint par le signal acoustique.

2a = _{SB SA}

x2 a2

C'est pour cette raison qu'on utilise une ýopalisation ^à quatre cap- teurs.

Dans certaines conditions géométriques, la rýsolution des équations de localisation fait apparaître une zona "ambigUe" qui ne peut ýtre sur- veillée.

Quantre capteurs permatter.t la mesure ^{de trois} différences de temps de parcours indépendantes. Ces valeurs sont rapportées ^{à un} même capteur, le premier touché par l'onde acoustique. Il est toujours possible de .e ramener

ri ce cas ^PI1 pff,--ctuant dt':" comhinaisons linéaires ^des valeurs directement Pour localiser un point éSissif, il faut au minimum une seconde bran- che d'hyperbole déterminée ^à partir d'un troisième capteurý.eý· Cependant, deux branches d'hyperboles peuvent avoir deux points d'intersection et la détermination de la position de la source ne sera pas univoque.

mesurpes.

IV. Localisation à quatre capteurs:

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A

B

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FIGURE 1 - PHINCIl'E Dr. LA LOCALJSkTION

T2, T3 et T4 dont l'un est nul. On peut

SD2 SD1 ^{= V} ýT12

SD3 SD1 ^{= V} ýT13

SD4 ^SD

1

.- V ýT

14 On aura alors quatre temps _T1, toujours dýfinir les intervalles ^".

11

_T12 ⁼ _T2

-

_T1

fj T13 =

T3

-

_T1

fj T14 =

T4

-

_T1

On aura ^:

- 27-

Sachant que ^:

i = _{1, 2, 3} et ₄

=

mIme si certains sont négatifs.

Le système utilisý ^est câblý pour mesurer trois intervallýde temps de la façon suivante ^: quatre capteurs sont reliýs ^à quatre compteurs, le pre- mier capteur qui reçoit l'onde acoustique bloque son propre compteur et dýclenche les trois autres. Chaque compteur est arr3tý lorsqu'il reçoit ^à son tour ^le signal acoustiquè. ^On aura donc toujours un compteur qui mar- que Eýro ^{et les} trois autres marqueront les temps ýcoulés pour que le signal atteigne successivement les trois capteurs restant. Ceci est illus- trý sur la figure 2.

S étant la source: S(x, y)

Di étant le capteur numéro ^i: Di (xi' Yi)·

f r t

ý.

f_,

1

III

>

,

I /

3>1 (

"

\

1",

l4

ý"",,_.

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^{_ ....}

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ýo

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Tit

;.ý-

-:.

- 29 ^-

Cette dernière ýquatioý avec les deux autres relatives à (SD2 - SD2)

2 2 3 ¹

et (SD4 ^- SD,) nous donnent un système de 3 ýquations ^:

(xý ⁺ yý)-(xý ⁺ yý) V

l1T13

X - X Y - Y

2x ^{1 3} + _2y ^{1 3 _} 2SD = V

I:l

^{T -}

V

LlT1,

^V

LlT'3

^{1 13}

X, - _{x4 y,} - _Y4

lx - - + 2y ^- 2SD

V ýT'4 V.LlT14 ¹

alors ^{. SD2}

-

^{SD2 =} _{(SD2 ýD}

1

) (SD2 ⁺ SD1 )

. 2 1

= (SD2 SD,) (SD2 SD, ⁺ 2SD1⁾

= V.

LlT,2" (V.ýT'2

⁺ 2SD,)

soit:

Ainsi considýrant ^{SD comme une} troisième inconnue, nous avons affaire

1

à un système linýaire qu'il est possible ^de résoudre par la mýthode des dýterminants.

? - Coordonnýes _{de la} source ^:

- 30 ^-

ýy _

v2

_{T? T3 (T,} ^- _T2) (Xl ^- x4) + V2

T3 T4 (T4 ^- T3) (Xl ^- x2)

4 -

,; T2 T3 T4

- 31 -

+ T, ^(X, (Y2 ^- Y4) + A2 (Y4 ^- Y1) + _%4

(y,

^- Y2»

.; T2 T3 T4

ýx, ýy ^et _ý sont les trois déterminants intervenant ^{dans les} coordonnýes

% et y :

x =

1 - Maille carrée ^:

= SD

1

- SD

3

= ₀

2 2 ou

Y ^{= x}

V. Mailles usuelles à quatre capt,eurs

- 32 ^-

Cette condition se ramène ^à la relation

x = ^_v2_C_T2=-T""",_C_T=.,,2 _-_T_3,-)...,+,--T3"'--.;T 4::t..-(_T,"'----_T....;;z:4:...)_+_2T"_,.,,IIo2_T....;;I4_{_T_4_-_,.jT 2_...^)_)

f

C -)

2a2 T2 ⁺ T4 T3

Les relations précédentes, donnant les coordonnées x et y de la source, peuvent se simplifier dans le cas où les capteurs forment un motif gýomé- trique régulier. Nous examinons successivement le cas du carré, du triangle équilatéral centré et du losange.

Disposant les quatre capteurs comme indiqué sur la figure 3, c'est à dire en un carré de côté "a"; nous obtenons les relations suivantes ^z

Ainsi nous obtenons la position de la source émettrice en fonction de V, T2, T3 et T4 et des coordonnées xi et Yi des capteurs _Di rýpartis d'une façon quelconque sur la surface surveillée.

qui donne

L'on voit immédiatement qu'il est impossible d'effectuer une localisation si le dénominateur est nul ^:

- 33 ^-

3 - Maille losange

- T )

3

(T3 ^- T2) + T3 T4 (T3 2a (T2 ⁺ T4 ^- T3) y =

V2 (T2 T3

x = v2(T2 T, (Tý ^- _Tl) ⁺ T, T4 2a3 (T2 ⁺ T4

Le dénominateur de ces expressions ne pouvant s'annuler le triangle ýuilatéral ^{centré ne présente} pas de zone d'indétermination.

2 - Maille en triangle éauilatéral centré de ceté "a" _:

y = v2 _(T2 T3 ^{(T3 -}

Tý

+ T2 T4 (T4 ^- T2)) 2a3 (T2 ⁺ T3 + T4)

x =

v2

_{(T2 T3 (T2} ^- _T3) ⁺ _{T2 T4 (T4} - T2) + 2T,T4 (T4-T3»+a2(T4-T,) 2a (T2 + T3 + T4)

Le losange est constitué ^de deux triangles équilatéraux ^de eSté "a"

accolés par un eSté (figure 5). Dans ce cas, les coordonnées ^{de la} source sont données par les équations

La figure 4 montre la disposition des transducteurs, _D, étant placé ^à l'origine des coordonnées. Dans ces conditions, les coordonnées de la source sont données par les relations ^:

Il _{Y a} donc indétermination suivant les médi trices des eStés du carré représentées ^en pointillés sur la figure 3. On peut déjà prévoir que la précision de localisation sera mauvaise au voisinage de ces médiatrices.

- 34 ^-

Comme pour le carré, il est impossible djeffectuer une localisation si ^I T2 ⁺ T4 ^- T, = _o.

Cette condition d'termine une 'quation du quatrième degré qui correspond à deux courbes asymptotiques aux droites issues du centre du losange et pas- sant par les milieux de ses eat's. Ces courbes apparaissent Bur ^la figure 5.

)3(0·

^-

^s, Iii )

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-,

..

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ll{O,·-i)

CHA PIT R E III ^:

IBSTRUMENTATION DE LOCALISATION.

MISE EN LIGNE SUR LE CALCULATEUR.

TRAITE2(ENT INFORMATIQUE.