Exercice I.
On considère les8fonctions suivantes : f1(x) =e−x, f2(x) = 1, f3(x) = 1
x, f4(x) =ex, f5(x) =x2, f6(x) =x, f7(x) = ln(x) et f8(x) = 1 x2. 1. Les comparer au sens de la négligeabilité au voisinage de+∞.
2. Les comparer au sens de la négligeabilité au voisinage de0+. Exercice II.
Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer un équivalent au voisinage de+∞et de0: 1. f(x) =x√
x+ 2−x−4
5x2, 2. f(x) =x2−(ln(x))3, 3. f(x) = x2−√ x5−1 x+ 2 . Exercice III.
1. Donner un équivalent simple au voisinage de+∞des fonctions suivantes : f(x) =
7 + 2x5 5x+ 3x6
4
et g(x) = (19x−2xln(x) + 13)2√ 1 +x2.
2. Donner un équivalent simple au voisinage de1des fonctions suivantes : f(x) = x2+ 1
(x−1)ex et g(x) = ln(x)(ex−e).
3. Déterminer un équivalent simple dex1x −1au voisinage de+∞.
En déduire un équivalent simple dexx
1x −x.
Exercice IV.
1. Donner un équivalent simple en 0 de :x→ (ln(1 + 2x))2 1−x . 2. Donner un équivalent simple en+∞de :x→
rx+ 1 x−1 −1.
Exercice V.
Etudier les limites des fonctions suivantes au(x) point(s)aconsidéré(s), si possible en donnant un équivalent de la fonction en ce(s) point(s).
1. f(x) =xln
1 + 1 x
en a= 0 et a= +∞
2. f(x) = (x+ 1)x−1
x en a= 0 3. f(x) = 1
xln
1 +x 1−x
en a= 0 4. f(x) = (ln(e+x))x1 en a= 0
5. f(x) = (x3+x)13 −(x3−x)13 en a= +∞
6. f(x) =
1 +1 x
x
en a= +∞
7. f(x) =Ent(x) ln
1 + 1 x2
en a= +∞
8. f(x) =x5
1 + 1 x3
1
x2
−1
!
en a= +∞
9. f(x) = x 1 +ex1
−x
2 en a= +∞
10. f(x) = h
(1 +x)1x −x1xi
(xln(x))2 1− 1xx
xx1x −x en a= +∞
Exercice VI.
Calculer les limites suivantes : 1. lim
x→+∞ ln(x2+ 1)−x 2. lim
x→−∞ ln(x2+ 1)−x 3. lim
x→+∞
e3x2+5 x2+ 7 4. lim
x→+∞
1 + 1
√x x
5. lim
x→+∞
1 + 1
x
√x
6. lim
x→+∞
ln(1 +x2)
√1 +x
7. lim
x→+∞
e3x−2 ln(x)
8. lim
x→+∞
e−x12 x4 9. lim
x→+∞(xln(x+ 1)−xln(x)) 10. lim
x→+∞ln(x) ln
ln(x+ 1) ln(x)
11. lim
x→+∞(x3+x)13 −(x3−x)13 12. lim
x→1
ex2+x−e2x x−1
Exercice VII.
Calculer le développement limité à l’ordre2en0des fonctions suivantes : 1. f(x) = (1 +x)10
2. f(x) = (1−3x)5 3. f(x) = 1
1 +x 4. f(x) = 1
1−x 5. f(x) = 1
(1 +x)2 6. f(x) =√
1 +x 7. f(x) =√
1−x
8. f(x) = 1
√1−x
9. f(x) = 1
√1−x2
10. f(x) = ln(1−x2) 11. f(x) = ln(2 +x) 12. f(x) =e3−x 13. f(x) = ex+e−x
2 14. f(x) = ex−e−x
2
15. f(x) =√ 2x+ 4 16. f(x) =e−x√
1 + 4x 17. f(x) = 1
1−ln(1−x) 18. f(x) = 1
1 +ex 19. f(x) = 1
√1 +x −xex
20. f(x) = (1−2x)1−x1 21. f(x) = x+ 1
x2+x+ 2
Exercice VIII.
Calculer le développement limité à l’ordre2, au point indiqué : 1. f(x) =ex en x= 1
2. f(x) =ex en x=−2 3. f(x) = ln(x) en x= 1 4. f(x) = ln(x) en x= 3
5. f(x) =√
x en x= 2 6. f(x) =x2 en x= 4 7. f(x) = 1
x en x=−1 Exercice IX.
Déterminer la limite en 0 de
√1 +u−√ 1−u
u de deux façons différentes.
Exercice X.
Exercice XI.
Soitf définie sur]−1; +∞[par f(x) =
1
ln (1 +x)− 1
x si x6= 0etx >−1 1
2 si x= 0
Montrer quef est continue en0.
Exercice XII.
Soit la fonctionfdéfinie sur]−1; +∞[par f(x) =e−2xln(1 +x) 1. Calculer le développement limité d’ordre2en0def.
2. En déduire l’équation de la tangente en0, ainsi que la position de la courbe par rapport à cette tangente au voisinage de0.
Exercice XIII.
On considère la fonctionf définie par f(x) = x2 x+ 1e1/x. 1. DéterminerDf.
2. Etudier les variations def. 3. Montrer que f(x)
x =
+∞1 + 3 2x2 +o
1 x2
.
4. En déduire que la limite (et le signe) en l’infini def(x)−xet tracer alors le graphe def.
Exercice XIV.
Soitf la fonction définie pourx∈]−1,+∞[par : f(x) =
( ln(1+x)−x
x2 six6= 0
−12 six= 0
1. Déterminer le développement limité def à l’ordre 0 au voisinage de0.
2. Montrer quef est continue sur]−1,+∞[.
Exercice XV.
Soitf une fonction de classeC2surRvérifiantf(0) = 0.
On notegla fonction définie surRpar g(x) =f(x)/x si x6= 0 et g(0) =f0(0).
1. Montrergest continue surR.
2. Montrer quegest dérivable surRet préciserg0(x)pour toutx∈R. Exercice XVI.
On notegla fonction définie surR∗parg(x) = (x−2)ex1.
1. Montrer qu’au voisinage de−∞et+∞, on a g(x) =x−1− 3 2x +o
1 x
. 2. En déduire que la courbe degadmet une asymptote en−∞et+∞.
Exercice XVII.
Dans cet exercice, on considère la fonctionf définie comme suit : f(0) = 1, et pour toutxnon nul de]− ∞; 1[, f(x) = −x
(1−x) ln(1−x). 1. Montrer quef est continue sur]− ∞; 1[.
2. a. Déterminer le développement limité deln(1−x)à l’ordre 2 lorsquexest au voisinage de 0.
b. En déduire quef est dérivable en 0, puis vérifier quef0(0) = 1 2.
3. a. Montrer quefest dérivable sur]− ∞; 0[et sur]0; 1[, puis calculerf0(x)pour tout réelxélément de ]− ∞; 0[∪]0; 1[.
b. Déterminer le signe deln(1−x) +xpourx∈]− ∞; 1[, puis en déduire les variations def. c. Déterminer les limites def aux bornes deDf, puis dresser son tableau de variation.
Exercice XVIII.
On notef :R→Rl’application définie, pour toutx∈R, par f(x) =
x
ex−1 six6= 0 1 six= 0 1. a. Montrer quef est continue surR.
b. Justifier quefest dérivable surR∗−et surR∗+, et calculerf0(x)pour toutx∈]−∞; 0[∪]0; +∞[.
c. Montrer quef admet un développement limité à l’ordre 1 en 0 que l’on déterminera.
d. En déduire quef est dérivable en0et préciserf0(0).
e. Montrer quef est de classeC1surR.
2. a. Etudier les variations de la fonctionudéfinie surRpar u(x) = (1−x)ex−1.
b. Montrer que ∀x∈R, f0(x)<0.
c. Déterminer les limites def en−∞et en+∞, puis dresser le tableau des variations def. d. Montrer que la courbe représentative def admet une droite asymptote en−∞.
e. Tracer l’allure de la courbe représentative def. Exercice XIX.
On notef la fonction définie surRparf(x) = x
1 +e1x pourx6= 0etf(0) = 0.
1. Montrer quef est continue surR.
2. Montrer quef est dérivable à gauche et à droite en0mais n’est pas dérivable en0.
3. Montrer que pourx6= 0,f0(x)est du signe deϕ(x) = (1 + 1
x)ex1 + 1.
4. En étudiant les variations deϕ, déterminer le signe def0(x)pour toutx6= 0.
5. En déduire le tableau de variation def.
6. A l’aide de deux DL à l’ordre 1 montrer que f(x) = x 2 −1
4+◦(1)
±∞
. Que peut-on en déduire ?
7. Donner l’allure def (faire apparaître les asymptotes en+∞et−∞ainsi que les demi-tangentes en0).
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Exercice XX. (EDHEC 2018)
On considère la fonctionf qui à tout réelxassocie f(x) = Z x
0
ln 1 +t2 dt.
1. a. Déterminer le signe def(x)selon le signe dex.
b. Justifier quefest de classeC1 surRet calculerf0(x)pour tout réelx.
c. En déduire les variations def surR(on ne cherchera pas à calculer les limites def).
2. a. Montrer quef est impaire.
b. Etudier la convexité def et donner les coordonnées des éventuels points d’inflexion de la courbe représentative def dans un repère orthonormé.
3. a. Déterminer les réelsaetbtels que ∀t∈R, t2
1 +t2 =a+ b 1 +t2.
b. En déduire, grâce à une intégration par parties, que, pour tout réelx, on a : f(x) =x ln(1 +x2)−2
+ 2 Z x
0
1 1 +t2dt
4. Recherche d’un équivalent def(x)au voisinage de+∞. a. Montrer que
Z +∞
0
1
1 +t2dtest une intégrale convergente.
b. En déduire quef(x) ∼
+∞xln 1 +x2 .
c. Vérifier que, pour tout réelxstrictement positif, on a :ln(1+x2) = 2 ln(x)+ln
1 + 1 x2
, puis établir l’équivalent suivant :
f(x) ∼
+∞2xln(x)
d. Donner sans calcul un équivalent def(x)lorsquexest au voisinage de−∞.
5. Recherche d’un équivalent def(x)au voisinage de 0.
a. Montrer quef est de classeC3surR.
On admet la formule de Taylor-Young à l’ordre 3 au voisinage de0pour la fonctionf, c’est à dire : f(x) =f(0) +x1
1!f0(0) +x2
2!f00(0) + x3
3!f(3)(0) +o(x3)
b. Déterminerf(0), f0(0), f00(0)etf(3)(0).
c. En déduire alors un équivalent def(x)au voisinage de 0.
