Exercice I.
1. Vérifier que le vecteur u = (1; 0; 3) est un vecteur propre de l’endomorphisme f de R3 défini par f(x;y;z) = (2x−z;y; 3x−2z).
2. Montrer que le polynômeT(X) =X3 est un vecteur propre de l’endomorphismegdeR4[X]qui à tout polynômeP, de degré inférieur ou égal à 4, associe le polynômeg(P)(X) =XP0(X).
3. Vérifier que le vecteurX=
−1 2 1
est un vecteur propre de la matriceA=
4 −2 5
1 4 −1
0 1 1
.
4. Vérifier que le vecteurY =
1 1 1
est un vecteur propre de la matriceB =
−2 1 5 4 5 −5
2 1 1
. Exercice II.
1. Montrer que le polynômeP(X) =X2+X−6est annulateur de la matriceA=
1 1 0
4 −2 0
0 0 2
. 2. En déduire queAadmet au plus 2 valeurs propres que l’on précisera.
Exercice III.
SoitM =
0 0 1
0 0 −1 1 −1 −1
.
1. Vérifier queX3+X2−2Xest un polynôme annulateur deA.
2. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres deA.
Exercice IV.
Pour chacune des matrices suivantes, déterminer ses valeurs propres, une base de chaque sous-espace propre, dire si elle est inversible, et, si possible, la diagonaliser.
1. A= 1 1 1 1
!
2. A= 2 4
1 −1
!
3. A= 2 −1
1 4
!
4. A= 6 2
1 −3
!
5. A= 1 2
5 −2
!
6. A=
1 0 0
0 0 1
0 −1 2
7. A=
0 1 0 1 0 0 1 1 2
8. A=
3 0 1
−1 2 −1
−2 0 0
9. A=
1 −1 0
0 1 1
1 0 1
10. A=
2 1 1 0 3 4 0 2 1
11. A=
1 4 −2 0 6 −3
−1 4 0
12. A=
1 0 1 0 2 0 1 0 1
13. A=
1 1 0 2 1 2 0 1 1
14. A=
−1 3 2 −3
0 −2 1 0
0 1 −2 0
−2 −3 0 −2
15. A=
−1 8 −5 −7
0 3 3 3
0 0 −6 0
0 −2 5 −4
16. A=
−3 0 0 8 6 8 −5 2
−1 3 −8 2
0 0 0 8
Exercice V.
Dire, sans faire de calculs, si les matrices suivante sont diagonalisables et/ou inversibles : 1. A=
2 5 1 0 3 4 0 0 −4
2. A=
3 0 0
0 2 0
−2 −7 0
3. A=
0 1 −1 0 0 1 0 0 0
4. A=
1 2 −1 0 1 3 0 0 1
5. A=
0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0
6. A=
3 −1 0 1
−1 2 0 4
0 0 0 0
1 4 0 87
7. A=
2 0 0 0
4 0 0 0
−2 0 −1 0
−2 −1 1 3
8. A=
0 3 1 1 3 0 2 2 1 2 0 3 1 2 3 0
Exercice VI.
Soitf un endomorphisme deR3 vérifiantf26= 0etf3 = 0.
1. Montrer qu’il existeu∈R3 tel que la famille{u, f(u), f2(u)}soit une base deR3. 2. Déterminer la matrice defdans cette base.
3. Déterminer les éléments propres def. 4. f est-il diagonalisable ?
Exercice VII.
Soitf un endomorphisme d’un e.v.Etel quef ◦f =−IdE. Montrer quefn’admet aucune valeur propre.
Exercice VIII.
Soitf un endomorphisme d’un e.v.E.
1. Montrer que siu est vecteur propre def, alors u est vecteur propre def2. Quelle est le lien entre les valeurs propres associées ?
2. En déduire que sif est diagonalisable, alorsf2est diagonalisable.
3. Montrer que la réciproque est fausse (considérer l’endomorphisme deR3défini parf(x, y, z) = (x, z,−y)).
Exercice IX.
Soitf un endomorphisme deRnvérifiantf3 =IdRn. 1. Quelles sont les valeurs propres éventuelles def?
2. En raisonnant par l’absurde, montrer quef n’est pas diagonalisable.
Exercice X.
SoitM =
1 3 2
1 3 1 23
1 2
3
2 1
. 1. CalculerM2.
2. En déduire les valeurs propres éventuelles deM.
3. M est-elle diagonalisable ?
Exercice XI.
Soit A=
1 1 1 1 1 1 1 1 1
et B =
−1 1 1 −1
1 −1 −1 1
1 −1 −1 1
−1 1 1 −1
.
1. a. CalculerA2. b. DiagonaliserA.
2. Même procédure pourB.
Exercice XII.
Soient(un)et(vn)les suites définies paru0 = 1,v0= 1e ∀n∈N,
( un+1 = 7un+ 2vn vn+1=−4un+vn Déterminer les valeurs deunetvnen fonction den.
Exercice XIII.
SoitAune matrice de Mn(R) diagonalisable. On suppose qu’il existek ∈ N∗ tel que Ak = In. Montrer que A2 =In.
Exercice XIV.
Pourn∈N∗, on considère une matriceAdeMn(R)vérifiant A3+A2+A= 0.
1. On suppose A inversible. DéterminerA−1en fonction deAet deIn. 2. On supposeAsymétrique. Montrer queA= 0.
Exercice XV.
On noteBla base canonique deR2[X]et l’on considère l’applicationϕdéfinie surR2[X]par ϕ(P) = (X2−1)P0−(2X+ 1)P.
1. Montrer queϕest un endomorphisme deR2[X].
2. Donner la matriceAdeϕdans la baseB.
3. Déterminer les sous-espaces propres deϕet montrer queϕest diagonalisable.
4. Donner une base de vecteurs propres deϕ.
Exercice XVI.
On noteI la matriceI =
1 0 0 0 1 0 0 0 1
et on considère la matriceA=
7 5 1
6 −1 2
6 1 3
1. a. Montrer, grâce à la méthode du pivot de Gauss, que les valeurs propresλdeAsont les solutions de l’équation :λ3−9λ2−27λ+ 53 = 0.
b. Etudier la fonctionf qui, à tout réelxassocief(x) =x3−9x2−27x+ 53, puis dresser son tableau de variation (on précisera les limites def en+∞et en−∞, on noteramle minimum local def sur R,M le maximum local def surRet on ne cherchera ni à calculerm, ni à calculerM).
c. Calculerf(0)etf(3)puis déterminer les signes demetM.
d. Montrer queAadmet trois valeurs propres, que l’on ne cherchera pas à calculer et que l’on notera λ1, λ2 etλ3 avecλ1< λ2 < λ3.
e. En déduire qu’il existe une matriceP inversible telle queA=P DP−1, avecD=
λ1 0 0 0 λ2 0 0 0 λ3
. 2. L’objectif de cette question est de déterminer l’ensemble E des matricesM de M3(R) qui commutent
avecA, c’est à dire qui vérifient :AM =M A.
a. Montrer que les matrices qui commutent avecDsont des matrices diagonales.
b. Montrer l’équivalence entre les deux propositions suivantes : i. Mest une matrice deE
ii. P−1M P commute avecD
c. Etablir que toute matriceM deEest combinaison linéaire des trois matrices suivantes :
P
1 0 0 0 0 0 0 0 0
P−1, P
0 0 0 0 1 0 0 0 0
P−1, P
0 0 0 0 0 0 0 0 1
P−1
d. En déduire queEest un sous-espace vectoriel deM3(R)et donner sa dimension.
e. Montrer, en raisonnant sur les valeurs propres deA, qu’il n’existe aucun polynôme annulateur non nul deAqui soit de degré inférieur ou égal à 2. En déduire que(I, A, A2)est une base deE.
Exercice XVII.
Soit M2(R) l’ensemble des matrices carrées d’ordre 2 muni de sa structure d’espace vectoriel et soit J la matrice
J = 0 1 1 0
!
On considère l’applicationSdeM2(R)dans lui-même qui associe à tout élémentM deM2(R)l’élément S(M) =J M J.
1. a. Montrer que l’applicationSainsi définie est un automorphisme de l’espace vectorielM2(R).
b. Quel est l’automorphisme réciproque deS?
c. Montrer que siMetN sont deux éléments quelconques deM2(R), on aS(M N) =S(M)S(N) 2. On considère les éléments
I = 1 0 0 1
!
J = 0 1 1 0
!
K= 1 0 0 −1
!
L= 0 1
−1 0
!
Montrer que(I, J, K, L)forme une base de l’espace vectorielM2(R).
3. Montrer queI, J, K, Lsont des vecteurs propres deS. Déterminer la matrice représentant l’automor- phismeSdans la base(I, J, K, L).
Exercice XVIII.
Dans cet exercice, nest un entier supérieur ou égal à 2. On note E l’espace vectoriel Rn et Id l’application identité deE.
L’objet de l’exercice est l’étude des endomorphismesf deEvérifiant l’équation(∗) :f ◦f = 4Id On considère un endomorphismef deEvérifiant l’équation(∗).
1. a. Justifier quef est un automorphisme deEet exprimer l’automorphisme réciproquef−1en fonction def
b. Déterminer les valeurs propres possibles def. c. Vérifier que2Idet−2Idsatisfont l’équation(∗).
On suppose dans la suite de l’exercice quef 6= 2Idetf 6=−2Idet on noteF = ker (f −2Id)etG= Im (f−2Id). 2. Soitxun élément deE. Montrer que(f(x)−2x)appartient àker (f + 2Id)et que(f(x) + 2x)appartient
àF.
En déduire queG⊂ker (f+ 2Id)et queIm (f + 2Id)⊂F.
Montrer que2et−2sont les valeurs propres def 3. Soitxun vecteur deker (f + 2Id).
a. Exprimer(f−2Id) (x)en fonction dexuniquement.
En déduire quexappartient àG, puis queG= ker (f + 2Id) b. Montrer quef est diagonalisable.
Exercice XIX.
DansM2(R)on donne les trois matrices :A= 2 4 1 −1
!
, B= 1 −1 1 1
!
, C= 2 −1 1 4
!
1. a. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres deA.
b. Vérifier queAest diagonalisable et déterminer une matriceP inversible et une matrice diagonaleD telles que :A=P DP−1
2. Montrer queBn’a aucune valeur propre.
3. a. Déterminer les valeurs propres deC.
b. La matriceCest elle diagonalisable ?
c. Déterminer un vecteurXtel queCX = 3X+U oùU = 1
−1
!
(on choisira la première composante deXégale à -1).
Montrer que(U, X)est une base.
Quelle est la matrice deCdans la base(U, X)?
Exercice XX.
On considère les suites(un)n∈N,(vn)n∈N,(wn)n∈Nvérifiant : u0 = 1, v0= 10, w0 = 1
et pourn∈N:
un+1= −3
2un+ 1
2vn− 3wn vn+1= −10un+ 3vn− 15wn
wn+1= 1
2wn
Pour toutn∈N, on noteTn=
un
vn
wn
.
1. Déterminer une matriceAtelle que, pour toutn∈N, on ait :Tn+1=A.Tn 2. Montrer que
1 5 0
,
0 6 1
et
1 4 0
sont vecteurs propres deA.
3. Diagonaliser alorsA.
4. Déterminer finalement, pour toutn∈N,un, vnetwnen fonction den.
Exercice XXI.
On noteB= (e1, e2, e3)la base canonique deR3et on considère l’endomorphisme deR3défini par les égalités suivantes :
f(e1) = 1
3(e2+e3) et f(e2) =f(e3) = 2 3e1. 1. a. Écrire la matrice def dans la baseB.
b. Déterminer la dimension de Imf puis celle de Kerf.
c. Donner alors une base de Kerf, puis en déduire une valeur propre def ainsi que le sous-espace propre associé.
d. Déterminer les autres valeurs propres def ainsi que les sous-espaces propres associés.
e. En déduire quef est diagonalisable.
2. On poseP =
2 −2 0
1 1 1
1 1 −1
,Q=
1 1 1
−1 1 1 0 2 −2
etI =
1 0 0 0 1 0 0 0 1
.
a. Justifier sans calcul queP est inversible, puis déterminer la matriceDdiagonale telle que M =P DP−1.
b. CalculerP Qpuis en déduireP−1.
c. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturelj, on aMj =P DjP−1.
d. Écrire, pour tout entier naturel j non nul, la première colonne de la matrice Mj. Vérifier que ce résultat reste valable sij= 0.
Sujets récents
Exercice XXII. (EML 2020)
On définit, pour tous réelsaetb,M(a, b)la matrice carrée d’ordre4par :
M(a, b) =
a 0 0 a a 0 0 a a 0 0 a b b b b
et on note :E=
M(a, b)|(a, b)∈R2 .
L’objectif de cet exercice est de déterminer les matrices deE qui sont diagonalisables.
1. a. Montrer queEest un sous-espace vectoriel deM4(R).
Déterminer une base deEet sa dimension.
b. Le produit de deux matrices quelconques deEappartient-il encore àE? 2. Étude du casa= 0etb= 0.
Justifier que la matriceM(0,0)est diagonalisable.
3. Étude du casa6= 0etb= 0.
Soitaun réel non nul. On noteAla matriceM(a,0).
a. CalculerA2et déterminer un polynôme annulateur deA.
b. En déduire les valeurs propres de la matrice A et préciser une base de chacun des sous-espaces propres associés.
c. En déduire que la matriceAest diagonalisable. Déterminer une matriceP deM4(R)inversible et une matriceDdeM4(R)diagonale telles que :A=P DP−1.
4. Étude du casa= 0etb6= 0.
Soitbun réel non nul. On noteBla matriceM(0, b).
a. Déterminer le rang des matricesB etB−b I4,I4désignant la matrice identité d’ordre4.
b. En déduire l’ensemble des valeurs propres deBen précisant la dimension des sous-espaces propres associés.
c. La matriceBest-elle diagonalisable ? 5. Étude du casa6= 0etb6= 0.
Soientaetbdeux réels non nuls. On notef l’endomorphisme deR4dont la matrice dans la base cano- nique deR4estM(a, b).
On pose :
v1 = (1,1,1,0), v2 = (0,0,0,1) et T = a a 3b b
!
a. Montrer queKer(f)est de dimension2et préciser une base(v3, v4)deKer(f).
b. Montrer que la familleB0 = (v1, v2, v3, v4)est une base deR4.
c. Déterminer la matrice notéeN de l’endomorphismef dans la baseB0.
d. Soientλun réel non nul etX=
x y z t
une matrice colonne deM4,1(R).
Montrer que :
Xest un vecteur propre deN associé à la valeur propreλ si, et seulement si, x
y
!
est un vecteur propre deTassocié à la valeur propreλ et z=t= 0.
e. On suppose dans cette questionuniquementque(a, b) = (1,1).
Déterminer les valeurs propres deT. En déduire que la matriceM(1,1)est diagonalisable.
f. On suppose dans cette questionuniquementque(a, b) = (1,−1).
Justifier queTn’admet aucune valeur propre. La matriceM(1,−1)est-elle diagonalisable ? g. Montrer l’équivalence :
M(a, b)est diagonalisable ⇔ a2+ 10ab+b2>0
Exercice XXIII. (Ecricome 2018)
1. SoitAla matrice deM3(R)donnée par : A=
2 1 −2
0 3 0
1 −1 5
a. CalculerA2−7A.
b. En déduire que les seuls réels susceptibles d’être valeurs propres deAsont les réels3et4.
c. Trouver alors toutes les valeurs propres de A, et pour chacune d’entre elles, donner une base du sous espace propre associé.
d. La matriceAest-elle inversible ? Est-elle diagonalisable ?
2. SoitB = (e1, e2, e3)la base canonique deR3 etf l’endomorphisme deR3dont la matrice représentative dans la baseBest la matrice : B =
1 −1 −1
−3 3 −3
−1 1 1
a. Déterminer le noyau def. En déduire une valeur propre def et l’espace propre associé.
b. Déterminer le rang de la matriceB−2I3. c. Calculerf(e1−e2−e3).
d. Déduire des questions précédentes que l’endomorphismef est diagonalisable.
3. Trouver une matriceP inversible vérifiant toutes les conditions ci-dessous :
• La matriceD2=P−1B P est égale à
3 0 0 0 0 0 0 0 2
,
• Les coefficients situés sur la première ligne deP sont1,1et−1(de gauche à droite),
• La matriceD1=P−1A P est également diagonale.
Exercice XXIV. (Ecricome 2019)
On considère dans cet exercice l’espace vectorielE =R3, dont on noteB = (e1, e2, e3)la base canonique. Soit f l’endomorphisme deEdont la matrice dans la baseBest la matrice :
A= 1 3
−1 2 1
−1 −1 −2
1 1 2
Partie A
1. a. CalculerA2puis vérifier queA3est la matrice nulle deM3(R).
b. Justifier que0est l’unique valeur propre possible def. c. Déterminer une base et la dimension du noyau def. d. L’endomorphismef est-il diagonalisable ?
2. Soiente01= (−1,−1,1),e02= (2,−1,1)ete03 = (−1,2,1).
a. Démontrer que la familleB0 = (e01, e02, e03)est une base deE.
b. Démontrer que la matrice représentative def dans la baseB0est la matriceT =
0 1 0 0 0 1 0 0 0
.
3. On pose : M = 1 3
4 −2 −1
1 4 2
−1 −1 1
.
On notehl’endomorphisme deE dont la matrice représentative dans la baseBest la matriceM. a. Déterminer deux réelsαetβtels queM =αA+βI, oùI est la matrice identité d’ordre3.
b. Déterminer la matriceM0 dehdans la baseB0. c. En déduire queM est inversible.
d. À l’aide de la question 1) a, calculer (M −I)3. En déduire l’expression de M−1 en fonction des matricesI,M etM2.
e. À l’aide de la formule du binôme de Newton, exprimerMnpour tout entier natureln, en fonction des matricesI,AetA2.
Cette formule est-elle vérifiée pourn=−1? Partie B
Dans cette partie, on veut montrer qu’il n’existe aucun endomorphismegdeEvérifiantg◦g=f. On suppose donc par l’absurde qu’il existe une matriceV carrée d’ordre 3 telle que :
V2 =T
On notegl’endomorphisme dont la matrice représentative dans la baseB0 estV. 1. Montrer queV T =T V. En déduire queg◦f =f◦g.
2. a. Montrer queg(e01)appartient au noyau def.
En déduire qu’il existe un réelatel queg(e01) =a e01.
b. Montrer queg(e02)−a e02appartient aussi au noyau def. En déduire qu’il existe un réelbtel queg(e02) =b e01+a e02. c. Montrer que : f ◦g(e03) =g◦f(e03) =a e02+b e01.
En déduire que g(e03)−a e03−b e02 appartient au noyau def. d. En déduire qu’il existe un réelctel que : V =
a b c 0 a b 0 0 a
.
3. CalculerV2en fonction dea,betc, puis en utilisant l’hypothèseV2=T, obtenir une contradiction.
Exercice XXV. (EDHEC 2018) On considère la matrice A= 1 2
3 6
! . 1) Vérifier queAn’est pas inversible.
2) Déterminer les valeurs propres de la matrice A, puis trouver les sous-espaces propres associés à ces valeurs propres.
Dans la suite de cet exercice, on considère l’applicationf qui, à toute matrice deM2(R), associe : f(M) =AM
3) Montrer quef est un endomorphisme deM2(R).
4) a) Déterminer une base de Ker(f)et vérifier que Ker(f)est de dimension2.
b) En déduire la dimension de Im(f).
c) On poseE1 = 1 0 0 0
!
,E2 = 0 1 0 0
!
,E3 = 0 0 1 0
!
,E4 = 0 0 0 1
!
et on rappelle que la famille (E1, E2, E3, E4)est une base deM2(R). Écriref(E1),f(E2),f(E3) etf(E4) sous forme de combi- naisons linéaires deE1,E2,E3etE4, puis donner une base de Im(f).
5) a) Déterminer l’image parfdes vecteurs de base de Im(f).
b) Donner les valeurs propres def puis conclure quef est diagonalisable.
6) Généralisation :f est est toujours l’endomorphisme deM2(R)défini parf(M) =AM , mais cette fois, Aest une matrice quelconque deM2(R). On admet que f etApossèdent des valeurs propres et on se propose de montrer que ce sont les mêmes.
a) Soitλune valeur propre deAetXun vecteur propre associé.
Justifier queXtXappartient àM2(R), puis montrer que c’est un vecteur propre def. En déduire queλest valeur propre def .
b) Soitλune valeur propre def etM une matrice deM2(R)vecteur propre defassocié à cette valeur propre. En considérant les colonnesC1 etC2deM, montrer queλest valeur propre deA.
Exercice XXVI. (EML 2019)
Matrices inversibles qui sont semblables à leur inverse. Les 3 parties sont indépendantes.
Partie A : Premier exemple
Soit la matrice A=
1 −1 1 0 1/2 0
0 0 2
.
1. Déterminer les valeurs propres deA. Justifier queAest inversible et diagonalisable.
2. Déterminer une matriceD deM3(R)diagonale où les coefficients diagonaux sont rangés dans l’ordre croissant, et une matriceP deM3(R)inversible, telles queA=P DP−1. Expliciter la matriceD−1. 3. On noteQ=
0 0 1 0 1 0 1 0 0
. CalculerQ2etQDQ.
4. En déduire que les matricesAetA−1sont semblables.
Partie B : Deuxième exemple
On considèref l’endomorphisme deR3 défini par f(x, y, z) = (x,−z, y+ 2z).
On noteM la matrice def dans la base canonique deR3.
On considère également les vecteursu1etu2deR3 définis par :u1= (1,0,0)etu2 = (0,1,−1).
1. Expliciter la matriceM et montrer queMest inversible.
2. a. Vérifier que1est valeur propre def et que(u1, u2)est une base du sous-espace propre associé.
b. Déterminer un vecteuru3deR3tel que :f(u3)−u3=u2. c. Montrer que la familleB1= (u1, u2, u3)est une base deR3. On admet queB2= (u1,−u2, u3)est également une base deR3.
3. a. Ecrire la matriceM1def dans la baseB1 et la matriceM2def dans la baseB2. b. Justifier que les matricesM1 etM2sont semblables, et calculerM1M2.
4. En déduire que les matricesM etM−1sont semblables.
Partie C : Troisième exemple
Soit la matrice T =
1 −1 1 0 1 −1
0 0 1
. On noteI3la matrice identité deM3(R)et on pose :N =T−I3. 1. Justifier que la matriceT est inversible. Est-elle diagonalisable ?
2. a. CalculerN3et(I3+N)(I3−N+N2).
b. En déduire une expression deT−1 en fonction deI3, N etN2.
3. On notegl’endomorphisme deR3dont la matrice dans la base canonique estN. a. Justifier qu’il existe un vecteurudeR3tel queg◦g(u)6= 0etg◦g◦g(u) = 0.
b. Montrer que la familleB3= (g◦g(u), g(u), u)est une base deR3. c. Ecrire la matrice degdans la baseB3.
d. CalculerN2−N et en déduire que les matricesN etN2−N sont semblables.
4. Montrer que les matricesT etT−1sont semblables.
Exercice XXVII. (EML 2018)
On noteB= (e1, e2, e3)la base canonique deR3.
On considère l’endomorphisme f de R3 dont la matrice dans la base B est la matrice A donnée par : A =
0 −2 −5
−2 0 4
1 1 0
On considère également l’endomorphismegdeR3défini par :
∀(x, y, z)∈R3, g(x, y, z) = (x+y−z,2y,−x+y+z).
Enfin, on pose :u=e1−e2 = (1,−1,0) et v=f(e1) +e1. 1. a. Calculerv.
b. Montrer que la familleC= (u, v, e1)est une base deR3. c. On noteP la matrice de passage de la baseBà la baseC.
Expliciter la matriceP et calculerP−1. 2. a. Déterminer la matriceA0def dans la baseC.
b. En déduire les valeurs propres def. L’endomorphismef est-il diagonalisable ? c. L’endomorphismef est-il bijectif ?
d. Expliciter, sans justification, le lien entre les matricesA,A0,P etP−1. 3. a. Déterminer la matriceBdegdans la baseB.
b. Montrer :B2 = 2B.
c. En déduire les valeurs propres deg, ainsi qu’une base de chaque sous-espace propre.
d. L’endomorphismegest-il diagonalisable ? On pose :E ={M ∈ M3(R)|BM =M A}. 4. a. Montrer queEest un espace vectoriel.
b. SoitMune matrice appartenant àE.
Montrer queMn’est pas inversible.(On pourra raisonner par l’absurde).
5. On cherche à montrer queEn’est pas réduit à l’ensemble{0}.
a. Justifier que, pour tout réelλ, les matricesA−λI3et(tA)−λI3ont même rang, la matriceI3désignant la matrice identité deM3(R).
b. En déduire que les matricesBettAadmettent une valeur propre en commun, notéeα.
c. SoientXun vecteur propre deB associé à la valeur propreα, etY un vecteur propre detAassocié à la valeur propreα. On note :N =XtY.
Montrer que la matriceN est non nulle et queN appartient àE.
d. En déduire :dim(E)>2.
Exercice XXVIII. (EDHEC 2017)
On noteEl’espace vectoriel des fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à 2 et on rapelle que la famille(e0, e1, e2)est une base deE, les fonctionse0, e1, e2étant définies par :
∀t∈R, e0(t) = 1, e1(t) =tete2(t) =t2
On considère l’applicationϕqui, à toute fonctionP deE, associe la fonction, notéeϕ(P), définie par :
∀x∈R, (ϕ(P)) (x) = Z 1
0
P(x+t)dt
1. a. Montrer queϕest linéaire.
b. Déterminer(ϕ(e0)) (x),(ϕ(e1)) (x)et(ϕ(e2)) (x)en fonction dex, puis écrireϕ(e0), ϕ(e1)etϕ(e2) comme combinaisons linéaires dee0, e1, e2.
c. Déduire des questions précédentes queϕest un endomorphisme deE.
2. a. Écrire la matriceAdeϕdans la base(e0, e1, e2). On vérifiera que la première ligne deAest
1 1 2
1 3
b. Justifier queϕest un automorphisme deE.
c. L’endomorphismeϕest-il diagonalisable ?
3. Compléter les commandesScilabsuivante pour que soit affichée la matriceAnpour une valeur den entrée par l’utilisateur :
n=input(’entrer une valeur pour n:’) A=[...]
disp(...)
4. a. Montrer par récurrence que, pour tout entier natureln, il existe un réeluntel que l’on ait :
An=
1 n/2 un
0 1 n
0 0 1
Donneru0 et établir que :
∀n∈N, un+1 =un+ 1
6(3n+ 2) b. En déduire, par sommation, l’expression deunpour tout entiern.
c. EcrireAnsous forme de tableau matriciel.
Exercice XXIX. (Ecricome 2016)
Partie A
Pour tout couple de réels(x, y),on définit la matriceM(x, y)par :
M(x, y) =
3x −2x+ 2y 2x−y
−x−y 4x−3y −2x+y
−2y 4x−4y −x+y
.
On appelleEl’ensemble des matricesM(x, y)oùxetydécriventR: E ={M(x, y), (x, y)∈R2}.
On noteA=M(1,0)etB=M(0,1).
1. Montrer queEest un sous-espace vectoriel deM3(R).En déterminer une base et donner sa dimension.
2. Montrer que 1, 2 et 3 sont valeurs propres deAet déterminer les sous-espaces propres associés.Aest-elle diagonalisable ?
3. Déterminer une matrice inversibleP deM3(R)dont la première ligne est
1 −2 1
,et telle que :
A=P DAP−1 où DA=
1 0 0 0 2 0 0 0 3
.
4. DéterminerP−1(faire figurer le détail des calculs sur la copie).
5. En notantX1, X2 etX3 let trois vecteurs colonnes formant la matriceP,calculerBX1, BX2etBX3. En déduire l’existence d’une matrice diagonaleDBque l’on explicitera telle que :
B =P DBP−1.
6. En déduire que pour tout(x, y)∈R2,il existe une matrice diagonaleD(x, y)deM3(R)telle que : M(x, y) =P D(x, y)P−1.
7. En déduire une condition nécessaire et suffisante sur(x, y)pour queM(x, y)soit inversible.
8. Montrer queB2est un élément deE.La matriceA2est-elle aussi un élément deE? Partie B
On souhaite dans cette partie étudier les suites (an)n∈N,(bn)n∈Net(cn)n∈Ndéfinies par les conditions ini- tialesa0= 1, b0 = 0, c0 = 0et les relations de récurrence suivantes :
an+1 = 3an+ 4bn−cn
bn+1 = −4an−5bn+cn cn+1 = −6an−8bn+ 2cn
Pour toutn∈N,on poseXn=
an bn
cn
.
1. Que vautX0?
2. Déterminer une matriceCtelle que pour toutn∈N,on ait : Xn+1=CXn.
Déterminer ensuite deux réelsxetytels queC=M(x, y).
3. Montrer que, pour toutn∈N, Xn=CnX0.
4. A l’aide des résultats de la partie A, exprimeran, bnetcnen fonction den.
Exercice XXX. (EML 2012)
On considère les matrices carrées d’ordre 2 suivantes :I = 1 0 0 1
!
, A= 1 0
0 −1
!
B = 2 2 1 3
!
Partie I : Etude de la matriceB
1. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres deB. Est-ce queBest diagonalisable ? 2. Déterminer une matrice diagonaleDdeM2(R), dont les coefficients diagonaux sont dans l’ordre crois-
sant, et une matrice inversiblePdeM2(R)dont les coefficients de la première ligne sont tous égaux à1, telles queB =P DP−1
3. Vérifier queD2 = 5D−4I et exprimerB2comme combinaison linéaire deBetI.
4. Montrer queBest inversible et exprimerB−1comme combinaison linéaire deBetI. Partie II : Etude d’un endomorphisme deM2(R)
On considère l’application h:M2(R)→ M2(R), M 7−→h(M) =AM B. 1. Vérifier quehest un endomorphisme deM2(R).
2. Montrer quehest bijectif et exprimerh−1sous une forme analogue à celle donnée pourh.
3. On se propose dans cette question de déterminer les valeurs propres deh.
a. Soientλ∈R, M ∈ M2(R).
On noteN =M P, ouP est la matrice définie dans la questionI2.
Montrer :h(M) =λM ⇐⇒AN D=λN,oùDest la matrice définie dans la questionI2.
b. Déterminer les réelsλpour lesquels il existe une matriceN deM2(R)non nulle telle que : A N D=λN.A cet effet, on pourra noterN = x y
z t
!
c. En déduire les valeurs propres deh. Montrer quehest diagonalisable et, donner une matrice diago- nale représentanth.
d. On noteel’endomorphisme identité deM2(R)et on note0l’endomorphisme nul deM2(R) Montrer :(h−e)◦(h+e)◦(h−4e)◦(h+ 4e) = 0.
Exercice XXXI. (EDHEC 2011)
On désigne parEl’espace vectoriel des fonctions polynômiales de degré inférieur ou égal à 2 et on noteB la base(e0, e1, e2)deE,où pour tout réelx,on a :e0(x) = 1, e1(x) =xete2(x) =x2.
On considère l’application, notéef, qui à toute fonction polynômialeP appartenant àE,associe la fonction polynômialef(P)définie par :
∀x∈R, (f(P)) (x) = 2xP(x)− x2−1
P0(x).
1. a. Montrer quef est une application linéaire.
b. En écrivant, pour tout réelx, P(x) =a+bx+cx2,définir explicitement(f(P))(x)puis en déduire quef est un endomorphisme deE.
c. Ecrire f(e0), f(e1) et f(e2) comme des combinaisons linéaires de e0, e1 et e2, puis en déduire la matriceAdefdans la baseB.
2. a. Vérifier queImf = vect (e1, e0+e2)et donner la dimension deImf.
b. DéterminerKerf.
3. a. A l’aide de la méthode du pivot de Gauss, déterminer les valeurs propres deA.
b. En déduire quef est diagonalisable et donner les sous-espaces propres def.
c. Vérifier que les sous-espaces propres def,autres queKerf,sont inclus dansImf.
Exercice XXXII. (EML 2011)
On considère les matrices carrées d’ordre 3 suivantes :I =
1 0 0 0 1 0 0 0 1
, A=
1 1 1 1 1 1 1 1 3
.
Partie I : Détermination d’une racine carrée deA
1. Sans calcul, justifier queAest diagonalisable et non inversible. Déterminer le rang deA.
2. Montrer que0,1et4sont les trois valeurs propres deAet déterminer les sous-espaces propres associés.
3. En déduire une matrice diagonaleDdeM3(R)dont les coefficients diagonaux sont dans l’ordre crois- sant, et une matrice inversibleP deM3(R), dont les coefficients de la première ligne sont tous égaux à 1, telles que :A=P DP−1.
4. CalculerP−1.
5. Montrer qu’il existe une matrice diagonale∆deM3(R), dont les coefficients diagonaux sont dans l’ordre croissant, telle que∆2 =D, et déterminer∆.
6. On noteR=P∆P−1. MontrerR2 =Aet calculerR.
Partie II : Etude d’endomorphismes
On munit R3 de sa base canoniqueB= (e1, e2, e3)et on considère les endomorphismesf etgdeR3 dont les matrices dansBsont respectivementAetR.
On noteC= (u1, u2, u3)la base deR3telle quePest la matrice de passage deBàC.
1. Déterminer les matrices def etgdans la baseC.
2. a. Déterminer une base et la dimension deker (f).
b. Déterminer une base et la dimension deIm (f).
3. a. Déterminer une base et la dimension deker (g). b. Déterminer une base et la dimension deIm (g).
4. Trouver au moins un automorphismehdeR3tel queg=f◦h.
On déterminerah par sa matriceHdans la baseC, puis on exprimera la matrice deh dans la baseB à l’aide deHet deP.
Exercice XXXIII.
On considère l’endomorphismef deR3, défini par sa matrice A=
3 3 1 2 2 −2 1 1 3
. 1. Exprimerf(x, y, z), pour(x, y, z)∈R3.
2. DéterminerKer(f). En déduire une valeur propre def.
3. Déterminer toutes les valeurs propres def, ainsi que les espaces propres associés.
4. f est-elle diagonalisable ? Inversible ?
5. Soitv= (1,0,1). Trouver un vecteurw= (0, y, z)∈R3tel que f(w) =v+ 4w.
6. Soitu= (1,−1,0). Montrer que la familleB0 = (u, v, w)est une base deR3. 7. Déterminer la matriceT def dans la baseB0.
8. Soitn∈N. CalculerTn.
9. Ecrire la matrice de passageP deBàB0, puis l’inverser.
10. En déduireAn.
