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Exercice I.

Etudier la nature des intégrales suivantes, que l’on ne cherchera pas à calculer : 1.

Z 1 0

1 1−t²dt 2.

Z +∞

0

1 1 +t²dt 3.

Z 3 0

1−e^t t dt 4.

Z +∞

1

e^t t³+e^3tdt

5.

Z 1 0

2 + ln(t)

√t dt 6.

Z +∞

1

ln

1 +1 t

dt 7.

Z +∞

0

ln

1 + 1 t²

dt 8.

Z +∞

0

ln(t) t²+ 1dt

9.

Z ¹

2

0

dt ln(t)

10.

Z +∞

2

dt tln(t)

11.

Z 2 1

dt ln(t)

Exercice II.

Justifier la convergence, puis calculer les intégrales suivantes : 1.

Z 1 0

tln(t)dt

2.

Z 1 0

t²ln(t)dt

3.

Z +∞

1

dt t(t+ 1)

4.

Z +∞

0

te^−t2dt

5.

Z +∞

0

te^−2tdt

6.

Z +∞

0

t²e^−3tdt

7.

Z +∞

−∞

e^−t2dt

8.

Z +∞

0

e^−t2dt

9.

Z +∞

1

ln(t) t² dt

10.

Z +∞

0

e^−t

√tdt (poseru=√ t)

11.

Z +∞

0

e⁻

√ t

√

t dt (poseru=√ t) 12.

Z 1 0

2t²+ 1

√1−tdt

13.

Z +∞

1

dt 2^t

14.

Z 1 0

√dt 1−t

15.

Z 1 0

√ t

1−t²dt

16.

Z +∞

3

t (t²+ 2)²

17.

Z +∞

2

dt t√ t 18.

Z +∞

0

dt (t+ 1)(t+ 2)

19.

Z +∞

−∞

e^−|t|dt

20.

Z +∞

−∞

e^−t2dt

21.

Z +∞

−∞

1 (1 +|t|)²dt

22.

Z +∞

−∞

t (1 +t²)dt

Exercice III.

On considère la fonction définie sur[2; +∞[par f(t) = 1 t(ln(t))². 1. Calculer

Z +∞

2

f(t)dt.

2. Etudier les variations def.

3. Montrer alors que ∀k≥2, 1

(k+ 1)(ln(k+ 1))² ≤ Z k+1

k

f(t)dt≤ 1 k(ln(k))². 4. En déduire la nature de la série X

n≥2

1 n(ln(n))².

5. Pourα >0, peut-on penser à une méthode similaire pour étudier la nature de la série X

n≥2

1 n(ln(n))^α.

Exercice IV.

Soit(X_n)n≥1une suite de v.a. indépendantes, de même loi, donnée par P(X_n= 1) =P(X_n=−1) = 1 2. 1. Pour k∈N^∗, calculer E(e^tXk).

2. Pour n∈N^∗, calculer E(e^tSn), où Sn=X1+...+Xn, puis E(e^tSn√n).

3. En utilisant un équivalent en0de la fonction exponentielle, calculer, ∀t∈R, lim

n→+∞E

e

tSn√ n

. 4. Calculer E(e^tX), oùX ,→ N(0,1).

Exercice V.

On considère la suite(I_n)n∈Ndéfinie par I_n= Z 1

0

tⁿ

√1−tdt

1. Montrer que pour toutn∈N,I_nexiste.

2. Montrer que la suite(I_n)n∈Nest convergente. (On pourra raisonner par limite monotone.) 3. a. Montrer que ∀n∈N^∗, I_n= 2n

2n+ 1In−1.

b. Déterminer la nature de la série de terme général un= ln(In)−ln(In−1).

c. En déduire la limite de la suite(I_n)n∈N. 4. a. Montrer que les suites(√

nI_n)n∈Net(√

n+ 1I_n)n∈Nsont adjacentes.

b. En déduire qu’il existeα >0tel que In ∼

+∞

√α n. 5. a. CalculerInen fonction den.

b. On admet la formule de Stirling : n! ∼

+∞

√2πnn e

n

. Montrer alors que In ∼

+∞e 2n

2n+ 1

2n+1 √

√π n. c. En déduire la valeur du réelα.

Exercice VI.

Pour tout entier natureln, on définit la fonctionf_nde la variable réellexpar :f_n(x) =xⁿexp

−^x₂²

1. Justifier quefn(x)est négligeable devant 1

x² au voisinage de+∞. 2. Prouver la convergence de l’intégrale

Z +∞

0

fn(x)dx

3. On poseIn= Z +∞

0

fn(x)dx

a. A l’aide d’une intégration par parties portant sur des intégrales définies sur le segment[0, A]avec A>0, prouver que pour tout entier natureln:I_n+2 = (n+ 1)I_n

b. Donner la valeur deI₁

c. Démontrer par récurrence que pour tout entier natureln:I2n= rπ

2 (2n)!

2ⁿn! etI2n+1= 2ⁿn!

Exercice VII.

On considère la fonction définie par f(x) = Z x

1 x

ln(t) 1 +t². 1. Vérifier brièvement quef est bien définie surR^∗+.

2. a. Montrer quef est dérivable surR^∗₊, et calculer sa dérivée.

b. En déduiref(x), en intégrantf⁰.

3. Retrouver ce résultat en effectuant directement le changement de variableu= 1 t. Exercice VIII.

1. Montrer que l’intégrale Z 1

0

ln(x)

1−x²dxest convergente.

2. Établir, pour tout réelxde]0; 1[et pour toutndeN^∗, l’égalité : ln(x)

1−x² =

n

X

k=0

x^2kln(x) +x²ⁿ⁺²ln(x) 1−x²

3. Montrer que pour tout entier naturelk, l’intégrale Z 1

0

x^2kln(x)dxconverge.

4. A l’aide d’une intégration par parties, exprimer en fonction dekla valeur de cette intégrale impropre.

5. a. Montrer que la fonctionx7→ x²ln(x)

1−x² , définie sur]0; 1[, est prolongeable par continuité en 0 et en 1.

b. En déduire qu’elle est bornée sur[0; 1]. Calculer alors lim

n→+∞

Z 1 0

x²ⁿ⁺²ln(x) 1−x² dx.

6. En déduire l’égalité : Z 1

0

ln(x)

1−x²dx=−

+∞

X

k=0

1 (2k+ 1)².

7. On admet que :

+∞

X

k=1

1 k² = π²

6 . Calculer la valeur de Z 1

0

ln(x) 1−x²dx.

Exercice IX.

On pose pour tout entier naturelnnon nul l’intégrale :In= Z +∞

1

ln(t) tⁿ dt 1. Calculer pourA≥1l’intégrale

Z A

1

ln(t)

t dtet en déduire queI₁est divergente.

2. A l’aide d’une intégration par parties montrer que :∀n≥2,Inconverge et est égale à 1 (n−1)² 3. Etudier les variations de la fonctionf définie sur[2; +∞[par f(t) = ln(t)

t² et donner sa limite en +∞. (On donne√

e≈1,65) 4. En déduire grâce àI2, que

+∞

X

k=2

ln(k)

k² converge (On ne cherchera pas à calculer cette série).

Exercice X.

Le but de cet exercice est de calculer lim

n→+∞

Z +∞

0

1

1 +t+tⁿdt.

Pour toutndeN, on poseun= Z 1

0

1

1 +t+tⁿdtet on a, en particulier,u0 = Z 1

0

1 2 +tdt

1. Pour toutndeN, justifier l’existence deu_n. 2. Calculeru0etu1.

3. a. Montrer que la suite(u_n)est croissante.

b. Montrer que :∀n∈N, u_n≤ln (2)

c. En déduire que la suite(un)est convergente.

4. a. Pour toutndeN, écrireln (2)−unsous la forme d’une intégrale.

b. En déduire que :∀n∈N,ln (2)−u_n≤ 1 n+ 1 c. Donner la limite de la suite(u_n)

5. Pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 2, on posev_n= Z +∞

1

1

1 +t+tⁿdt.

a. Justifier la convergence de l’intégrale définissantvn. b. Montrer que :∀n≥2, 0≤v_n≤ 1

n−1

c. En déduire lim

n→+∞vn,puis donner la valeur de lim

n→+∞

Z +∞

0

1

1 +t+tⁿdt.

Exercice XI.

On rappelle que Z +∞

−∞

e^−x2 dx=√ π.

Montrer la convergence et donner la valeur de l’intégrale

Z +∞

−∞

e^−t2+2at dt, oùaest un réel quelconque.

Exercice XII.

(Fonction gamma d’Euler) SoitΓ(x) =

Z +∞

0

e^−tt^x−1 dt.

1. Quel est le domaine de définiton de la fonctionΓ? 2. Montrer que :∀x >0, Γ(x+ 1) =xΓ(x).

3. En déduire la valeur deΓ(n)pour toutn∈N^?. Exercice XIII.

1. Montrer que pour toutx∈R, Z +∞

x

e^−t2 dtest convergente.

2. On notef la fonction définie surRpar :f(x) = Z +∞

x

e^−t2 dt.

Montrer quef est de classeC^∞surRet calculerf⁰.

Exercice XIV.

1. Justifier la convergence de I = Z +∞

0

e^−t2dt.

2. Démontrer que ∀x >0,

Z +∞

x

e^−t2dt= e^−x2 2x −

Z +∞

x

e^−t2 2t² dt.

3. Vérifier que ∀t≥x, 0≤ e^−t2

2t ≤ e^−t2 2x . 4. En déduire que

Z +∞

x

e^−t2

2t² dt =

x→+∞◦

Z +∞

x

e^−t2dt

, puis donner un équivalent simple de

Z +∞

x

e^−t2dt.

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Exercice XV. (EDHEC 2019)

Pour tout entier natureln, on pose un= Z 1

0

1−t²n

dt. On a donc, en particulier,u0= 1.

1. Détermineru₁etu₂.

2. a. Montrer que la suite(un)est décroissante.

b. En déduire que la suite(u_n)est convergente.

3. On se propose dans cette question de déterminer la limite de la suite(un).

a. Rappeler la valeur de l’intégrale Z +∞

−∞

1 σ√

2πe^−t

2

2σ2dt, oùσest un réel strictement positif.

b. En déduire la valeur de l’intégrale Z +∞

−∞

e^−nt2dt, puis celle de Z +∞

0

e^−nt2dt.

c. Montrer que, pour tout réelt, on a :e^−t2 >1−t². d. En déduire que :06u_n6 1

2 rπ

n, puis donner la limite de la suite(u_n).

4. Calculer Z ₁

0

(1−t)ⁿdt, puis montre queu_n > 1

n+ 1. Que peut-on déduire en ce qui concerne la série de terme généralu_n?

5. a. Établir, grâce à une intégration par parties, que, pour tout entier natureln, on a : u_n+1= (2n+ 2)(u_n−u_n+1)

b. En déduire l’égalité :

∀n∈N, un= 4ⁿ(n!)² (2n+ 1)!

c. On admet l’équivalentn! ∼

+∞

√

2πn nⁿe⁻ⁿ. En écrivantun= 4ⁿ(n!)²

(2n+ 1)(2n)!, montrer que : un ∼

+∞

1 2

rπ n 6. Informatique.

On admet que, sitest un vecteur, la commandeprod(t)renvoie le produit des éléménts det. Complé- ter le scriptScilabsuivant afin qu’il permette de calculer et d’afficher la valeur deunpour une valeur nentrée par l’utilisateur.

n=input(’entrez une valeur pour n : ’) x=1 :n

m=2*n+1 y=1 :m v=

w=

u= *v∧2/w

disp(u)

Exercice XVI. (Ecricome 2005)

On considère, pour tout entier natureln, l’applicationϕ_n, définie surRpar :

∀x∈R, ϕ_n(x) = (1−x)ⁿe^−2x

ainsi que l’intégrale :In= Z 1

0

ϕn(x)dx.

On se propose de démontrer l’existence de trois réels,a,b,ctels que I_n=a+ b

n + c

n² +ε(n)

n² avec : lim

n→+∞ε(n) = 0.

1. CalculerI0,I1.

2. Étudier la monotonie de la suite(I_n)n∈N.

3. Déterminer le signe deI_npour tout entier natureln.

4. Qu’en déduit-on pour la suite(In)n∈N? 5. Majorer la fonctiong:x7→e^−2xsur[0; 1].

6. En déduire que :∀n∈N^∗, 06In6 1 n+ 1.

7. Déterminer la limite de la suite(I_n)n∈Nlorsquentend vers l’infini.

8. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que∀n∈N, 2In+1= 1−(n+ 1)In. 9. En déduire la limite de la suite(nIn)n∈Nlorsquentend vers l’infini.

10. Déterminer la limite de la suite(n(nI_n−1))n∈Nlorsquentend vers l’infini.

11. Donner alors les valeurs dea,b,c.

Exercice XVII. (EDHEC 2003)

On notef la fonction définie, pour tout réelxstrictement positif, par :f(x) = e^1x x².

1. a. Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, montrer que l’intégrale I_n = Z +∞

n

f(x)dx est convergente et exprimerInen fonction den.

b. En déduire queI_n ∼

n→+∞

1 n.

2. Montrer que la série de terme généralu_n=f(n)est convergente.

3. a. Établir que : ∀k∈N^×, f(k+ 1)6 Z k+1

k

f(x)dx6f(k).

b. En sommant soigneusement cette dernière inégalité, montrer que

∀n∈N^×,

+∞

X

k=n+1

u_k6I_n6

+∞

X

k=n+1

u_k+eⁿ¹ n².

c. Déduire des questions précédentes un équivalent simple, lorsquen→+∞, de

+∞

X

k=n+1

e^k1 k². Exercice XVIII. (EML 1992)

On notef : ]1,+∞[→Rl’application définie par :

∀x∈]1,+∞[, f(x) = 1 xln (x)

1. Étudier les variations def et tracer sa courbe représentative.

2. Montrer, pour tout entierktel quek>3:

f(k)6

k

Z

k−1

f(x)dx6f(k−1)

Pour toutn∈Ntel quen>2n, on noteSn=

n

P

k=2

f(k)

3. a. Montrer, pour toutn∈Ntel quen>2:

S_n− 1 2 ln (2) 6

n

Z

2

f(x)dx6S_n− 1 nln (n)

b. En déduire, pour toutn∈Ntel quen>2:

ln (ln (n))−ln (ln (2))6S_n6ln (ln (n))−ln (ln (2)) + 1 2 ln (2)

c. Établir :Sn_n→+∞∼ ln (ln (n))

Pour toutn∈Ntel quen>2, on note

un=Sn−ln (ln (n+ 1)) etvn=Sn−ln (ln (n))

4. En utilisant le résultat de la question 2., montrer que les suites(u_n)_n>2et(v_n)_n>2sont adjacentes. On note

`leur limite commune.

5. a. Montrer, pour toutn∈Ntel quen>2:

06v_n−`6 1 nln (n)

b. En déduire une valeur approchée de`à10⁻²près.

Exercice XIX. (EDHEC)

Pour toutndeN^∗, on pose In= Z +∞

1

dx xⁿ(x+ 1) . 1. Vérifier queInest une intégrale convergente.

2. a. Déterminer deux réelsaetbtels que pour toutxdifférent de−1et de0, on ait : 1

x(x+ 1) = a x − b

x+ 1 b. En déduire la valeur deI1.

3. a. Montrer que pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 2, on a : 0≤In≤ 1

2(n−1)

b. En déduire l’existence et la valeur de lim

n→+∞I_n. 4. a. Pour toutndeN^∗ , calculerI_n+I_n+1.

b. Montrer que la suite(In)_n∈

N^∗est décroissante.

c. En déduire un équivalent deInpuis donner la nature de la série de terme généralIn. 5. Pour toutndeN, on pose J_n=

Z +∞

1

dx xⁿ(x+ 1)² . a. Montrer queJ_nest une intégrale convergente.

b. CalculerJ0.

6. a. Pour toutkdeN^∗, exprimerJ_k+Jk−1en fonction deI_k. b. Déterminer alors pour toutndeN^∗, l’expression de

n

X

k=1

(−1)^k−1Iken fonction deJn. c. Montrer que :∀n∈ N, n≥2, 0≤Jn≤ 1

4(n−1).Donner la valeur de lim

n→+∞Jn.

En déduire que la série de terme général(−1)ⁿ⁻¹I_nest convergente et donner sa somme.

7. Compléter les commandes Scilab suivantes afin qu’elles permettent le calcul deI_netJ_npour une valeur den, supérieure ou égale à 2, entrée par l’utilisateur.

n=input(’entrer une valeur de n supérieure ou égale à 2 : ’) I= Log(2) ; J= 1/2 ; J=− − − − −

for k= 2 :n

I=− − − − − − − ; J=− − − − − − −− ; end disp(I, ’la valeur de I est : ’)

disp(J, ’la valeur de J est : ’)