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Exercice I.

Etudier la convergence des sériesX

undans les cas suivants : 1. u_n=e⁻

√n

2. un= ln(n) n²

3. un= (−1)ⁿln(n) n² 4. un= ln

1 + 1

2n

5. un= ln

1− 1 n²

6. u_n= ln

1 + 1 n√

n

7. u_n= ln

n²+n+ 1 n²+n−1

8. u_n= ln

1 +(−1)ⁿ n³²

9. un=e⁻ⁿ⁴

10. u_n=e^√1n 11. u_n= nⁿ

2ⁿ²

12. u_n= n⁷

n⁴+ ln(n) + 5√ n+ 21

13. u_n=

1− 1 n

√n

14. un = (−1)ⁿ⁺¹xⁿ

n! , avec x ∈ R

15. u_n= (−1)ⁿ n+ (−1)ⁿ 16. un=

1 +1

n n

17. un=n⁻ⁿ¹

18. u_n= 2 n+ 1− 3

n 19. u_n= 1

n−√ n 20. u_n= 1

√nn!

21. u_n= 1 n(n+p) 22. un= 1−e⁻

√1 n

23. u_n= 1 ln(n) 24. un= (−1)ⁿ

n√ n 25. un=eⁿ¹² −1 26. un= 1−eⁿ¹ Exercice II.

1. Soitp∈N. Montrer que n

p

∼ n^p

p! (lorsquen→+∞).

2. En déduire que la sérieX

n>p

n p

xⁿconverge si et seulement si|x|<1.

Exercice III.

Justifier la convergence des séries suivantes et calculer leur somme :

1. S=

+∞

X

n=0

n²e⁻³ⁿ

2. S=

+∞

X

n=0

(−1)ⁿn 2ⁿ

3. S=

+∞

X

n=2

(n+ 2)² 2ⁿ

4. S=

+∞

X

n=3

n²+ 4 3ⁿ

5. S=

+∞

X

n=0

n²−1 n!

6. S=

+∞

X

n=0

2ⁿ⁺² (n+ 1)!

7. S=

+∞

X

n=1

e³ⁿ⁺⁶ n!

8. S=

+∞

X

n=0

1 (2n)!

9. S=

+∞

X

n=0

1 (2n+ 1)!

10. S=

+∞

X

n=0

1 (n+ 1)(n+ 2)

11. S=

+∞

X

n=1

1 (n+ 1)(n+ 4)

12. S=

+∞

X

n=2

ln

1− 1 n²

Exercice IV.

On pose Sn=

n

X

k=1

1

k, pourn∈N^∗.

1. Rappeler la nature de la suite(S_n)n∈N^∗. 2. a. Montrer que ∀k∈N^∗, 1

k+ 1 6 Z k+1

k

dt t 6 1

k. b. En déduire que ∀n∈N^∗, Sn−16ln(n)6Sn.

c. Déterminer un équivalent deS_n.

d. Retrouver alors le résultat de la question1.

3. On pose u_n=S_n−ln(n), et v_n=u_n+1−u_n, pourn∈N^∗. a. Montrer que la série de terme généralvnconverge.

(On pourra utiliser un développement limité deln(1 +x).) b. En déduire que la suite(u_n)n∈N^∗ converge.

(Sa limite est appelée constante d’Euler, et notéeγ. On a γ '0.577) 4. Créer un programme Scilab calculantun.

Exercice V.

On considère la suite(un)n∈Ndéfinie par u0 = 1 et un+1 =un+

√un

(n+ 1)². 1. Montrer que ∀n∈N, un>1.

2. Montrer que ∀n∈N, un6n+ 1.

3. En déduire que ∀n∈N, u_n+1−u_n6 1 n^1.5. 4. La suite(u_n)n∈Nconverge-t-elle ?

Exercice VI.

On considère la suite(un)n∈Ndéfinie paru0= 1etun+1 =une^−unpour toutn∈N.

1. a. Montrer que ∀n∈N, un>0.

b. En déduire que la suite(un)est convergente et donner sa limite.

2. a. Montrer que ∀n∈N^∗, ln(un) =−

n−1

X

k=0

uk.

b. En déduire que la nature de la série de terme généralun. 3. Créer un programme Scilab calculantun.

Exercice VII.

Soit α >0. On pose, ∀n∈N, u_n(α) = n!

n

Y

k=0

(α+k) .

1. a. Montrer que la suite(u_n(α))_n∈

Nest monotone et convergente.

Que peut-on déduire pour la série de terme général(un(α)−un+1(α))? On note`(α)la limite de la suite(un(α))n∈N.

b. On suppose que `(α)6= 0. Démontrer que un(α)−un+1(α)<sub>n→+∞</sub>∼ α`(α) n . c. Déduire de ce qui précède que `(α) = 0

2. Dans cette question, on suppose que α∈]0,1].

a. Montrer que ∀n∈N, u_n(α)> 1 n+α.

b. Quelle est la nature de la série de terme généralun(α)?

Exercice VIII.

1. Montrer que ∀x>0, la série X 1

2^k+x converge.

2. On pose, ∀x>0, f(x) =

+∞

X

k=0

1 2^k+x. a. Montrer que ∀x>0, f(2x) = 1

2f(x) + 1 1 + 2x. b. Montrer quef est décroissante surR+.

c. Montrer quef admet une limite en+∞, puis la déterminer.

3. a. Montrer que ∀(x, y)∈(R+)², |f(x)−f(y)|6 ⁴₃|x−y|.

b. En déduire quef est continue surR+. Exercice IX.

On considère la suite(u_n)n∈Ndéfinie par u₀ >0 et ∀n∈N, u_n+1 =u_n+u²_n. 1. a. Montrer que la suite(un)n∈Nest croissante.

b. Montrer que la suite(un)n∈Ndiverge vers+∞.

2. On pose, pourn∈N, v_n= ln(u_n) 2ⁿ . a. Montrer que ∀t >0, ln(1 +t)6t.

b. Montrer que ∀n∈N, vn+1−vn6 1 2ⁿ⁺¹u_n.

c. Montrer que la série de terme généralv_n+1−v_nest convergente.

d. En déduire que la suite(vn)n∈Nconverge. On note`sa limite.

3. a. Montrer, à l’aide de la question2.b, que ∀n∈N, ∀p∈N, vn+p+1−vn6 1 2ⁿu_n. b. Montrer que ∀n∈N, 06`−vn6 1

2ⁿun

. c. En déduire que u_n∼e^2n`.

Exercice X.

On définit la fonctionf sur[2; +∞[par f(x) = 1

√ x²−1. 1. Montrer que∀x >2, 1

x 6f(x)6 1

√x−1. 2. On définit, pourn>2, I_n=

Z n 2

f(x)dx.

a. Calculer lim

n→+∞In.

b. On définit la fonctionF sur[2; +∞[par F(x) = ln(x+√

x²−1).

CalculerF⁰, puis en déduire une expression deInen fonction den.

c. Déterminer lim

n→+∞(In−ln(n)).

3. On définit, pourn>2, S_n=

n

X

k=2

√ 1 k²−1. a. Montrer que ∀n>3,

Z k+1 k

f(x)dx6 1

√

k²−1 6 Z k

k−1

f(x)dx.

b. En déduire que ∀n>3, In+16Sn6In+ 1

√ 3. c. Démontrer que Sn∼ln(n).

4. On considèreα∈R, et on définit, pourn>2, T_n=

n

X

k=2

1 (k²−1)^α. a. Dans cette questionα = 1.

Trouver deux réelsaetbtels que 1

k²−1 = a

k−1+ b k+ 1.

En déduire une expression deTnet sa limite quandntend vers+∞.

b. Pour quelles valeurs deαla suite(Tn)n∈Nest-elle convergente ? Exercice XI.

Soituune suite décroissante, convergeant vers0, etS la série de terme général(−1)ⁿu_n.

1. Pourn∈N, écrireSn.

2. Montrer que les suites(S_2n)et(S_2n+1)sont adjacentes.

3. En déduire la convergence de la sérieS.

4. Montrer que sa limitelvérifie ∀n∈N, |S_n−l|6u_n+1. 5. a. Quelle est la nature de la série Sn=X

k>1

(−1)ⁿ n ?

b. On noteSla somme de cette série. Donner un majorant de

S−

n

X

k=1

(−1)ⁿ n

.

c. La sérieSest-elle absolument convergente ? Exercice XII.

1. S’inspirer de l’exercice précédent pour déterminer la nature de la série Sn=X

k>2

(−1)ⁿ ln(n). 2. On noteSla somme de cette série. Donner un majorant de

S−

n

X

k=2

(−1)ⁿ ln(n)

. 3. Montrer que ∀x >0, ln(x)< x.

4. En déduire la nature de la série X 1 ln(n). 5. La série X(−1)ⁿ

ln(n) est-elle absolument convergente ?

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Exercice XIII. (EDHEC 2020)

On convient que, pour tout réelx,on ax⁰ = 1

1. Pour toutndeN, justifier l’existence des intégrales : I_n=

Z 1 0

xⁿ

(1 +x)²dxetJ_n= Z 1

0

xⁿ 1 +xdx

2. CalculerI₀etI₁

3. a. Pour toutndeN,calculerIn+2+ 2In+1+In

b. En déduireI₂

c. Compléter le script Scilab suivant pour qu’il permette le calcul de In (dans la variable b) et son affichage pour une valeur denentrée par l’utilisateur.

n=input (’donnez une valeur pour n: ’) a=1/2

b= log(2) - 1/2 for k=2: n

aux = a a=---\\

b=---\\

end\\

disp (b)

4. a. Montrer que :∀n∈N,06I_n6 _n+1¹

b. En déduire que la suite(I_n)est convergente et donner sa limite.

5. Établir, à l’aide d’une intégration par parties, que :∀n∈N^∗, In=n.In−1−¹₂

6. a. CalculerJ₀puis exprimer, pour tout entier natureln, J_n+J_n+1en fonction den b. En déduire la valeur deJ1

7. En utilisant les questions 5 ) et 6 ), compléter le script Scilab suivant afin qu’il permette le calcul et l’affichage deInpour une valeur denentrée par l’utilisateur.

n=input (’donnez une valeur pour n: ’) J=\log (2)

for k=1: n-1 J=--- end

I=--- disp(I)

8. Établir que :∀n∈N^∗, Jn= (−1)ⁿ

ln 2−Pn k=1

(−1)^k−1 k

9. a. Utiliser les questions 4 ) et 5 ) pour déterminer la valeur delimn→+∞J_n

b. En déduire la nature de la série de terme général ⁽⁻¹⁾_k^k−1 ainsi que la valeur deP+∞

k=1

(−1)^k−1 k

c. Utiliser la question 5 ) pour déterminer un équivalent deJn,du type _αn¹ ,avecα >0,lorsquenest au voisinage de+∞

10. Pour toutndeN^∗,on poseu_n= ln 2−Pn j=1

(−1)^j−1 j

a. Déduire des questions précédentes un équivalent deu_nlorsquenest au voisinage de+∞

b. Montrer que la série de terme général⁽⁻¹⁾_2nⁿ est convergente. Peut-on en déduire la nature de la série de terme généralun?

11. On se propose, malgré 1’impasse précédente, de montrer que la série de terme généralu_nest convergente.

Pour ce faire, on admet le résultat suivant : si une suite(xn)est telle que les suites(x2n) et(x2n+1)sont convergentes et de même limite`, alors la suite(xn)converge vers`Pour tout entier naturelnnon nul, on poseS_n=Pn

k=1u_k

a. Justifier que, pour tout entier naturelknon nul, on a:u_k= (k+ 1)u_k+1−ku_k+ (−1)^k b. En déduire l’égalité suivante :

∀n∈N^∗, Sn= (n+ 1)un+1−u1−1

2(1−(−1)ⁿ) c. Montrer alors quelimn→+∞S_2n= limn→+∞S_2n+1 = ¹₂ −ln 2.Conclure.

12. Des trois résultats suivants, expliquer lequel on vient de démontrer.

a)P+∞

k=1

Pk j=1

(−1)^j−1

j = ¹₂−ln 2 b)P+∞

k=1

P+∞

j=1 (−1)^j−1

j = ¹₂ −ln 2 c)P+∞

k=1

P+∞

j=k+1 (−1)^j−1

j = ¹₂−ln 2 Exercice XIV. (EML 2019)

On considère la fonctionf définie sur]0,+∞[par ∀t∈]0,+∞[, f(t) =t+1 t. Partie A : Etude d’une fonction d’une variable

1. Etudier les variations de la fonctionf sur]0,+∞[.

Dresser le tableau des variations def en précisant les limites en0et en+∞.

2. Montrer quef réalise une bijection de[1,+∞[vers[2,+∞[.

On noteg: [2,+∞[−→[1,+∞[la bijection réciproque de la restriction def à[1,+∞[.

3. a. Dresser le tableau de variations deg.

b. Justifier que la fonctiongest dérivable sur]2,+∞[.

c. Soity ∈ [2,+∞[. En se ramenant à une équation du second degré, résoudre l’équationf(t) = y d’inconnuet∈]0,+∞[. En déduire une expression deg(y)en fonction dey.

Partie B : Etude d’une suite

On introduit la suite(u_n)n∈N^∗ définie par u₁ = 1 et ∀n∈N^∗, u_n+1 =u_n+ 1 n²u_n = 1

nf(nu_n).

1. Montrer, que pour toutndeN^∗,u_nexiste etu_n>1.

2. Recopier et compléter les lignes3et4 de la fonction Scilab suivante afin que, prenant en argument un entiern∈N^∗, elle renvoie la valeur deun.

function u = suite(n) u = 1

for k = ...

u = ...

end endfunction

3. On pose, pour toutndeN^∗,vn=un+1−un. a. Montrer que ∀n∈N^∗, 06v_n6 1

n². b. En déduire la nature de la sérieX

n>1

vn.

c. Calculer, pour tout entiernsupérieur ou égal à2,

n−1

X

k=1

v_k.

En déduire que la suite(un)n∈N^∗ converge vers un réel`, que l’on ne cherchera pas à déterminer.

4. a. Montrer que, pour tout entierksupérieur ou égal à2, on a 1 k² 6

Z k k−1

1 t²dt.

b. Pour tous entiersnetptels que26p < n, calculer

n−1

X

k=p

vket en déduire que : 06u_n−u_p 6

Z n−1 p−1

1 t²dt.

c. En déduire, pour tout entiernsupérieur ou égal à3, on a u₂ 6u_n61 +u₂. Montrer alors que`appartient à l’intervalle[2; 3].

d. Montrer, pour tout entierpsupérieur ou égal à2, on a 06`−u<sub>p</sub>6 1 p−1. e. En déduire une fonction Scilab qui renvoie une valeur approchée de`à10⁻⁴près.

Exercice XV. (EML 2017)

On considère la fonctionf :]0; +∞[→Rdéfinie, pour toutxde]0; +∞[, par : f(x) =e^x−e ln(x)

On admet les encadrements numériques suivants :

2,7<e<2,8 7,3<e² <7,4 0,6<ln(2)<0,7

Partie I : Etude de la fonctionf

1. a. Montrer quef est deux fois dérivable sur]0; +∞[et calculer, pour toutxde]0; +∞[,f⁰x)etf⁰⁰(x).

b. Dresser le tableau de variations def⁰ avec la limite def⁰ en 0 et la limite def⁰ en+∞et préciser f⁰(1).

2. Dresser le tableau de variations def avec la limite defen 0 et la limite def en+∞et préciserf(1).

3. Tracer la courbe représentative def.

4. a. Etudier les variations de la fonctionu:]0; +∞[→R, x7→f⁰(x)−x.

b. En déduire que l’équationf⁰(x) =x, d’inconnuex∈]0; +∞[, admet une solution et une seule, notée α, et montrer :1< α <2.

Partie II : Etude d’une suite, étude d’une série

On considère la suite réelle(un)n∈Ndéfinie par :

u₀ = 2 et, pour toutndeN, u_n+1=f(u_n) 5. Montrer que, pour toutndeN,u_nexiste etu_n>2.

6. a. Etudier les variations, puis le signe, de la fonctiong: [2; +∞[→R, x7→f(x)−x.

b. En déduire que la suite(un)n∈Nest croissante.

7. Démontrer que la suite(u_n)n∈Nadmet+∞pour limite.

8. Ecrire un programme en Scilab qui, étant donné un réelA, renvoie un entier naturelN tel queu_N >A.

9. a. Démontrer : ∀x∈[2; +∞[, 2 ln(x)6x6 e^x 3 b. En déduire : ∀n∈N, u_n+1> 6−e

2 u_n. c. Déterminer la nature de la série de terme général 1

un

. Exercice XVI. (EML 2010)

On notef :R→Rla fonction définie par f(x) =x−ln(1 +x²).

Partie I : Etude def

1. Calculer, pour toutx∈R, f⁰(x).

2. En déduire le sens de variation def.

Partie II : Etude d’une suite et d’une série associées àf

On considère la suite(u_n)_n>0définie paru₀ = 1et ∀n∈N, u_n+1=f(u_n).

1. Montrer que(u_n)_n>0est décroissante.

2. Etablir que la suite(un)_n>0converge et déterminer sa limite.

3. Ecrire un programme en Scilab qui calcule et affiche un entierntel queun610⁻³. 4. a. Etablir que ∀x∈[0; 1], f(x)6x−1

2x². b. En déduire que ∀n∈N, u²_n62(u_n−u_n+1).

c. Démontrer que la série X

n>0

u²_n converge.

Exercice XVII. (EML 1992)

On notef :]1,+∞[→Rl’application définie par ∀x∈]1,+∞[, f(x) = 1 xln(x). 1. Etudier les variations def et tracer sa courbe représentative.

2. Montrer que ∀k∈N, k>3, f(k)≤ Z k

k−1

f(x)dx≤f(k−1).

Pour toutn∈Ntel quen≥2, on note Sn=

n

X

k=2

f(k).

3. a. Montrer que ∀n∈N, n≥2, Sn− 1 2 ln(2) ≤

Z n 2

f(x)dx≤Sn− 1 nln(n).

b. En déduire que ∀n∈N, n≥2, ln (ln (n))−ln (ln (2))≤Sn≤ln (ln (n))−ln (ln (2)) + 1 2 ln (2). c. Etablir S_n ∼

n→+∞ln (ln (n)).

Pour toutn∈Ntel quen≥2, on note un=Sn−ln (ln (n+ 1)) et vn=Sn−ln (ln (n)).

4. En utilisant le résultat de la question 2, montrer que les suites(un)n≥2et(vn)n≥2sont adjacentes.

On note`leur limite commune.

5. a. Montrer que ∀n∈N, n≥2, 0≤vn−`≤ 1 nln (n).

b. En déduire un indicen0tel queun0 soit une valeur approchée de`à10⁻²près.

6. Créer un programme Scilab calculant une valeur approchée de`à10⁻²près.

Exercice XVIII. (EML 2002)

On admet que pour tout entierk∈Net toutx∈[0; 1[, la sérieX

n>k

n k

xⁿest convergente,

et on notes_k(x) =

+∞

X

n=k

n k

xⁿ.

1. Vérifier que ∀x∈[0; 1[, s0(x) = 1

1−x et s1(x) = x (1−x)². 2. Montrer que ∀k∈N, ∀n∈N, k < n,

n+ 1 k+ 1

= n

k

+ n

k+ 1

.

3. Déduire de la question précédente que ∀k∈N, ∀x∈[0,1[, sk+1(x) =xsk(x) +xsk+1(x).

4. Montrer, par récurrence que ∀k∈N, ∀x∈[0,1[, sk(x) = x^k (1−x)^k+1. Exercice XIX. (EDHEC 97)

Pour tout entier naturelnnon nul, on poseu_n= 1/ ^n+p_n

,oùpdésigne un entier naturel fixé.

1. Montrer que sip= 0ou sip= 1la série de terme généralundiverge.

On suppose dans toute la suite quepest supérieur ou égal à2et on poseSn=Pn k=1uk

2. a. Montrer que∀n∈N,(n+p+ 2)un+2 = (n+ 2)un+1.

b. En déduire par récurrence surnqueSn= _p−1¹ (1−(n+p+ 1)un+1) 3. a. On posev_n= (n+p)u_n. Montrer que la suite(v_n)est décroissante.

b. En déduire que la suite(v_n)converge et que sa limite`est positive ou nulle.

c. Utiliser le résultat pprécédent pour montrer que la série de terme généralu_nconverge et donner sa somme en fonction depet de`.

4. On suppose dans cette question seulement que`6= 0.

a. Montrer qu’au voisinage de+∞, u_n∼ ` n

b. En déduire une contradiction avec la troisième question.

5. Donner la valeur de`et en déduire en fonction dep,la somme de la série de terme généralun

Exercice XX. (Ecricome 2018) Partie I : étude de deux suites

Pour tout entier naturelnnon nul, on pose : u_n=

n

X

k=1

1

k −ln(n) et v_n=u_n− 1 n.

1. Soitf la fonction définie surR^+∗ parf(x) = 1

x+ 1+ ln(x)−ln(x+ 1).

a. Déterminer lim

x→0f(x)et lim

x→+∞f(x).

b. étudier les variations de la fonctionf surR^+∗et dresser son tableau de variations.

c. Démontrer que : ∀n∈N^∗, un+1−un=f(n).

d. En déduire la monotonie de la suite(u_n)n∈N^∗.

e. écrire une fonction d’en-tête :function y=u(n) qui prend en argument un entier naturelnnon nul et qui renvoie la valeur deun.

2. a. Montrer que : ∀n∈N^∗ vn+1−vn= 1 n−ln

1 + 1

n

. b. Montrer que pour tout réelxpositif : ln(1 +x)≤x.

En déduire que la suite(vn)n∈N^∗est croissante.

c. Donner le développement limité d’ordre 2 deln(1 +x)en0. En déduire que : v_n+1−v_n ∼

n→+∞

1 2n²

d. Déterminer la nature de la série de terme généralv_n+1−v_n. On noteγ =

+∞

X

n=1

(v_n+1−v_n).

e. Pourn≥2, simplifier la somme partielle :

n−1

X

k=1

(vk+1−vk).

En déduire que la suite(vn)n≥2converge versγ. 3. a. Déterminer lim

n→∞un.

b. Montrer que ∀n∈N^∗ v_n≤γ ≤u_n puis que ∀n∈N^∗ |u_n−γ| ≤ 1 n

c. On rappelle que l’instructionfloor(x)renvoie la partie entière d’un réelxet on suppose que la fonctionude la question 1) e : a été correctement programmée. Expliquer l’intérêt et le fonctionne- ment du script ci-dessous :

eps=input(’Entrer un réel strictement positif : ’}

n=floor(1/eps)+1 disp(u(n))

Partie II : étude d’une série

Pour tout entier natureln, on pose an= 1 n(2n−1). 1. Démontrer que la série de terme généralanconverge.

2. a. Justifier que : ∀n∈N^∗,

n

X

k=1

1 2k−1 =

2n

X

k=1

1 k −

n

X

k=1

1 2k. b. Déterminer deux réelsαetβtels que : ∀n∈N^∗, an= α

n+ β 2n−1. c. En déduire que : ∀n∈N^∗,

n

X

k=1

ak= 2

2n

X

k=n+1

1 k.

3. a. Montrer que : ∀n∈N^∗,

2n

X

k=n+1

1

k =u2n−un+ ln(2) où(un)n∈N^∗est la suite définie dans la partie I.

b. Calculer alors

+∞

X

k=1

a_k.

4. a. Montrer que : ∀n∈N^∗,

2n

X

k=n+1

1 k = 1

n

n

X

k=1

1 1 +k

n .

b. Retrouver alors le résultat de la question 3) b : Exercice XXI. (EDHEC 2018)

Partie 2 : étude d’une suite

On poseu0= 1, et pour tout entier naturelnnon nul,un= Z 1

0

ln(1 +t²)n

dt.

7) a) La valeur donnée àu0est-elle cohérente avec l’expression générale deun? b) Exprimeru1à l’aide de la fonctionf.

8) a) Montrer que la suite(u_n)n∈Nest décroissante.

b) Montrer que la suite(un)n∈Nest minorée par 0. En déduire qu’elle converge.

9) a) Etablir l’encadrement suivant :

06u_n6(ln 2)ⁿ

b) Que peut-on en déduire sur la suite(u_n)n∈N? Sur la série de terme généralu_n? 10) a) Montrer que :

06 Z 1

0

ln(1 +t²)n

1−ln(1 +t²)dt6 un

1−ln 2

b) En déduire la valeur de lim

n→+∞

Z 1 0

ln(1 +t²)n

1−ln(1 +t²)dt.

c) Justifier que, pour tout entier naturelnnon nul, on a :

n−1

X

k=0

u_k= Z 1

0

1− ln(1 +t²)n

1−ln(1 +t²) dt

d) En déduire que l’on a :

+∞

X

k=0

u_k= Z 1

0

1

1−ln(1 +t²)dt

e ) Modifier le script présenté à la question 6) pour donner une valeur approchée de

+∞

X

k=0

u_k

Exercice XXII. (EML 2015)

Dans cet exercice, on pourra utiliser l’encadrement suivant :2< e <3.

Partie I : Etude d’une fonction

On considère l’application ϕ:R→R, x7→ϕ(x) =x²e^x−1.

1. Dresser le tableau de variations deϕ,en précisant la limite de ϕen −∞,sa valeur en 0 et sa limite en +∞.

2. Etablir que l’équatione^x = 1

x²,d’inconnuex∈]0,+∞[,admet une solution et une seule, notéeα,et que αappartient à l’intervalle

1 2; 1

.

On considère l’applicationf :R→R, x7→f(x) =x³e^x,et la suite réelle(un)n∈Ndéfinie par : u0 = 1 et ∀n∈N, un+1=f(un)

Partie II : Etude d’une suite

3. Montrer : ∀n∈N, u_n>1.

4. Etablir que la suite(un)n∈Nest croissante.

5. Quelle est la limite deunlorsque l’entierntend vers l’infini ? Partie III : Etude d’une série

6. Montrer que la sérieX

n>1

1

f(n) converge. On noteS =

+∞

X

n=1

1 f(n). 7. Montrer : ∀n∈N^∗,

S−

n

X

k=1

1 f(k)

6 1

(e−1)eⁿ.

8. En déduire une fonction en Scilab qui calcule une valeur approchée deSà10⁻⁴près.

Exercice XXIII. (EDHEC 2016) Partie I : Questions préliminaires.

Dans cette partie,xdésigne un réel élément de[0,1[.

1. a) Pour toutndeN^∗et pour touttde[0, x], simplifier la somme

n

P

p=1

t^p−1 .

b) En déduire que :

n

X

p=1

x^p

p =−ln(1−x)−

x

Z

0

tⁿ 1−tdt. c) Établir par encadrement que l’on a : lim

n→+∞

x

R

0

tⁿ

1−tdt= 0. d) En déduire que :

+∞

X

k=1

x^k

k =−ln(1−x).

2. Soitmun entier naturel fixé. A l’aide de la formule du triangle de Pascal, établir l’égalité :

∀q >m,

q

X

k=m

k m

=

q+ 1 m+ 1

3. Soitnun entier naturel non nul. On considère une suite(X_n)n∈N^∗de variables aléatoires,

mutuellement indépendantes, suivant toutes la loi géométrique de paramètrex, et on poseS_n=

n

X

k=1

X_k.

a. DéterminerS_n(Ω)puis établir que, pour tout entierksupérieur ou égal àn+ 1, on a :

P (S_n+1=k) =

k−1

X

j=n

P((S_n=j)∩(X_n+1=k−j))

b. En déduire, par récurrence surn, que la loi deS_nest donnée par :

∀k∈[[n,+∞[[, P(Sn=k) = ^k−1_n−1

xⁿ(1−x)^k−n

c. En déduire, pour toutxde]0,1[et pour tout entier naturelnnon nul :

+∞

X

k=n

k−1 n−1

(1−x)^k−n= 1 xⁿ

d. On rappelle que la commande grand(1,n,’geom’,p)permet à Scilab de simuler n variables aléatoires indépendantes suivant toutes la loi géométrique de paramètrep.

Compléter les commandes Scilabsuivantes pour qu’elles simulent la variable aléatoireS_n. n=input(’entrez une valeur de n supérieure à 1:’)

S=--- disp(S)

Partie 2 : étude d’une variable aléatoire.

Dans cette partie, on désigne parpun réel de]0,1[et on poseq = 1−p. On considère la suite(u_k)k∈N^∗, définie par :

∀k∈N^∗ : u_k=− q^k k ln p 1. a. Vérifier que la suite(u_k)k∈N^∗est à termes positifs.

b. Montrer, en utilisant un résultat de la partie 1 , que

+∞

X

k=1

uk= 1.

On considère dorénavant une v.a.Xdont la loi de probabilité est donnée par ∀k∈N^∗, P(X = k) = u_k. 2. a. Montrer queXpossède une espérance et la déterminer .

b. Montrer également queXpossède une variance et vérifier que :V(X) =−q(q+lnp) (plnp)² .

3. Soitkun entier naturel non nul . On considère une variable aléatoireY dont la loi, conditionnellement à l’évènement(X =k), est la loi binomiale de paramètresketp.

a. Montrer queY(Ω) =Npuis utiliser la formule des probabilités totales, ainsi que la question 1) de la partie 1, pour montrer que P (Y = 0) = 1 + ln(1 +q)

lnp .

b. Après avoir montré que , pour tout couple(k, n)deN^∗×N^∗, on a : (^k_n)

k = (_n−1^k−1)

n , établir que, pour tout entier naturelnnon nul, on a P (Y =n) =−pⁿqⁿ

nlnp

+∞

X

k=1

k−1 n−1

(q²)^k−n.

En déduire , grâce à la question 3) de la première partie, l’égalité P (Y =n) =− qⁿ n(1 +q)ⁿlnp.

c. Vérifier que l’on a

+∞

X

k=0

P(Y =k) = 1.

d. Montrer queY possède une espérance et donner son expression en fonction delnpetq. e. Montrer aussi queY possède une variance et que l’on a :V(Y) =−q(q+ (1 +q)lnp)

(lnp)² . Exercice XXIV.

On joue avec une pièce où Pile et Face apparaissent respectivement avec les probabilitésp∈]0; 1[etq= 1−p.

On noteXle rang où apparaît pour la première fois une séquence de deux Piles consécutifs.

Par exemple, avec des notations usuelles, si les lancers ont donnéF P F F F P F P P, alorsX= 9.

On pose ∀n∈N^∗, an=P(X=n). Les lancers sont indépendants.

1. En fonction depetq, calculera₁,a₂eta₃.

2. Montrer que les évènementsF₁,P₁∩F₂etP₁∩P₂forment un système complet d’évènements.

3. Avec le système précédent, et en utilisant la formule des probabilités totales, exprimerP(X =n+ 2).

4. En déduire que ∀n∈N^∗, an+2=qan+1+pqan, puis calculeranen fonction den,petq.

5. Vérifier queXest une variable aléatoire réelle.

6. Montrer queXadmet une espérance et une variance, et les calculer.

7. Appl : combien de coups sont nécessaires, en moyenne, pour obtenir deux6consécutifs sur un dé ? 8. Créer un programme permettant de vérifier les résultats trouvés dans cet exercice.