DM 5

DM n

5

Exercice

Pour tout entiernsup´erieur ou ´egal `a 1, on d´efinit la fonctionfn par :

∀x∈R+, fn(x) =xⁿ+ 9x²−4.

1. (a) Montrer que l’´equationf_n(x) = 0 n’a qu’une seule solution strictement positive, not´eeu_n. (b) Calculeru₁ etu₂.

(c) V´erifier que :

∀n∈N^∗, u_n∈

0,2 3

2. (a) Montrer que, pour toutx´el´ement de ]0,1[, on a :

fn+1(x)< fn(x) (b) En d´eduire le signe def_n(u_n+1), puis les variations de la suite (u_n).

(c) Montrer que la suite (u_n) est convergente. On note`sa limite.

3. (a) D´eterminer la limite de (u_n)ⁿ lorsquentend vers +∞.

(b) Donner enfin la valeur de`.

4. Montrer que la s´erie de terme g´en´eral 2

3 −un est convergente.

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Exercice facultatif

Soitpun entier naturel fix´e. Pour tout entier naturelnnon nul, on pose u_n= 1

n+p n

.

1. Montrer que sip= 0 ou sip= 1 la s´erie de terme g´en´eralun diverge.

On suppose dans toute la suite quepest sup´erieur ou ´egal `a 2 et on pose

S_n =

n

X

k=1

u_k.

2. (a) Montrer que pour toutn∈N,

(n+p+ 2)un+2= (n+ 2)un+1. (b) En d´eduire par r´ecurrence surnque

S_n= 1

p−1(1−(n+p+ 1)u_n+1) 3. (a) On posevn = (n+p)un. Montrer que la suite (vn) est d´ecroissante.

(b) En d´eduire que la suite (vn) converge et que sa limite`est positive ou nulle.

(c) Utiliser le r´esultat pr´ec´edent pour montrer que la s´erie de terme g´en´eralun converge et donner sa somme en fonction depet de`.

4. On suppose dans cette question seulement que`6= 0.

(a) Montrer que

un ∼

+∞

` n (b) En d´eduire une contradiction avec la troisi`eme question.

5. Donner la valeur de`et en d´eduire en fonction dep,la somme de la s´erie de terme g´en´eralun.

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