D655. Les petits dans les grands
Le probl`eme est plus simple si on le prend `a l’envers.
Soit le carr´e centr´e sur l’origine est dont un sommet a les coordonn´ees enti`eres (a, b). Son aire vaut2(a2+b2), et son cˆot´ep
2(a2+b2).
La question 1 est de montrer qu’il existe une infinit´e de nombres entiersqetM tels que
M2 = 2q(a2+b2)
et la question 2 une infinit´e de nombres entierspet N tels que N =pp
2(a2+b2)
M, s’il existe, est pair. N doit aussi ˆetre pair pour pouvoir centrer le grand carr´e `a l’origine.
Q1/ Les solutions dea2+b2=c2sont bien connues, par exemple : a impair,b= a2−1
2 , c= a2+ 1
2 . et on choisitq = r2
2 o`ur est pair, d’o`u M =r×c.
La premi`ere solution suffit puisqu’on peut faire varier r, par exemple a = 4, b= 3, doncc= 5,
r= 2,M = 10,q = 2, r= 4,M = 20,q = 8, ...
Q2/ Les solutions de2(a2+b2) =c2sont aussi en nombre infini, par exemple : a= 2(r+ 1)2−1,b= 2(r+ 2)2−1,c= (2r+ 3)2+ 1
dont les premiers triplets sont : (7, 17, 26), (17, 31, 50), (31, 49, 82), ...
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Ici aussi la premi`ere solution suffit :
a= 7,b= 17,c= 26,p= 1,2,3... ⇒ N = 26,52,78...
Construction `a la r`egle : on construit les carr´es[a, b]et[M/2, M/2]
(ou [N/2, N/2] ), puis on r´eduit proportionnellement le premier carr´e pour l’adapter au carr´e unit´e.
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