Activit´e de math´ematiques
Coordonn´ ees et Centre de Gravit´ e
Exercice 1
On consid`ere un triangle quelconque ABC, soit I le milieu du segment [BC].
1. Donner les coordonn´ees des pointsA,B,C,I dans le rep`ere (A,−−→ AB,−→
AC).
2. On consid`ere le point G d´efini par la relation −→GA+−GB−→+−GC−→ = −→
0 . D´eterminer ses coordonn´ees dans le rep`ere (A,−AB,−→ −→AC).
3. D´eterminer les coordonn´ees des vecteurs−→AGet−AI→dans le rep`ere (A,−AB,−→ −→
AC), en d´eduire leur colin´earit´e. Quel r´esultat classique vient-on de red´emontrer ?
Exercice 2
On place dans un rep`ere (O,−→i ,−→j), les pointsA(2; 3), B(−3; 1), C(−2;−2), D(4;−2).
1. On consid`ere le pointGd´efini par la relation−→GA+−GB−→+−GC−→+−GD−→=−→
0 . D´eterminer ses coordonn´ees dans le rep`ere (O,−→i ,−→j).
2. SoientI,J,K,Lles milieux respectifs des segments [AB], [BC], [CD], [AD]. V´erifier que le pointGest le milieu des segments [IK] et [J L].
Exercice 3
On consid`ere un quadrilat`ere quelconque ABCD, soient I, J, K, L les milieux respectifs des segments [AB], [BC], [CD], [AD]. On note (u;v) les coordonn´ees du pointC dans le rep`ere (A,−−→
AB,−−→ AD).
1. On consid`ere le pointGd´efini par la relation−→GA+−GB−→+−GC−→+−GD−→=−→
0 . D´eterminer ses coordonn´ees dans le rep`ere (A,−AB,−→ −−→
AD) en fonction deu etv . 2. V´erifier que le pointGest le milieu des segments [IK] et [J L].
Exercice 4
On consid`ere un quadrilat`ere quelconque ABCD. On note (u;v) les coordonn´ees du point C dans le rep`ere (A,−−→
AB,−−→
AD). On d´efinit le pointG par le relation : mA−→GA+mB−GB−→+mC−GC−→+mD−GD−→=−→ 0 D´eterminer les coordonn´ees du pointGdans le rep`ere (A,−−→
AB,−−→
AD) en fonction demA,mB, mC,mD,u etv .
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