Zig a rendu visite à Alice (A), Benjamin (B) et Cunégonde (C), les trois spécialistes du calcul des décimales du nombre π (voir D1846). Il a inscrit sur le front de chacun d’eux un entier positif en leur signalant que l’un des trois entiers est la somme des deux autres.
Le dialogue suivant s’établit entre les trois amis : Alice : Je ne connais pas mon nombre.
Benjamin : Je ne connais pas mon nombre.
Cunégonde : Je ne connais pas mon nombre.
Alice : Je connais mon nombre qui est 95 Déterminez les deux autres nombres.
Source : Andy Liu – Maths Horizons Février 2004
Soient a, b, c les nombres d’Alice, Benjamin et Cunégonde respectivement.
Alice, qui voit les nombres b et c, en déduit que a=b+c ou a=|b-c| : elle ne peut trancher que si b=c, puisque a doit être strictement positif.
Benjamin, à son tour, ne peut deviner, donc a≠c.
Pour Cunégonde c=a+b ou |b-a| ; a=a+b ou a=a-b sont impossibles, mais si c=b-a=a (soit b=2a) Benjamin aurait pu deviner ; donc si b=2a, Cunégonde peut conclure que c=3a.
Donc s’il existe k tel que b=2k, c=3k, Alice peut exclure a=c-b=k et conclure que a=b+c=5k.
Donc a=95, b=38, c=57.
