Logique et th´ eorie des ensembles
M63010 (6 ECTS, coef. 2)
Modalit´es d’´evaluation : contrˆole continu et examen terminal Pr´e-requis :
Parcours int´egrant obligatoirement cette UE : Math´ematiques fonda- mentales, math´ematiques pour l’enseignement
Parcours pouvant int´egrer cette UE :
Programme des enseignements
– Le langage math´ematique : objets, ´enonc´es, constantes, variables, fonctions, rela- tions, occurrences libres et li´ees d’une variable, op´erateurs lieurs ; structure et th´eorie ; preuves, exemples de r`egles de d´eduction.
– Logique propositionnelle et logique du premier ordre : connecteurs, tautologies,
´equivalences, formes normales, syst`emes complets ; formules propositionnelles, valua- tions, validit´e, cons´equence, th´eor`eme de compacit´e ; quantificateurs, r`egles d’usage des quantificateurs ; langage du premier ordre, formules, l’interpr´etation dans une struc- ture, expression de propri´et´es math´ematiques ; mod`eles, validit´e, cons´equence ; si le temps le permet : th´eor`eme de compl´etude, th´eor`eme de L¨owenheim-Skolem, th´eor`eme de compacit´e, applications ; les paradoxes de la th´eorie des ensembles, l’axiomatique de Zermelo.
–Th´eorie na¨ıve des ensembles : op´erations ensemblistes usuelles, fonctions et rela- tions, familles d’ensembles ; les entiers et le principe d’induction ; ensembles finis, d´enombrables, Rn’est pas d´enombrable ; cardinalit´e, th´eor`eme de Cantor, th´eor`eme de Cantor-Bernstein ; puissance du continu,R,P(N) ; axiome du choix.
Objectifs : Maˆıtriser le langage math´ematique, la th´eorie des ensembles et le s r`egles du raisonnement. Le cours comporte des s´eances d’utilisation d’un logiciel de d´emonstration interactive sur ordinateur, afin d’illustrer la formalisation de th´eories et de preuves math´ematiques. Aucune connaissance informatique pr´ealable n’est n´ecessaire.
