D60334. Hors planche
Sur la planche `a dessin sont trac´ees deux droites qui ne se coupent pas `a l’int´erieur de la feuille. Vous devez tracer la droite qui joint un pointP de la feuille `a l’intersection des deux droites. Comment faites-vous ?
Solution
Rappelons le th´eor`eme de Pappus : Etant donn´es deux alignements de trois points, U1U2U3 et V1V2V3, les points d’intersection W1 = U2V3 ∩U3V2, W2 =U3V1∩U1V3,W3 =U1V2∩U2V1, sont align´es.
D’o`u la construction (qui demande le trac´e de 7 droites seulement, y com- pris P S) :
Placer U2 etV3 sur l’une des droites donn´ees,U3 et V2 sur l’autre, ce qui identifie S `a W1 du th´eor`eme.
D´eterminerU1comme intersection des droitesP V3etU2U3, puisV1comme intersection des droites P U3 etV2V3, ce qui identifieP `aW2 du th´eor`eme.
L’intersection des droitesU1V2etU2V1 est un pointQ(=W3 du th´eor`eme) qui appartient `a la droiteP S et permet de la tracer.
D’autres constructions que celle ci-dessus, “´economique” (car ne deman- dant que 7 trac´es `a la r`egle) sont possibles :
– par les polaires (avec 8 droites),
– par les triangles homologiques (8 droites ´egalement), – par le th´eor`eme de Pascal (avec un cercle et 5 droites),
– par la propri´et´e de l’orthocentre, avec 4 droites seulement, si l’on dispose d’une ´equerre.
– par l’homoth´etie, en construisant deux droites n fois plus proches de P que les droites donn´ees, et se coupant dans la planche.
Il existe aussi un proc´ed´e m´ecanique pour tracer des droites passant parS au moyen de trois tiges en ´etoile dont deux s’appuient sur deux points des droites donn´ees, le point de concours des tiges d´ecrivant un arc capable.
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