Feuille d’exercices : Fonctions `a deux variables.
MPSI-Maths.
Mr Mamouni: [email protected]
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http://www.chez.com/myismailc
Exercice 1. Soit (ABC)un triangle du plan, d´eterminer les points du plan o`u les fonctions suivantes atteignent leurs extremums :
1) f :M →M A2+M B2 +M C2. 2) g :M →M A+M B+M C. 3) h::M →M A×M B×M C
. Pr´eciser leurs natures (minimums , maximums).
Exercice 2. R´esoudre les ´equations diff´erentielles suivantes : 1)
x∂f
∂x +y∂f
∂y
f+x2+y2 = 0 Passer aux coordonn´ees polaires ).
2) 2xy∂f
∂x + (1 +y2)∂f
∂y = 0.
Poser : x= u2+v2
2 , y= uv. 3) x2 ∂2f
∂x∂y = 1.
4) ∂2f
∂x∂y = x
y +a∂2f
∂x2 =xy.
5) ∂f
∂x =af.
Exercice 3. D´eterminer les extremums des fonctions suivantes : 1) f : (x, y)→2x+y−x4−y4.
2) g : (x, y)→xey +yex. 3) h: (x, y)→ xy
(1 +x)(1 +y)(x+y).
Pr´eciser leurs natures (minimums , maximums, locaux , globaux).
Exercice 4. Calculer les int´egrales doubles suivants : 1)
Z Z
D
(x2+y2)dxdyo`u
D= (x, y)∈R2 tel que 0≤x≤1− y2 4
. 2)
Z Z
D
x2ydxdy o`u D={(x, y)∈R2 tel que 0≤ x2+y2 ≤1}.
3) Z Z
U
xydxdy U ={(x, y) tel que x≥0, y≥0, x+y≤1}
4) Z Z
U
|xy|dxdy U ={(x, y) tel que x2 a2 + y2
b2 ≤1}
5) Z Z
U
(x2+y2)2dxdy U ={(x, y) tel que x≥1, y ≥1, x+y ≤ 3}
6) Z Z
U
(1 +x2 +y2)dxdy U == {(x, y)tel que x2+y2 ≤1}
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Exercice 5. Calculer les int´egrales triples suivants : 1)
Z Z Z
D
(x2 + y2)dxdydz o`u D est le t´etra`edre de sommets A(2,1,0);B(2,−1,0);C(0,0,3), D(0,0,−3).
2) Z Z Z
D
z2ydxdydz
o`u D={(x, y, z)∈R3 tel que 0≤x2+y2+z2 ≤1}
Exercice 6. Pourx >0 on pose g(x) = ln(x) + 2x+ 1.
1) Montrer que l’´equation g(x) = 0 admet une seule solution a ∈ ]0,1e[.
2) Sur R+∗ ×R on pose f(x, y) = x(ln(x) +x+y2) d´eterminer le point critique.
3) V´erifier que f admet un minimum relatif en ce point et que : minf =−a(a+ 1).
Exercice 7. Soit λ >1, on pose H ={(x, y)∈R2 tel que x >0} et D = {(x, y) ∈ R2 tel que x > 0, y 6= 0}, on se propose d’´etudier les extremums de la fonction f(x, y) =xλy−y2−yln(x+ 1) + 1.
1) Pourx >0on poseh(x) =xλ−ln(x+ 1), montrer que l’´equation h0(x) = 0 admet une seule solution b∈]0,+∞[.
2) On pose h(b) = 2c, montrer que c <0.
3) Montrer que l’´equation h(x) = 0 admet une seule solution a ∈ ]0,+∞[ et que a > b.
4) D´eterminer les points critiques de f, (on les exprimera en fonc- tion de a, b, c)
5) Montrer que f admet un seul extremum, que l’on pr´ecisera.
Exercice 8. Soit f une fonction de classe C1 sur R2. 1) Calculer les d´eriv´es partielles des fonctions suivantes :
g1(x, y) = f(y, x) g3(x, y) = f(y, f(x, x))
2) Calculer les d´eriv´es des fonctions suivantes :
h1(x) =f(x, x) h2(x) =f(x, f(x, x))
3) Calculer les d´eriv´es des fonctions suivantes :
h1(x) =f(u(x), v(x)) h2(x) =f(u(x), f(v(x), w(x)))
O`u u, v, w trois fonctions de classe C1 sur R. Exercice 9. Laplacien.
Soit u une fonction r´eelle des variables r´eelles x et y d´efinie par u(x, y) = (F ◦ r)(x, y) o`u r(x, y) = p
x2+y2 et F est une fonction reelle d’une variable reelle. On pose :
∆u= ∂2u
∂x2 + ∂2u
∂y2 1) Calculer :
∂r
∂x
∂r
∂y
∂2r
∂x2
∂2r
∂y2 2) Prouver que :
∆u=F00(r) + F0(r) r 3) En d´eduire∆u lorsque u(x, y) = ln(x2+y2).
Fin.
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