F1 - Fonction de deux variables
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FONCTIONS DE DEUX VARIABLES 1
Détermination de l’ensemble de définition
Exemple 1 :
Exemple 2 :
On a donc définie sur R² \ , où est la droite d’équation
On écrit précisément :
On écrit précisément : L’ensemble de définition est la partie intérieure au cercle de centre (0 ;0) et de rayon 2.
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Détermination d’une courbe/ligne de niveau 2
La courbe de niveau d’une fonction de deux variables , est l’ensemble des points du plan qui vérifie l’équation
Exemple 1 :
On résout alors cette équation :
La courbe de niveau est donc la droite d’équation Exemple 2 :
La courbe de niveau de la fonction a pour équation Cela équivaut à l’équation d’un cercle de centre et de rayon 5.
Détermination des points stationnaires d’une fonction
Les points stationnaires d’une fonction f de deux variables sont les points où son gradient s’annule.
Le gradient est « l’assemblage » de deux dérivées partielles. Il est caractérisé par un vecteur.
Exemple :
On calcule d’abord les dérivées partielles :
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On obtient alors deux points stationnaires : . Détermination de la nature des points stationnaires
Il faut calculer les dérivées partielles secondes afin de déterminer la matrice hessienne.
Calcul d’une matrice hessienne
On obtient alors la matrice hessienne suivante :
On remplace alors les coordonnées des points stationnaires dans la matrice.
Pour (0 ;0) :
On calcule le déterminant :
est négatif donc on en déduit que est un point col. Ce n’est pas un extremum local.
Pour :
On calcule le déterminant : 25 est positif donc on en déduit que ) est un minimum local.
Fonction de deux variables
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Autre exemple :
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Etudier la nature des points stationnaires de la fonction.
On calcule d’abord les dérivées partielles :
,
Pour déterminer la nature des points stationnaires, il faut calculer les dérivées partielles secondes afin de déterminer la matrice hessienne.
On obtient alors la matrice hessienne suivante :
On remplace alors les coordonnées des points stationnaires dans la matrice.
Pour :
On calcule le déterminant : est négatif donc on en déduit que est un point selle.
