Lycée Benjamin Franklin PTSI−2014-2015
D. Blottière Mathématiques
Devoir surveillé n°1
Vendredi 26 septembre de 14h à 17h
Le barème prendra significativement en compte :
• la présentation ;
• la clarté des explications ;
• le soin porté à l’argumentation des réponses ;
• la justesse du vocabulaire et des symboles employés.
Exercice 1 (Système linéaire2×2à coefficients complexes) Résoudre le système linéaire
½ i z1 − (1+2i)z2 = 2+i (1+i)z1 − i z2 = 1−i
d’inconnue (z1,z2) un couple de nombres complexes, en appliquant la méthode du pivot de Gauß.
Exercice 2 (Un calcul de somme) 1. Sommes géométriques
Soitqun nombre complexe différent de 1. Soitnun entier naturel. Énoncer et démontrer la formule donnant la valeur de la somme
S(q,n) :=
n
X
k=0
qk
sans symboleΣ.
2. Puissances dej
On introduit le nombre complexej défini par :
j:= −1 2+i
p3 2 . (a) Calculer le module dej.
(b) Écrirej sous une autre forme.
(c) Calculerj0,j1,j2,j3.
(d) En déduire la valeur dejn, pour toutn∈N. 3. Application
Calculer la somme
S:=
2015
X
k=0
jk.
1
Exercice 3 (Autour de l’angle moitié)
1. Conjugaison complexe
(a) Énoncer la définition du conjuguézd’un nombre complexez.
(b) Démontrer :
∀z1∈C ∀z2∈C z1z2=z1z2. (c) Démontrer :
∀z∈C∗ µ1
z
¶
=1 z. (d) Démontrer :
∀z1∈C ∀z2∈C∗
µz1
z2
¶
=z1
z2. 2. Formules d’Euler
Énoncer et démontrer les formules d’Euler.
3. Angle moitié
Soientaetbdes nombres réels.
(a) Énoncer et démontrer le résultat sur la factorisation deei a+eib(cf. angle moitié).
(b) Énoncer et démontrer le résultat sur la factorisation deei a−eib(cf. angle moitié).
4. Application
Soitθ∈]−π,π[. On introduit le nombre
z(θ) :=1−eiθ 1+eiθ. (a) Justifier que le nombrez(θ) est bien défini.
(b) Démontrer quez(θ) est imaginaire pur, sans calculer sa forme algébrique.
(c) Démontrer l’identité
z(θ)= −itan µθ
2
¶ .
Exercice 4 (Couronne envoyée dans une autre couronne par une homographie)
1. Inégalité triangulaire (a) Démontrer :
∀z∈C Re(z)≤ |z|. (b) Énoncer l’inégalité triangulaire, puis démontrer l’inégalité de droite.
2. Application Soitz∈Ctel que
2≤ |z| ≤4.
Établir l’inégalité
1 5≤
¯
¯
¯
¯ 5−z i+z
¯
¯
¯
¯≤9.
2
Exercice 5 (Un calcul de primitive)
1. Relation fonctionnelle des nombreseiθ, oùθ∈R Soientθ1etθ2des nombres réels. Compléter l’identité
ei(θ1+θ2)=... ... ... ... ...
donnant la relation fonctionnelle des nombreseiθ, oùθ∈R. On ne demande pas de démontration ici.
2. Formules d’addition pour cosinus
(a) Déduire de la question 1 une expression de cos(a+b) en fonction des cosinus et sinus deaetb, où aetbsont des nombres réels.
(b) Déduire de 2.(a) une expression de cos(a−b) en fonction des cosinus et sinus deaetb, oùaetb sont des nombres réels.
3. Transformation d’un produit de cosinus
Déduire des résultats de la partie 2 une autre expression de cos(a)cos(b), oùaetbsont des nombres réels.
4. Application
Donner une primitive de la fonction
¯
¯
¯
¯
f : R → R
x 7→ cos(5x)cos(3x).
Exercice 6 (Équations trigonométriques) 1. Résoudre l’équation
(E1) : cos(x)=0 d’inconnuex∈R.
2. Résoudre l’équation
(E2) : cos(x)=1 2 d’inconnuex∈R.
3. Résoudre l’équation
(E3) : cos(2x)+1=cos(x) d’inconnuex∈R.
Exercice 7 (Système d’équations mettant en jeu des modules)
Déterminer l’ensemble des nombres complexes non nulsztels que :
|z| =
¯
¯
¯
¯ 1 z
¯
¯
¯
¯= |1−z|. On raisonnera par analyse-synthèse.
3
Exercice 8 (Une propriété de la somme de trois nombres complexes de module 1)
Soientz1,z2,z3trois nombres complexes de module 1. Démontrer l’identité
|z1+z2+z3| = |z1z2+z1z3+z2z3|.
4
