Chapitre 6: triangles, partie 2 I. Inégalité triangulaire
Propriété du triangle : la longueur d'un côté est toujours inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.
Dans le triangle ABC : AB < AC + CB ; AC < AB + BC et BC < BA + AC Exemple : dans le triangle RST : RS = 3 cm ; ST = 4 cm donc RT< 3 + 4 soit RT < 7
Remarque : dans le langage courant, on dirait que le plus court chemin pour aller d'un point à un autre est la ligne droite.
Condition d’existence d'un triangle :
Étant donné trois longueurs AB, BC, CA (la plus grande étant AB) :
Si AB < AC + CB , alors on peut construire un triangle avec ces trois longueurs.
Si AB = AC + CB , alors les trois points sont alignés ( triangle aplati ).
Si AB > AC + CB , alors on ne peut pas construire le triangle ayant pour longueurs AB, AC et CB
Exemples
a) AB = 7 cm AC = 5 cm et BC = 1 cm.
Peut on construire le triangle ABC ?
AB est la plus grande longueur et AC + CB = 6 cm donc AB > AC + CB : on ne peut pas construire le triangle ABC.
b) : MN = 7 cm NP = 5 cm et MP = 2 cm.
Peut on construire le triangle MNP?
MN est la plus grande longueur et MP + PN = 7 cm donc MN = MP + PN : les points M, N et P sont alignés ( le point P appartient au segment [MN]).
c) : RS = 7 cm ST = 5 cm et RT = 3 cm.
Peut on construire le triangle RST?
RS est la plus grande longueur et RT + TS = 8 cm donc RS < RT + TS : on peut construction le triangle RST.
II. Droites particulières du triangle
1) La médiatrice
Définition : une droite coupe un segment perpendiculairement en son milieu s'appelle la médiatrice de ce segment.
On sait que la droite (d) est perpendiculaire au segment [AB] et le coupe en son milieu.
D'après la propriété 2.6,
on peut conclure que (d) est la médiatrice du segment [AB].
Définition : une médiatrice d'un triangle est une médiatrice de l'un de ses côtés ( il y en a trois ).
Propriété 6.1 : Si un point appartient à la médiatrice d'un segment alors il est à égal distance des extrémités du segment.
On sait que M ∈ (d).
D'après la propriété 6.1
on peut conclure que MA = MB.
Propriété 6.2 ( la réciproque ) : Si un point est à égal distance des extrémités d'un segment alors il appartient à la médiatrice de ce segment .
Propriété 6.3 : Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes en un point O : centre du cercle circonscrit au triangle ( il passe par les trois sommets ).
Explication : d'après la propriété :
Soit O le point de concours des médiatrices des segments [AB] et [BC].
Comme O appartient à la médiatrice du segment [AB], d'après la propriété 2.7, on sait que OA = OB, comme O appartient à la médiatrice du segment [BC], d'après la propriété 2.7, on sait que OB = OC,
Par suite OA = OB = OC , en particulier, OA = OC, d'après la propriété 6.2, le point O appartient à la médiatrice du segment [AC]
Donc les médiatrices sont²mèynh concourrantes.
et les points A,B et C appartiennent au même cercle de centre O ( et de rayon OA).
Les construction peuvent être fait à l'équerre ( moins précis ) ou au compas.
Méthode de construction : tracer deux ( ou trois ) médiatrices du triangle.
Avec le compas :
B
A
O C
2) La médiane
Définition :
Dans un triangle, une médiane est une droite qui passe par un sommet du triangle et le milieu du côté opposé.
Exemple : Construis la médiane issue de A dans le triangle ABC.
1) On détermine le milieu du segment [BC] qui est le côté opposé au sommet A.
2) On trace la droite qui passe par le sommet A et par le point I.
Propriété 2.4 : les trois médianes d'un triangle sont concourantes en un point ( appelé centre de gravité du triangle ).
3) La hauteur
Définition : dans un triangle, une hauteur est une droite qui passe par un sommet du triangle et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.
Exemple : Trace la hauteur relative au côté [BR].
La hauteur relative au côté [BR] est la droite perpendiculaire au côté [BR] et passant par A.
A
C I B
A
C
I B
B
A
C
A B
R
