Série d’exercices sur les nombres complexes 2éme Bac PC extrait des sujets des Examens Nationaux

(1)

Série d’exercices sur les nombres complexes 2éme Bac PC extrait des sujets des Examens Nationaux

Exercice (Examen National 2019 Session De Rattrapage)

1- a) Résoudre dans l’ensemble

C 

des nombres complexes l'équation:

z

²

   3 z 3 0

.

b) On pose: 3 3

2 2

a  i ; écrire a sous forme trigonométrique.

2- On considère le nombre complexe :

²   ¹⁺

b  2 i

vérifier que :

b

²

 i

. 3- On pose:

12 12 cos sin

 

h  i 

; montrer que:h⁴ 1 a .

4- Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct



^{O u v}^{; ;}



, on considère le point B d'affixe b et R la rotation de centre O et d'angle

2

 _. a) Soit c l'affixe du point C image du point B par la rotation R.

Montrer que :

c  ib

.

b) En déduire la nature du triangle OBC.

Exercice (Examen National 2019 Session Normale)

1) Résoudre dans I ’ensemble C des nombres complexes l’équationz²2z 4 0.

2) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct



^{O u v}^{; ;}



, on considère les points A ; B ; C et D d'affixes respectives a 1 i 3;

b   2 2 i

; c 3iet d= 2 2 3  a) Vérifier que : ^{a d}^{  } ³



^{c d}^



b) En déduire que les points A ; C et D sont alignés.

3) On considère z l'affixe d'un point M et

z 

affixe deMimage de M par la rotation R de centre O et d'angle

3_. Vérifier que :

1 z   2 az

4) Soient H l’image du point B par la rotation R son affixe h et P le point d'affixe p tel que :

p   a c

a) Vérifier que :

h = ip

.

b) Montrer que le triangle OHP est rectangle et isocèle en O.

1) Résoudre dansC , l’équation : z² 2 2 z 4 0  . 2) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé



^O;u;v



On considère le point A d’affixe a 2(1 )i et R la rotation de centre O et d’angle 3

 .

a) Ecrire a sous forme trigonométrique.

b) Soit B l’image du point A par la rotation R et b l’affixe de B.

(2)

Montrer que :b 2 cos isin

12 12

      

      3) a) On considère le point C d’affixe c 1 i  .

Montrer que :b c² ² 2 3 . b) Soit t la translation de vecteur OC et D l’image de B par la translation t .

Montrer que :OD b c  c) En déduire que :OD BC 2 3  .

1) Résoudre dans C , l’équation : 2z²2z 5 0  . 2) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé



^O;u;v



, on considère la

rotation R de centre O et d’angle2 3

.

a) Ecrire sous forme trigonométrique le complexe :d 1 3i

2 2

   . b) On considère le point A d’affixe a 1 3i

  2 2 et le point B image du point A par la

rotation R .

Soit b l’affixe de B, montrer que : b d.a 3) Soit t la translation de vecteur OA et C l’image de B par la translation t et c l’affixe de

C . a) vérifier que c b a  en déduire que : c a 1 3i

2 2

 

   . b) Déterminer argc

apuis en déduire que le triangle OAC est équilatéral.

1) Résoudre dansC , l’équation : z²4z 8 0  . 2) Dans le plan muni d’un repère orthonormé



^O;u;v



, on considère les points A , B et C

d’affixes respectives a , b et c telles que : a  2 2i ; b 4 4i  etc 4 8i  . a) Soit z l’affixe d’un point M du plan et z l’affixe d’un point Mimage de M par la

rotation R de centre A et d’angle 2

. Montrer que : z   iz 4.

b) Vérifier que le point B est l’image du point C par la rotation R , en déduire la nature

du triangle ABC .

3) Soit  l’affixe du point  milieu du segmentBC.

a) Montrer que :c  6 . b) Montrer que l’ensemble des points^{M z}

 

tels que : z  6 est le cercle circonscrit

(3)

Soient les complexes a et b tels que : a 3 i et^b^ ^{3 1}^{ }



^{3 1 i}^



. 1) a) vérifier que^{b 1 i a}^{ }

 

.

b) en déduire que : b 2 2 et argb 5 2 2

   

c) Déduire de ce qui précède que : cos5 6 2

2 4

   .

2) Le plan est muni à un repère orthonormé



^O;u;v



^.

Soient les points A et B d’affixes respectives a et b, et le point C d’affixec  1 i 3 . a) Vérifier que : c ia , en déduire que OA OC et que



^{O ;O}^{A C}



^₂^^{ }^{ }²^ .

b) Montrer que le point B est l’image du point A par la translation de vecteur OC . c) En déduire la nature du quadrilatère OABC

1) Résoudre dansC , l’équation : z² 8z 41 0  . 2) Dans le plan muni d’un repère orthonormé



^O;u;v



, on considère les points A , B , C et 

d’affixes respectives a , b , c et  telles que :a 4 5i  ;b 3 4i  ;c 6 7i  et   4 7i Calculer c b

a b



 en déduire que les points A , B et C sont alignés.

3) Soitzl’affixe d’un point M du plan etzl’affixe d’un point Mimage de M par la rotation R de centre  et d’angle

2

. a) Montrer que : z    iz 3 11i.

b) Déterminer l’image du point C par la rotation R, puis donner la forme trigonométrique du nombre complexea

c

 

  . Exercice (Examen National 2016 Session Normale)

1) Résoudre dans C , l’équation : z² 4z 29 0  . 2) Dans le plan muni d’un repère orthonormé



^O;u;v



, on considère les points A ; B et 

d’affixes respectives a , b et  telles que : a 5 2i  ; b 5 8i  et   2 5i. a) Soit u le nombre complexe :u b  .

Vérifier que : u 3 3i  , puis montrer que : arg u 2 4

   .

b) Déterminer un argument du nombre complexe u (conjugué de u) c) Vérifier que : a  u, en déduire que A  B et que arg b 2

a 2

  

     

  

  .

(4)

d) Soit R la rotation de centre  et d’angle 2

. Déterminer l’image du point A par la rotation R.

1) a) Résoudre dansC , l’équation : z²8z 32 0  

b) Soit le nombre complexe a tel que a 4 4i  . Ecrire le nombre a sous forme trigonométrique en déduire que a est un nombre réel ¹²

négatif.

2) Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on considère les points A, B et C d’affixes a,

b et c telles que : a 4 4i  ; b 2 3i  et c 3 4i  Soit z l’affixe d’un point M du plan et z l’affixe d’un point M image de M par la rotation

R de centre C et d’angle 2

 .

a) Montrer que : z   iz 7 i. b) Vérifier que l’affixe d du point D image du point A par la rotation R est 3 5i . c) Montrer que l’ensemble des points M d’affixe ztel que : z 3 5i    z 4 4i est la

droite

 

^BC ^.

1) Résoudre dans C , l’équation : z² 10z 26 0  . 2) Dans le plan muni d’un repère orthonormé , on considère les points A ,B ,C et 

d’affixes a , b , c et  telles que : a  2 2i ; b  5 i ; c  5 i et  3. a) Montrer que :b i

a  

  b) en déduire la nature du triangle AB.

3) Soit D l’image du point C par la translation T de vecteur u d’affixe6 4i . a) Montrer que l’affixe de D est d 1 3i  . b) Montrer que :b d 2

a d 

 , en déduire que A est le milieu du segment  BD ^. Exercice (Examen National 2015 Session Annulée)

Partie I :

Soit a le nombre complexe tel que a 2  2 i 2 1) Montrer que le module du nombre complexe a est 2 2 2. 2) Vérifier que : a 2 1 cos +2isin

4 4

 

 

    3) a) En linéarisantcos² , où  est un réel, montrer que : ^{1 cos 2}^

 

^{ }^cos²^

(5)

b) Montrer que : a 4cos² +4icos sin

8 8 8

  

 .(On rappelle que ^{sin 2}

 

^{ }^{2sin .cos}^ ^⁾ c) Montrer que : 4cos cos isin

8 8 8

  est l’écriture trigonométrique de a , puis

démontrer que : ^a⁴ ^



^{2 2}^ ^{2 i}



⁴ Partie II :

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on considère les points A et  d’affixes respectives a et  telles que : a 2  2 i 2 ;   2 et R la rotation de centre A et d’angle

2

 . a) Vérifier que l’affixe b du point B image du point A par la rotation R est2i . b) Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tel que : z 2i 2  .

1) Résoudre dans C , l’équation : z² 4z 5 0  . 2) Dans le plan muni d’un repère orthonormé



O;e ;e1 2



on considère les points A , B , C ,

D et  d’affixes respectives a , b , c , d et telles que : a 2 i  ; b 2 i  ; c i ; d i et 1

  . Calculer a

b

 

  en déduire la nature du triangle AB . 3) Soit z l’affixe d’un point M du plan et z l’affixe d’un point M image de M par la

rotation R de centre  et d’angle 2

 . a) Montrer que : z   iz 1 i. b) Montrer que : ^{R A}

 

^^C^{et que :}^{R D}

 

^^B.

c) Montrer que points A ; B ; C ; D appartiennent au même cercle dont on déterminera le centre et le rayon.

1) Résoudre dans C , l’équation : z² z 2 2 0  . 2) Soit le nombre complexe u tel que :u 2 i 6

2 2

  .

a) Ecrire u sous forme trigonométrique.

b) en déduire que 6 a est un nombre réel.

3) Dans le plan muni d’un repère orthonormé



O;e ;e1 2



, on considère les points A et B d’affixes a et b telles que : a 4 4i 3  et b 8 .

(6)

Soit z l’affixe d’un point M du plan et z l’affixe d’un point M image de M par la rotation R de centre O et d’angle

3

 .

a) Ecrire zen fonction dez.

b) Vérifier que le point B est l’image du point A par la rotation R.

c) en déduire que le triangle OAB est équilatéral.

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