Algèbre Arithmétique
Denis Vekemans∗
Solution 4 D’après le théorème de Bézout,
∃u∈Z, ∃v∈Ztels queau+bv= 1.
On déduit ∃u ∈Z,∃v ∈Z tels queauc+bvc=c,maisadivise auc et commeadivise bc,adivise bvc, puis a divisec.
Solution 5 D’après le théorème de Bézout,
∃u∈Z, ∃v∈Z tels quebu+cv = 1.
Comme bdivise a,∃d∈Ztel quedb=aet commec divisea,∃e∈Z tel queec=a. De ∃u∈Z,∃v∈Ztels que bu+cv= 1, on déduit ∃u∈Z,∃v ∈Ztels que abu+acv =a, puis ∃u∈Z,∃v ∈Z,∃d∈Z,∃e∈Ztels que ecbu+dbcv=aoubc(eu+dv) =a, puisbc divisea.
Solution 6 On débute par un lemme : "soit a le P GCD de b et de c, alors tout diviseur commun à b et àc est diviseur dea".
C’est une propriété qui provient directement de la décomposition d’un entier en produit de facteurs premiers : soitpi leième nombre premier, on ab=σbQ
ipβii (avecβi∈Netσb∈ {−1,+1}) etc=σcQ
ipγii (avec γi ∈ N et σc ∈ {−1,+1}), puis a = Q
ipmin(βi i,γi) et tout diviseur commun à b et à c s’écrit sous la forme σdQ
ipδii oùδi ∈N tel queδi≤min(βi, γi) et où σd∈ {−1,+1}, puis divisea.
SoitdleP GCD de aetc. Soit d′ leP GCD de aetbc.
– On montre queddivise d′.
Par définition duP GCD,ddiviseaetddivisec, doncddiviseaetddivisebc, doncddivised′ (d’après le lemme).
∗Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais cedex ; France
1
L1 Maths - Info Algèbre 2008
– On montre queddivise d′.
Préalablement, on montre que leP GCDded′ etbest1: leP GCDded′ etbdivised′etbpar définition du P GCD, donc divise aetbcard′ divise a, donc divise leP GCD(a, b) (d’après le lemme) qui est1, donc leP GCD de d′ etbne peut être que 1.
Maintenant, par définition duP GCD,d′ divise aetd′ divisebc, doncd′ divise aetd′ divise c(d’après le théorème de Gauss qui est applicable car le P GCD de d′ et b est 1), donc d′ divise d (d’après le lemme).
Solution 10 Soitdtel queddivise2n+ 1etddivise2n+1+ 1. Alorsddivise −(2n+1+ 1) + 2(2n+ 1) = 1.
Donc le P GCD de 2n+ 1et2n+1+ 1ne peut être que1.
Solution 12 m divise(m−1)! + 1.
Sim n’est pas premier, soitdun de ses diviseurs positifs distinct de 1et de m.
Ainsi, d’une part ddivise m etd < m, donc ddivise(m−1)!. Et d’autre part,ddivise m, donc ddivise (m−1)! + 1.
De ces deux conclusions, on tire que ddivise (m−1)! + 1−(m−1)! = 1, puisd= 1, ce qui est absurde.
Solution 13 Sim n’est pas premier, soitdun de ses diviseurs positifs distinct de 1 et de m.
On a alors m=dd′ avec d′ un des diviseurs positifs dem distinct de 1et de m.
Puis,2m−1 = 2dd′ −1 = (2d−1)(2d(d′−1)+ 2d(d′−2)+. . .+ 2d+ 1).
Mais commed6= 1,2d−16= 1et commed6=m,2d−16= 2m−1. Donc2d−1 est un diviseur positif de 2m−1distinct de 1et de 2m−1, puis 2m−1 n’est pas premier, ce qui est absurde.
Solution 14 On effectue la division euclidienne du polynôme en n n3+n par le polynôme en n 2n+ 1.
On trouve un quotient égal à n22 −n4 + 58 et un reste égale à −58 . On déduit donc
−8(n3+n) + (2n+ 1)(4n2−2n+ 5) = 5.
D’après le théorème de Bézout, leP GCD de n3+net2n+ 1est donc soit1 soit5 (car il divise 5).
Premier cas : 2n+ 1est multiple de 5.
Dans ce cas,2n+ 1 = 5m avec m∈Z, mais comme un nombre impair ne peut être produit dansZ que de deux nombres impairs, on a m= 2k+ 1 avec k∈Z. Ainsi, 2n+ 1 = 10k+ 5, puis n= 5k+ 2. Ensuite, n3+n= (5k+ 2)3+ (5k+ 2) = 125k3+ 150k2+ 65k+ 10 = 5(25k3+ 30k2+ 13k+ 2) etn3+nest divisible par5.
2n+ 1et n3+n sont tous deux divisibles par5, donc le P GCD de n3+n et2n+ 1est multiple de 5, mais comme leP GCD den3+net2n+ 1est aussi diviseur de 5, leP GCD den3+net2n+ 1est égal à5.
Deuxième cas :2n+ 1n’est pas multiple de5.
Dans ce cas, 5ne peut être P GCDde 2n+ 1 (puisqu’il n’est même pas diviseur de2n+ 1) etn3+n. Il s’ensuit que le P GCD de n3+n et2n+ 1(qui ne pouvait être que1 ou 5) est1.
–2/3– Mathématiques
L1 Maths - Info Algèbre 2008
Solution 17 1.
φ(m) = #{d≤m tels que le P GCD dedetm soit 1}.
D’après le théorème de Bézout,
∃u∈Z, ∃v∈Ztels quedu+mv= 1.
On déduit quedu≡1 mod (m), puis que dest inversible (d’inversed−1 =u) dansZ/mZ.
2. φ(mn)est le nombre d’éléments inversibles deZ/mnZqui est isomorphe àZ/mZ×Z/nZ(voir exercice sur les anneaux et corps) dont le nombre d’éléments inversibles est φ(m)φ(n) (i.e. pour représenterx dans Z/mnZ, on peut le noter x¯ qui est la classe de x dans Z/mnZ, mais d’après l’isomorphisme, il est équivalent de le représenter dans Z/mZ×Z/nZ par un couple (x,b ex) où xb est la classe dex dans Z/mZet où xeest la classe de x dansZ/nZ, puis dire quex¯ est inversible d’inversex¯−1 c’est dire que (bx,x)e est inversible d’inverse(bx,x)e −1 = (xb−1,ex−1)).
3. Sim=pα11. . . pαkk, d’après la question précédente, φ(m) =φ(pα11). . . φ(pαkk).
Mais, si pest un nombre premier, on a
φ(pα) = pα
|{z}
nombre d’éléments inférieurs àpα
− ( pα−1
| {z }
nombre d’éléments de d’éléments inférieurs à pα non premiers avecpα
.
Remarque : les éléments non premiers avecpα ontp en facteur ...
Puis,
φ(pα) =pα(1− 1 p).
Et, enfin,
φ(m) =pα11. . . pαkk
| {z }
=m
(1− 1
p1). . .(1− 1 pk).
–3/3– Mathématiques
