Autres de monstrations de la loi fondamentale de l’hydrostatique
1Le début des deux premières démonstrations est exactement le même que dans le complément T02.C3 « Une démonstration de la loi fondamentale de l’hydrostatique » mais on utilise une portion de fluide non élémentaire et cependant petite. Ensuite, seuls les traitements mathématiques diffèrent. Pour la première démonstration2 on utilise une dérivée, pour la seconde un développement limité. La troisième démonstration utilise la formule du gradient.
I. Analyse des forces et de l’équilibre
Nous considérons un fluide parfait en équilibre sous l’action de la pesanteur terrestre et en équilibre thermique.
Nous étudions l’équilibre d’une petite partie de ce fluide. Dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen, cette partie est en équilibre mécanique au sein du fluide sous l’action des forces pressantes exercées par le reste du fluide et de son poids. Nous donnons à cette partie une forme parallélépipédique. Voir figure 1.3
A. Forces exercées par le reste du fluide sur cette petite partie de fluide
Le reste du fluide exerce sur chacune de ses six faces une force pressante élémentaire que nous allons calculer dans les paragraphes suivants. Le trièdre (Oxyz) est muni des vecteurs unitaires i, j, k4.
T02.C4 Figure 1 : La portion de fluide et les forces extérieures qu’elle subit.
Sur les deux faces verticales d’abscisses x et x+Δx de même aire ΔyΔz s’exercent deux forces horizontales F(x) et F(x+Δx). La force F(x) et le vecteur unitaire i sont colinéaires et de même sens tandis que la force F(x+Δx) leur est colinéaire et de sens contraire.
Sur les deux faces verticales d’abscisses y et y+Δy de même aire ΔxΔz s’exercent deux forces horizontales F(y) et F(y+Δy). La force F(y) et le vecteur unitaire j sont colinéaires et de même sens tandis que la force F(y+Δy) leur est colinéaire et de sens contraire.
Sur les deux faces horizontales de cotes z et z+Δz de même aire ΔxΔy s’exercent deux forces verticales F(z) et F(z+Δz).
La force F(z) et le vecteur unitaire k sont colinéaires et de même sens tandis que la force F(z+Δz) leur est colinéaire et de sens contraire.
De plus la partie de fluide est soumise à son poids P.
B. Équilibre de la petite partie de fluide
Dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen, cet équilibre se traduit par :
1 Voir certains aspects, conséquences, commentaires ou applications de cette loi dans le chapitre T02, § IV.
2 Voir les aides mathématiques et plus particulièrement AM03 & AM04.
3 Habituellement, on représente un vecteur-force avec son origine au point d’application de la force ; pour conserver une certaine clarté à cette figure, cette habitude n’est pas respectée ici, sauf pour le vecteur-poids.
4 Dans le texte les vecteurs sont notés par des caractères gras. Dans les équations ils sont surmontés de flèches.
( ) 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
extérieures
i F
ii F x F x x F y F y y F z F z z P
iii F x F x x i F y F y y j F z F z z P k
=
+ + + + + + + + + =
− + + − + + − + − =
C. Expression du poids de la petite partie de fluide
Quelle que soit la méthode il faut aussi exprimer le poids élémentaire du parallélépipède de fluide : P=mg= x y z g = −g x y z k
II. Méthode utilisant la fonction dérivée
A. Expression des forces pressantes exercées par le reste du fluide sur les faces d’abscisses x et x+dx
La pression est fonction du point M donc des trois variables x, y, z. Chaque face étant petite, nous considérons la pression qu’elle subit comme uniforme sur toute sa surface d’aire ΔyΔz et nous choisissons p(x, y, z) comme valeur commune pour la face dont les points ont des coordonnées égales à x, allant de y à y+Δy et de z à z+Δz. De même pour l’autre face nous choisissons p(x+Δx, y, z). En appliquant la relation entre force pressante et pression, nous obtenons :
( ) ( , , ) et ( ) ( , , )
F x =p x y z y z i F x+ = −x p x+ x y z y z i
( ) ( ) ( , , ) ( , , )
Fx =F x
+
F x+ =x p x y z −p x+ x y z y z iUn peu plus loin nous ferons tendre les dimensions de la portion vers 0 et cela effacera toute interrogation sur la valeur de la pression choisie dans le calcul de la force pressante.
En projetant orthogonalement l’égalité vectorielle (iii) sur l’axe des abscisses, nous obtenons :
( ) ( ) 0 ou ( ) ( )
F x −F x+ =x F x =F x+ x
L’aire des deux surfaces est la même ΔyΔz donc l’égalité des forces entraîne l’égalité des pressions : ( , , ) ( , , )
p x+ x y z = p x y z
Cette égalité est valable pour toutes les valeurs de x et Δx. Donc la pression ne dépend en fait pas de l’abscisse x.
B. Expression des forces pressantes exercées par le reste du fluide sur les faces d’ordonnées y et y+dy La situation est semblable pour les faces d’ordonnées y et y+Δy :
( ) ( ) ( , , ) ( , , )
Fy =F y +F y+ =y p x y z −p x y+ y z x z j
Donc la pression ne dépend en fait pas de l’ordonnée y. Nous avons donc montré que la pression est uniforme dans tout plan horizontal. Elle n’est fonction que de la cote z.
C. Expression des forces pressantes exercées par le reste du fluide sur les faces de cotes z et z + dz La somme vectorielle des deux forces verticales donne :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Fz =F z +F z+ =z p z x y k−p z+ z x z k = − p z+ −z p z x y k
Nous allons diviser cette force par le volume de la partie de fluide pour faire apparaître le taux d’accroissement de la pression :
1 ( ) ( )
( ) ( ) p z z p z
F z F z z k
x y z z
+ − + + = −
Et maintenant nous prenons la limite de cette expression quand Δz tend vers 0 :
0
lim 1 ( ) ( ) ( )
z
F z F z z dp z k
x y z dz
→ + + = −
Ce terme représente la force pressante verticale par unité de volume.
Pour étudier l’équilibre vertical, nous projetons orthogonalement l’égalité vectorielle (iii) du § I.B sur l’axe des z :
( ) ( ) 0
F z −F z+ − =z P
En divisant cette relation par le volume de la petite partie de fluide, nous obtenons :
( ) ( ) ( ) ( )
0 d'où 0
F z F z z P F z F z z
g
x y z x y z x y z
− + − +
= − =
−
En faisant tendre Δz vers 0, la relation d’équilibre de l’élément fluide projetée sur l’axe des z devient :
( ) 0 ou ( ) ou ( )
dp dp
z g z g dp z gdz
dz dz
− − = = − = −
Nous retrouvons la loi fondamentale de l’hydrostatique.
III. Méthode du développement limité
A. Forces pressantes exercées par le fluide sur les faces d’abscisses x et x+dx Nous allons reprendre l’expression établie § I.B :
( ) ( ) ( , , ) ( , , )
Fx =F x +F x+ =x − p x+ x y z −p x y z y z i
Et nous allons faire un développement limité à l’ordre 1 de p(x+Δx, y, z). Rappelons la formule de Taylor :
( ) ( )
0( )(
0 0) (
0)
0 1
ordre ordre reste
f X f X df X X X X X
dX
= + − +
o
−Rappelons aussi que la notation o (X-X0) signifie que ce terme tend vers 0 plus vite que (X-X0) (donc quand on fait tendre X vers X0).
Posons x+Δx = X et x = X0 ; alors Δx = X – X0 :
( )
( )
( , , ) ( , , ) , , ( )
, , ( )
x
p x x y z p x y z p x y z x o x x
F p x y z x o x y z i x
+ = + +
= − +
La pression étant une fonction de trois variables la dérivée (appelée dérivée partielle) par rapport à x se note avec des ∂ (lire d ronds). Les variables y et z ne varient en fait pas ici donc on se contente de les répéter.
Divisons les deux membres de l’équation par ΔxΔyΔz :
Nous faisons maintenant tendre Δx vers 0. Le reste o(Δx) tend vers 0. La somme vectorielle des deux forces s’écrit :
0
1 lim x ( , , )
x
F p
x y z i y z → x x
= −
B. Expression des forces pressantes exercées par le fluide sur les faces d’ordonnées y et y+dy En procédant comme précédemment, la somme vectorielle de ces forces pressantes s’écrit :
0
1 lim y ( , , )
y
F p
x y z j x z → y y
= −
C. Expression des forces pressantes exercées par le fluide sur les faces de cotes z et z+dz En procédant comme précédemment nous obtenons :
0
1 lim z ( , , )
z
F p
x y z k x y → z z
= −
D. Expression du poids volumique Le poids par unité de volume s’écrit :
P g g k
x y z = = −
E. Équilibre de l’élément fluide de volume dxdydz
Dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen, l’équilibre mécanique se traduit par :
( , , ) ( , , ) ( , , ) 0
( , , ) ( , , ) ( , , ) 0
p p p
x y z i x y z j x y z k gk
x y z
p p p
x y z i x y z j x y z g k
x y z
− − − − =
+ + + =
Nous projetons cette dernière égalité vectorielle orthogonalement sur les trois axes :
(1) ( , , ) 0
(2) ( , , ) 0
(3) ( , , ) 0
p x y z x
p x y z grad p g
y
p x y z g z
=
= =
+ =
La première équation établit que la pression dans un fluide parfait en équilibre sous l’action du champ de pesanteur terrestre ne dépend pas de l’abscisse x. En effet, par rapport à l’abscisse x, la pression p est une constante car cette dérivée est nulle. La deuxième établit de même que la pression ne dépend pas de l’ordonnée y. C’est-à-dire que la pression est uniforme dans chaque plan horizontal.
La pression est donc fonction d’une seule variable, la cote z. La dérivée partielle par rapport à z est en fait une simple dérivée. Nous retrouvons la loi fondamentale de l’hydrostatique :
( ) ou ( )
dp z g dp z gdz
dz
= − = −
IV. Par la formule du gradient
5T02.C4 Figure 2 : Une partie quelconque de fluide, sa surface, son volume.
Une partie quelconque6 de fluide est soumise aux forces pressantes exercées par le reste du fluide et à son poids.
On note next le vecteur unitaire, orienté vers l’extérieur de la partie de fluide, perpendiculaire à l’élément de surface dS(M) entourant un point M. L’équilibre de la partie de fluide entraîne que la somme vectorielle des forces extérieures appliquées est nulle :
( ) ( ) 0
S−p M dS M next+ VdV g=
S désigne la surface de la partie de fluide et V son volume. La première intégrale donne la somme vectorielle des forces pressantes7 s’exerçant sur la partie de fluide ; La seconde donne le vecteur-poids de cette partie de fluide.
La « formule du gradient » permet de transformer l’intégrale de surface en une intégrale de volume :
( ) ( ) ( )
S p M dS M next = V grad p M dV
En remplaçant dans la condition d’équilibre, on écrit :
( ) 0
( )
V V
V V
grad p M dV dV g grad p M dV dV g
− + =
=
Cette relation est valable quel que soit le volume V, donc les fonctions à intégrer doivent être égales : ( )
grad p M =g
On a obtenu finalement la loi fondamentale de l’hydrostatique sous sa forme vectorielle. Le gradient de pression est égal au vecteur-poids volumique du fluide. Cette égalité, parce qu’elle est vectorielle, est indépendante des coordonnées choisies, c’est son premier intérêt. Le second apparaît si d’autres forces extérieures que le poids sont appliquées au fluide. L’égalité se transforme immédiatement en ajoutant au poids volumique les autres forces volumiques. Par exemple dans un référentiel non galiléen, on ajoute les forces volumiques d’inertie.
Les deux premières méthodes ainsi que celle du complément 3 partent d’un découpage de la surface d’un élément fluide suivi d’une analyse des forces pressantes liées à ce découpage. La méthode du gradient procède de façon synthétique et immédiate à partir de la somme des forces pressantes.
5 Cette méthode, plus rapide mais aussi plus abstraite, suppose que les notions d’intégrales multiples et de gradient sont déjà maîtrisées.
6 En fait, ce volume ne peut pas être tout à fait quelconque, il doit vérifier quelques propriétés mathématiques pour que la formule du gradient s’applique. Par exemple, le volume engendré par la rotation d’un huit ne saurait convenir. Mais cela n’enlève rien à cette démonstration.
7 Voir le complément T02.C2 « Pression locale ».
