III- Eets des forces d'inertie dans le référentiel terrestre

Référentiels non galiléens

Les points du cours à connaître

I- Référentiel en translation par rapport à un référentiel galiléen

un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel le principe d'inertie s'applique : un objet isolé (c'est à dire ne subissant aucune force) suit un mouvement rectiligne uniforme.

Dans un référentiel galiléen R, le principe fondamental de la dynamique s'applique : m~a_/R(M) = Xf~→M

Référentiel galiléen s'y retrouver

Le référentiel de Copernic : dans lequel le centre du système solaire et trois étoiles loin- taines sont xes

Galiléen avec une excellente approximation.

Le référentiel héliocentrique a pour point xe le centre du Soleil.

Galiléen avec une excellente approximation.

Le référentiel géocentrique : dans lequel le centre de la Terre et trois étoiles lointaines sont xes.

Il est en translation elliptique par rapport au référentiel de Copernic.

Galiléen pour des expériences de durées courtes devant 1 an. Le référentiel terrestre : lié à la Terre.

Il est en rotation uniforme autour d'un axe xe du référentiel géocentrique.

Galiléen pour des expériences de durées courtes devant 24 h. Exemples de référentiels s'y retrouver

1. Lois de composition des vitesses et des accélérations

La gure 1représente

• R est le référentiel galiléen muni d'un repère(O, ~u_x, ~u_y, ~u_z) et d'une horloge ;

• R⁰ est un autre référentiel muni d'un repère (O⁰, ~u_x⁰, ~u_y⁰, ~u_z⁰) et d'une autre horloge.

Deux référentiels en translation schéma

Si l'on néglige les eets relativistes, le temps s'écoule de la même façon dans les deux référentiels.

D'autre part, on suppose queR⁰est en translation par rapport àR. Aussi, on peut choisir







~u_x⁰ =~u_x

~

u_y⁰ =~u_y

~

u_z⁰ =~u_z Un point matériel en M est repéré par

Position du problème s'y retrouver

Figure 1 Deux référentiels en translation

• −−→

OM(t) = x(t)~u_x+y(t)~u_y +z(t)~u_z dans R;

• et −−→

O⁰M(t) =x⁰(t)~ux+y⁰(t)~uy +z⁰(t)~uz dans R⁰.

La vitesse du point matériel enM est

• ~v_/R(M) =_d^−−→_OM(t)

dt

/R = ˙x(t) ~u_x+ ˙y(t) ~u_y+ ˙z(t) ~u_z dans R;

• et~v_/R⁰(M) =

d−−−→ O⁰M(t)

dt

/R⁰

= ˙x⁰(t) ~u_x+ ˙y⁰(t) ~u_y+ ˙z⁰(t) ~u_z dans R⁰. Aussi,

~

v_/R(M) = d−−→

OO⁰(t) dt

!

/R

+ d−−→

O⁰M(t) dt

!

/R

⇒~v_/R(M) =~v_/R(O⁰) +

d (x⁰(t) ~u_x+y⁰(t)~u_y+z⁰(t) ~u_z) dt

/R

⇒~v_/R(M) =~v_/R(O⁰) + x˙⁰(t) ~u_x+ ˙y⁰(t)~u_y+ ˙z⁰(t) ~u_z

⇒

La vitesse~v_/R(M) du point M dans le référentiel R est reliée à la vitesse ~v_/R⁰(M) du point M dans le référentiel R⁰ par

~v_/R(M) =~v_/R⁰(M) +~v_e

où~ve est la vitesse d'entraînement du référentielR⁰ par rapport à R.

~ve est la vitesse, dansR, du point coïncident P, qui se trouve au même endroit que M mais qui est xe dans R⁰.

1 Loi de composition des vitesses pour deux référentiels en translationthéorème

si un train (assimilé au référentiel R⁰ se déplace par rapport au sol (le référentiel R) et qu'on y lance une balle (le point matériel M), la trace laissée sur le sol à l'instant t est le point coïncident P.

Exemple de point coïncident s'y retrouver

Le point coïncident change : à un instant t⁰ ultérieur, le pointP est diérent du pointM. On peut alors dénir un nouveau point coïncident P⁰.

remarque

L'accélération du point matériel en M est

• ~a_/R(M) = _d~v

/R(M)(t) dt

/R

= ¨x(t) ~u_x+ ¨y(t)~u_y+ ¨z(t)~u_z dans R;

• et~a_/R⁰(M) =_d~v

/R0(M) dt

/R⁰ = ¨x⁰(t) ~u_x+ ¨y⁰(t) ~u_y+ ¨z⁰(t) ~u_z dans R⁰. Or~v_/R(M) =~v_/R⁰(M) +~v_e ⇒

~a_/R(M) =

d~v_/R⁰(M) dt

/R

+ d~ve

dt

/R

⇒~a_/R(M) = d ˙x⁰(t) ~u_x+ ˙y⁰(t) ~u_y+ ˙z⁰(t) ~u_z dt

!

/R

+~a_e

⇒~a_/R(M) = ¨x⁰(t) ~u_x+ ¨y⁰(t) ~u_y+ ¨z⁰(t) ~u_z +~a_e

⇒

L'accélération ~a_/R(M) du point M dans le référentiel R est reliée à l'accélération

~a_/R⁰(M) du point M dans le référentielR⁰ par

~a/R(M) =~a/R⁰(M) +~ae

où~a_e est l'accélération d'entraînement du référentiel R⁰ par rapport à R.

~a_e est l'accélération, dansR, du point coïncidentP, qui se trouve au même endroit que M mais qui est xe dans R⁰.

2 Loi de composition des accélérations pour deux référentiels en translation

théorème

2. Force d'inertie d'entraînement

En partant du principe fondamental de la dynamique dansR m~a_/R(M) =Xf~→M =m~a_/R⁰(M) +m~a_e

⇒

3 Expression de la force d'inertie d'entraînement : ^théorème

dans R⁰ non galiléen, il faut ajouter aux forces F~ la force d'inertie d'entraînement : f~_ie =−m.~a_e

3. Exemples de translations

Si R⁰ est en translation rectiligne uniforme par rapport à R, la vitesse d'entraînement est partout la même et constante au cours du temps : ~v_e(M) =~v₀ =−−→

cste

~v_/R(M) =~v_/R⁰(M) +~v₀ Loi galiléenne de composition des vitesses s'y retrouver

Si R⁰ est en translation rectiligne uniforme dans R galiléen alors il n'y a pas de forces d'inertie à considérer dans R⁰. En eet,~v_e =−−→

cste⇒~a_e =~0. ⇒

Tout référentiel R⁰ en translation rectiligne uniforme par rapport à un autre référentiel galiléenR est lui même galiléen.

4 Ensemble des référentiels galiléensthéorème

Si~a_e =a₀~u_x, alors

f~_ie =−m.~a_e=−m.a₀~u_x =−−−→

grad (m.a₀x)

⇒

Dans le cas d'une translation uniformément accélérée~a_e =a₀~u_x, alors la force d'inertie d'entraînement dérive de l'énergie potentielle E_p =m a₀x.

5 Energie potentielle de la force d'inertie d'entraînement dans le cas d'une translation uniformément accélérée ^théorème

La gure 2 représente une voiture (le référentiel R⁰) qui est en translation rectiligne dans le référentiel (R) du sol (~v_e = +v(t)~u_x), mais qui freine :~a_e = −a ~u_x. La force d'inertie d'entraînement "pousse" les passagers vers l'avant du véhicule.

Voiture qui freine ^schéma

La gure3représente une cabine (le référentielR⁰) de grande-roue (de rayonR₀) qui est en translation circulaire uniforme dans le référentiel (R) du sol (~v_e= +v₀~u_θ) :~a_e=−_R^v20

0 ~u_r. Grande roue schéma

La gure 4 représente le référentiel géocentrique est en translation par rapport au réfé- rentiel héliocentrique

référentiel géocentrique schéma

Figure 2 Voiture qui freine

Figure 3 Grande roue

Figure 4 référentiel géocentrique

On s'intéresse à la Terre de centre O seule dans l'univers avec un astre A (ce peut être la Lune ou le Soleil) de masse M_A à la distance d₀ deO.

En utilisant le fait que O est xe dans le référentiel géocentrique RG, déterminer l'accélération d'entraînement~ae de RG dans un référentiel galiléen.

On dénit la force de marée comme la somme de l'attraction gravitationnelle de Aet de la force d'inertie d'entraînement exercée sur une particule de masse m à la surface de la Terre (de l'eau par exemple).

Montrer que l'eet de la force de marée est de générer deux "bourrelets" d'eau à la surface du globe terrestre. En déduire qu'il existe environ deux marées hautes par 24 heures.

6 Forces de marées exercice

O est xe dans le référentiel géocentriqueR_G, donc la somme des forces est nulles :

−GMAMT

d²₀ ~u_AO −M_T~a_e=~0⇒~a_e=−GMA

d²₀ ~u_AO

La force de marée au point P est : f~_m =−GM_Am

AP² ~u_AP −m ~a_e=−GM_Am

AP² ~u_AP +GM_Am d²₀ ~u_AO Si P est plus près de A que O, f~_m est vers A et crée un bourrelet.

Si P est plus loin de A que O, f~_m est opposé à la direction de A et crée un bourrelet.

Comme la Terre tourne en 24 heures dans le référentiel géocentrique, il existe environ (car il faut que l'astre A soit xe,) deux marées hautes par 24 heures.

II- Référentiel en rotation par rapport à un référentiel galiléen

1. Lois de composition des vitesses et des accélérations

La gure 5représente

• R est le référentiel galiléen muni d'un repère(O, ~u_x, ~u_y, ~u_z) et d'une horloge ;

• R⁰ est un autre référentiel muni d'un repère (O⁰, ~ux⁰, ~uy⁰, ~uz⁰) et d'une autre horloge.

Deux référentiels en rotation schéma

Figure 5 Deux référentiels en rotation

Si l'on néglige les eets relativistes, le temps s'écoule de la même façon dans les deux référentiels.

D'autre part, on suppose que R⁰ est en rotation par rapport à un axe xe dansR. Aussi, on peut choisir :

O⁰ en O et ~u_z⁰ =~u_z Ω = Ω~ _z~u_z avec Ω_z = ^dθ_dt Un point matériel en M est repéré par

• −−→

OM =x ~u_x+y ~u_y +z ~u_z dans R;

• et −−→

O⁰M =x⁰~u_x⁰+y⁰~u_y⁰ +z ~u_z dans R⁰. Position du problème s'y retrouver

La vitesse du point matériel enM est

• ~v_/R(M) =

d−−→

OM dt

/R = ˙x ~u_x+ ˙y ~u_y+ ˙z ~u_z dans R;

• et~v_/R⁰(M) =

d−−−→ O⁰M(t)

dt

/R⁰

= ˙x⁰~u_x⁰ + ˙y⁰~u_y⁰+ ˙z ~u_z dans R⁰. Aussi,

~

v_/R(M) = d−−→

O⁰M dt

!

/R

=

d (x⁰~u_x⁰ +y⁰~u_y⁰ +z ~u_z) dt

/R

⇒~v_/R(M) = x˙⁰~u_x⁰ + ˙y⁰~u_y⁰ + ˙z⁰~u_z +

x⁰ d~u_x⁰

dt +y⁰ d~u_y⁰ dt

or

~

u_x⁰ = cosθ~u_x+ sinθ~u_y

~

u_y⁰ =−sinθ~u_x+ cosθ~u_y

⇒ ( _d~u

x0

dt = Ω_z(−sinθ~u_x+ cosθ~u_y) = Ω_z~u_y⁰

d~u_y0

dt = Ωz(−cosθ~ux−sinθ~uy) = −Ωz~ux⁰

7 Loi de composition des vitesses pour deux référentiels en rotation théorème

⇒~v_/R(M) =~v_/R⁰(M) + Ω_z(x⁰~u_y⁰ −y⁰~u_x⁰) =~v_/R⁰(M) +Ω~ ∧−−→

OM

⇒

La vitesse~v_/R(M) du point M dans le référentiel R est reliée à la vitesse ~v_/R⁰(M) du point M dans le référentiel R⁰ par

~v_/R(M) =~v_/R⁰(M) +~v_e

où~v_e est la vitesse d'entraînement, c'est-à-dire la vitesse du point coïncident.

L'accélération du point matériel en M est

• ~a_/R(M) = _d~v

/R(M) dt

/R

= ¨x ~u_x+ ¨y ~u_y + ¨z ~u_z dans R;

• et~a_/R⁰(M) =_d~v

/R0(M) dt

/R⁰

= ¨x⁰~u_x⁰ + ¨y⁰~u_y⁰ + ¨z ~u_z dans R⁰. Or~v_/R(M) = x˙⁰~u_x⁰ + ˙y⁰~u_y⁰ + ˙z ~u_z

+ Ω_z(x⁰~u_y⁰ −y⁰~u_x⁰)⇒

~a_/R(M) = x¨⁰~ux⁰ + ¨y⁰~uy⁰ + ¨z ~uz

+

x˙^{0 d~u}_dt^x0 + ˙y^{0 d~u}_dt^y0 + ˙Ω_z(x⁰~u_y⁰ −y⁰~u_x⁰)

+Ωz x˙⁰~uy⁰ −y˙⁰~ux⁰

+ Ωz

x^{0 d~}_dt^uy0 −y^{0 d~u}_dt^x0

~a_/R(M) = ~a_/R⁰(M) + x˙⁰Ω_z~u_y⁰ −y˙⁰Ω_z~u_x⁰ + ˙Ω_z(x⁰~u_y⁰ −y⁰~u_x⁰)

+Ωz x˙⁰~uy⁰−y˙⁰~ux⁰

+ Ωz(−x⁰Ωz~ux⁰ −y⁰Ωz~uy⁰) Si on pose

~a_C = 2Ω~_R⁰_/R∧~v_/R⁰(M) = 2 Ω_z x˙⁰~u_y⁰ −y˙⁰~u_x⁰

⇒

L'accélération ~a_/R(M) du point M dans le référentiel R est reliée à l'accélération

~a_/R⁰(M) du point M dans le référentielR⁰ par

~a_/R(M) =~a_/R⁰ +~a_e+~a_C(M) où l'accélération de Coriolis est

~a_C = 2Ω~_R⁰_/R∧~v_/R⁰(M)

et l'accélération d'entraînement est l'accélération du point coïncident :

~a_e=~a_/R(P)

8 Loi de composition des accélérations pour deux référentiels en rotation

théorème

Puisque dans R galiléen

~a_M/R=~a_M/R⁰+~a_C(M) +~a_e(M) = 1 m

Xf~_→M

9 Principe fondamental de la dynamique dans un référentiel non galiléen en rotation : ^théorème

donc

m~a_M/R⁰ =X

f~_→M −m ~a_C(M)−m ~a_e(M)

⇒

dans R⁰ non galiléen, il faut ajouter aux forces f~→M la force d'inertie d'entraînement : f~_ie =−m ~a_e =−m ~a_/R(P)

et la force d'inertie de Coriolis :

f~_iC =−m ~a_C =−2m ~Ω_R⁰_/R∧~v_M/R⁰

La gure 6 représente On s'intéresse à une tige (le référentiel R⁰), qui fait à l'instant t un angle θ(t) avec l'axe Ox xe dans le référentiel R du sol supposé galiléen. Cette tige tourne autour de l'axe Oz avec une vitesse angulaire θ˙. Une perle est assimilée à un point matériel M sur cette tige à une distance r(t)de O à l'instant t.

Tige tournant par rapport au sol schéma

Figure 6 Tige tournant par rapport au sol

Déterminer le mouvement du point coïncident P dans R et celui de M dans R⁰. En déduire dans R⁰ la vitesse du point M et dans R la vitesse du point coïncident P et celle du point M. Vérier la loi de composition des vitesses.

Déterminer dans R⁰ l'accélération du point M et dans R l'accélération du point coïn- cident P et celle du point M. Vérier la loi de composition des accélérations.

10 Tige tournant par rapport au sol exercice

Le point M est en mouvement rectiligne dans R⁰ selon la tige. Le point coïncident est xe dans R⁰, à la distance r de O. Il a donc un mouvement circulaire avec la vitesse angulaire θ˙. ~v_/R⁰(M) = ˙r~u_r. et ~v_/R(P) = rθ~˙u_θ. DansR, la vitesse de M est

~

v_/R(M) = ˙r~u_r+rθ~˙u_θ+ ˙z~u_z = ˙r~u_r+rθ~˙u_θ =~v_/R⁰(M) +~v_/R(P) On a bien la loi de composition des vitesses.

~v_/R⁰(M) = ˙r~u_r ⇒~a_/R⁰(M) = ¨r~u_r D'autre part P en mouvement circulaire dansR

~v_/R(P) =rθ~˙u_θ ⇒~a_/R(P) = +rθ~¨u_θ−rθ˙²~u_r

Dans R, l'accélération de M se calcule directement :

~a_/R(M) = ¨r~u_r+ ˙rθ~˙u_θ+ ˙rθ~˙u_θ+rθ~¨u_θ−rθ˙²~u_r+ ¨z~u_z = (¨r~u_r) +

−rθ˙²~u_r+rθ~¨u_θ +

2 ˙rθ~˙u_θ On a bien la loi de composition des accélérations car :

~a_C = 2.~Ω_R⁰_/R∧~v_/R⁰(M) = 2.θ~˙u_z∧~v_/R⁰(M) = 2.θ~˙u_z ∧r~˙u_r = 2 ˙rθ~˙u_θ 2. Force d'inertie d'entraînement axifuge

On reprend les calculs précédents avecθ˙=ω et θ¨= 0. On trouve

~a_/R(P) = +rθ~¨u_θ−rθ˙²~u_r =−rθ˙²~u_r soit f~ie =m r ω²~ur. ⇒

Dans le cas d'un référentielR⁰qui tourne à une vitesse angulaireωconstante par rapport à un référentiel galiléen R autour de son axe xe Oz, la force d'inertie est axifuge (H est le projeté de M sur l'axe de rotation) :

f~_ie =m ω²−−→

HM =m r ω²~u_r en coordonnées cylindriques d'axeOz.

11 Force d'inertie d'entraînement dans le cas d'une rotation à vitesse angu- laire constante^théorème

Sif~_ie =m r ω²~u_r, alors

f~_ie =m.r.ω²~u_r =−−−→

grad(E_p) = −dE_p dr ~u_r

⇔dE_p =−m r ω² dr qu'on peut intégrer en E_p =−1

2m r²ω²

⇒

Dans le cas d'un référentielR⁰qui tourne à une vitesse angulaireωconstante par rapport à un référentiel galiléen R autour de son axe xe Oz, la force d'inertie d'entraînement dérive de l'énergie potentielle Ep=−¹₂m r²ω² en coordonnées cylindriques d'axeOz. 12 Energie potentielle de la force d'inertie d'entraînement dans le cas d'une rotation à vitesse angulaire constante théorème

3. Force d'inertie de Coriolis

La force de Coriolis s'appliquant toujours orthogonalement à la vitesse, cette force ne travaille pas.

La force d'inertie de Coriolis n'existe que :

• si le référentiel non galiléen R⁰ est en rotation par rapport à R galiléen Propriétés de la force d'inertie de Coriolis s'y retrouver

• et si le point matériel M se déplace dans le référentiel non galiléen R⁰.

On s'intéresse à un manège qui tourne à une vitesse angulaire ω par rapport à un réfé- rentiel galiléen autour de son axe xe Oz vertical.

Montrer que la force d'inertie de Coriolis ressentie par un point matériel de masse m qui se déplace avec une vitesse ~v horizontale tend à faire tourner le point matériel vers la droite si le manège tourne dans le sens trigonométrique, vers la gauche si le manège tourne dans le sens horaire.

13 Calcul de la force d'inertie de Coriolis sur un manège : ^exercice

Si~v = +v ~u_x etΩ = +Ω~ ~u_z, alors la force d'inertie de Coriolis est :

f~_iC =−2m ~Ω_R⁰_/R∧~v_M/R⁰ =−2mΩ~u_z ∧+v ~u_x =−2m vΩ~u_y qui est suivant −~u_y donc vers la droite.

III- Eets des forces d'inertie dans le référentiel terrestre

1. Eets de la force d'inertie d'entraînement dans le référentiel terrestre

La gure 7représente Le repère (O, ~e_x, ~e_y, ~e_z) est xe dans le référentiel géocentrique.

Le référentiel terrestre tourne autour de l'axe polaireOzavec un vecteur rotation~Ω = Ω~e_z. Référentiels terrestre et géocentrique schéma

Figure 7 Référentiels terrestre et géocentrique

On peut supposer le référentiel géocentrique galiléen. Par rapport à celui-ci, le référentiel terrestre est en rotation autour de l'axe polaire, avec un vecteur rotation Ω = _24h^2π~uz, où

~

uz est orienté du Pôle Sud vers le Pôle Nord.

Soit un point à la surface de la Terre, de coordonnées dans le repère sphérique de centre O, le centre de la Terre : r =R_T (le rayon de la Terre), θ = ^π₂ −λ (λ est la latitude) et ϕ, la longitude.

Montrer que la force d'inertie d'entraînement ressentie par un point matériel de masse m en ce point est f~_ie =m ω²R_T cosλ (cosλ ~e_r−sinλ ~e_θ).

14 Calcul de la force d'inertie d'entraînement à la surface de la Terre : exercice

La force d'inertie d'entraînement ressentie par un point matériel de masse men ce point est f~_ie =m ω²−−→

HM Or

−−→HM =HM

−−→HM

HM =RT cosλ

−−→HM

HM =RT cosλ(cosλ ~er−sinλ ~eθ) (cqfd).

On dénit le poids comme la somme de deux forces :

- l'attraction gravitationnelle exercée par la Terre sur l'objetf~_G; - la force d'inertie d'entraînement due à la rotation de la Terref~_ie. Le poids : dénition

La gure 8 représente f~_G =−G^{m M}_R3^T T

−→OP etf~_ie =mΩ²−−→

HP. La direction indiquée par un l à plomb est celle de ~g. Elle ne passe pas a priori parO.

Direction du poids schéma

La force d'inertie d'entraînement est la plus grande à l'équateur, là où l'on est le plus éloigné de l'axe de rotation. C'est donc à l'équateur que le poids d'un objet est le plus petit, et aux pôle qu'il est le plus grand.

De la même façon, plus l'altitude est élevée, plus l'attraction gravitationnelle est faible, et plus la force d'inertie est forte : un objet est moins lourd en altitude.

Inhomogénéités du champ de pesanteur à la surface de la Terre : s'y retrouver

2. Eets de la force d'inertie de Coriolis dans le référentiel terrestre

Figure 8 Direction du poids

Foucault met au point au XIXième siècle un pendule qui oscille susamment longtemps pour qu'on ait le temps de voir son plan d'oscillation tourner dans le référentiel terrestre.

Le pendule de Foucault photo

On peut supposer le référentiel géocentrique galiléen. On s'intéresse à un pendule simple très long oscillant sans frottement accroché au Pôle Nord.

Rappeler son mouvement dans le référentiel géocentrique. En déduire le mouvement de son plan d'oscillation dans le référentiel terrestre.

En supposant que la masse accrochée au pendule se déplace dans un plan horizontal, déterminer le mouvement de son plan d'oscillation dans le référentiel terrestre.

15 Le pendule de Foucault au Pôle Nord exercice

Dans le référentiel géocentrique, galiléen, mouvement d'oscillation dans un plan xe. Comme la Terre tourne en 24 h, le plan d'oscillation du pendule tourne aussi en 24 h dans le référentiel terrestre.

Dans le référentiel terrestre, il faut prendre en compte la force d'inertie de Coriolis, comme dans un manège qui tourne en 24 h. Si ~v = +v ~u_x et Ω = +Ω~ ~u_z, alors la force d'inertie de Coriolis est :

f~_iC =−2m ~Ω_R⁰_/R∧~v_M/R⁰ =−2mΩ~u_z ∧+v ~u_x =−2m vΩ~u_y

qui est suivant −~u_y donc vers la droite. Le plan d'oscillation du pendule tourne donc vers la droite dans le référentiel terrestre.

Un point matériel de masse m est lâché en altitude sur l'équateur, sans vitesse initiale dans le référentiel terrestre R⁰. On néglige les frottements.

Montrer que le mobile est dévié vers l'est lors de sa chute en étudiant le mouvement : dans le référentiel géocentrique

dans le référentiel terrestre.

16 La déviation vers l'est à l'équateur exercice

Dans le référentiel géocentrique, il s'agit d'une chute libre.

La vitesse horizontale du mobile se conserve donc. Or, la vitesse initiale dans le référentiel géocentrique R supposée galiléen est non nulle et plus importante que celle du sol (en B), plus proche de l'axe de rotation.

Dans le référentiel terrestre, si on suppose que la vitesse est principalement verticale : ~v = v_x(t)~e_x. On intègre m ~a=−m ~e_x−2 Ωv_x~e_y :

v_x(t) =−g t et v_y = 2 Ωg t >0: déviation vers l'est.

La force d'inertie de Coriolis :

• dévie vers la droite un objet qui se déplace horizontalement dans l'hémisphère nord ;

• dévie vers la gauche un objet qui se déplace horizontalement dans l'hémisphère sud ;

• dévie vers l'est un objet qui se déplace verticalement vers le bas.

Eets de la force d'inertie de Coriolis dans le référentiel terrestre à retenir

Exercice traité en n de cours

exo 8.1) La pesanteur articielle dans le vaisseau de "2001 - l'Odyssée de l'Espace"

A gauche : ache du lm où l'on voit le vaisseau spatial et schéma (à droite) du vaisseau.

Dans le lm "2001 l'odyssée de l'espace" de Stanley Kubrick, un vaisseau spatial constitué d'un tore de rayonRtourne autour de son axeOzavec une vitesse angulaireΩ =~ ω.~ezconstante dans un référentiel galiléen.

1) Alors qu'ils sont loin de toute planète, les astronautes vivent dans le tore comme sur Terre : ils sont soumis à une gravité articielle. Evaluer les valeurs numériques deRet deωpour que les astronautes subissent une gravité articielle de valeurg= 9,81 m·s⁻², à10% près entre les pieds et la tête.

2) Dans une des scènes du lm, un astronaute (Poole) fait un jogging dans le tore. Expliquer pourquoi il peut être très fatigant pour Poole de courir dans la station spatiale (on choisira des valeurs numériques pour illustrer le raisonnement). Le sens choisi pour faire le footing est-il important ?

1) Force d'entraînement

Dans le tore, il y a la force d'inertie d'entraînement qui vautm R ω². On cherche donc R ω² =g, avec

δR

R = 10%. On pourra prendreδR≈1,75 m(la distance entre les pieds et la tête). D'oùR= 17,5 m. Ainsi ω=q

9,81

17,5 = 0,75 rad·s⁻¹, soit une période de rotation de8 s. 2) Force de Coriolis

Poole se déplace dans le vaisseau : il est soumis à la force d'inertie de Coriolis f~_iC=−2m ~Ω∧~v=−2m ω ~e_z∧v_θ~e_θ= 2m ω v_θ~e_r

Si v_θ>0, il semble alors plus lourd, comme soumis à une pesanteur g+δgavec δg= 2.ω.v_θ

Si v= 10 km·h⁻¹,δg= 2×0,56×_3,6¹⁰ = 3,1 m·s⁻²: il pèse 30%plus lourd !

Techniques à maîtriser

I- Eet des forces d'inertie d'entraînement dans un référentiel en translation par rapport à un référentiel galiléen

Relier les lois de composition des vitesses (transformation de Galilée) dans le cas d'un référentiel en translation rectiligne uniforme par rapport à un autre à la relation de Chasles et au caractère supposé absolu du temps.

Utiliser le point coïncident pour exprimer la vitesse d'entraînement et l'accélération d'entraînement dans le cas d'un référentiel en translation par rapport à un autre.

Dans le cas d'un référentiel en translation par rapport à un référentiel galiléen, déterminer la force d'inertie d'entraînement. Appliquer la loi de la quantité de mouvement, la loi du moment cinétique et la loi de l'énergie cinétique dans un référentiel non galiléen en translation par rapport à un référentiel galiléen.

ce qu'il faut savoir faire capacités

dansR⁰ non galiléen, il faut ajouter aux forcesF~ la force d'inertie d'entraînement : f~_ie=−m.~ae(M)

et la force d'inertie de Coriolis :

f~_iC =−m.~a_C(M) =−2.m.~Ω_R0/R∧~v_M/R0

A) Principe fondamental de la dynamique et théorème du moment cinétique dans un référentiel non galiléen :méthode

Dans le cas d'une translation uniformément accélérée~a_e=a₀~u_x, alors la force d'inertie d'entraînement dérive de l'énergie potentielleE_p=m a₀x.

B) Application de théorèmes énergétiques dans un référentiel non galiléen en translation par rapport à un référentiel galiléen : méthode

8.1.1) Pendule dans un ascenseur

Dans le référentiel terrestre R1 (supposé galiléen), un ascenseur (assimilé à un solide auquel on attache le référentielR2), a un mouvement de translation rectiligne vertical.

Un pendule simple constitué d'un l sans masse et d'un point matériel M de massem est suspendu enO dans l'ascenseur. Sa longueur estl=OM.θ est l'angle que fait le l avec la verticale.

L'accélération du champ de pesanteur est~g=−g.~uz.

1) Déterminer la périodeT des petites oscillations du pendule dans les cas suivants : 1.a) L'ascenseur est immobile ;

1.b) L'ascenseur commence à monter : son accélération dansR1est~a= +a.~uz; 1.c) L'ascenseur commence à descendre : son accélération dansR₁est~a=−a.~u_z.

1) La périodeT des petites oscillations se trouve en écrivant l'équation diérentielle suivie parθ: θ¨+^(g−az_l^).sinθ = 0, soit T = 2.π.q

l g+az.

1.a) L'ascenseur est immobile :a_z= 0⇒T = 2.π.q

l g. 1.b) L'ascenseur commence à monter :a_z= +a⇒T = 2.π.q

l g+a. 1.c) L'ascenseur commence à descendre :a_z=−a⇒T = 2.π.q

l g−a.

8.1.2) Pendule dans une voiture

Dans le référentiel terrestre R1 (supposé galiléen), un véhicule (assimilé à un solide auquel on attache le référentiel R2), a un mouvement de translation rectiligne horizontal uniformément accéléré, d'accélération

~a=a.~u_x.

Un pendule simple constitué d'un l sans masse et d'un point matériel M de massem est suspendu enO dans le véhicule. Sa longueur est l=OM. θest l'angle que fait le l avec la verticale (cet angle étant orienté, avec~u_z pointant vers nous,(~u_x, ~u_y, ~u_z)étant un trièdre direct).

L'accélération du champ de pesanteur est~g=g.~u_y. 1) Déterminer l'équation diérentielle suivie parθ.

2) Déterminer la position d'équilibre repérée par l'angleαque fait le l avec la verticale.

3) Quelle est la période des petites oscillations autour deα?

On donnesin (α±β) = sinα.cosβ±cosα.sinβ etcos (α±β) = cosα.cosβ∓sinα.sinβ.

1) θ¨+^g.sinθ−a._l ^cosθ = 0. 2) α=arctan

a g

. 3) T = 2.π.q

l g.cosα+a.sinα.

8.1.3) Ressort vertical dans un ascenseur

Dans le référentiel terrestre R₁ (supposé galiléen), un ascenseur (assimilé à un solide auquel on attache le référentielR₂), a un mouvement de translation rectiligne vertical.

On suspend en un pointO de l'ascenseur un ressort de raideurk, de masse négligeable et de longueur à vide l₀ qui soutient un point matérielM de masse m(initialement immobile dans l'ascenseur).

L'accélération du champ de pesanteur est~g=−g.~u_z. 1) Déterminer l'altitudez deM au cours du temps :

1.a) si l'ascenseur commence à monter : son accélération dansR1 est~a= +a.~uz; 1.b) si l'ascenseur commence à descendre : son accélération dansR1 est~a=−a.~uz.

2) Que faut-il pour transformer ce dispositif en un accéléromètre, même siMn'est pas au repos initialement ?

1) La périodeT des petites oscillations se trouve en écrivant l'équation diérentielle suivie parθ: m.¨z=m.(−g−az) +k.(−z−l0), soitz=z0.cos

q

k mt+ϕ

−l0−^m_k(g+az).

Initialement,z˙= 0⇒z¨= 0⇒z=−l0−^m_k(g)caraz= 0. Orz=z0.cos (ϕ)−l0−^m_k(g) =−l0−^m_k(g)⇒ z₀= 0.

1.a) L'ascenseur commence à monter : a_z= +a⇒z=−l0−^m_k(g+a). 1.b) L'ascenseur commence à descendre :a_z=−a⇒z=−l₀−^m_k(g−a).

2) Même si M n'est pas au repos initialement, on peut, grâce à des frottement uides retrouver les mêmes résultats sit→ ∞. Aussi, l'axezpeut être gradué poura_z.

8.1.4) Avion "zéro g"

On suppose que l'intensité du champ de pesanteur est constante et vaut g= 10 m·s⁻².

1) Pour entraîner à l'impesanteur, un avion "zéro g" est, pendant une phase de durée∆t, en chute libre.

Montrer que les passagers sont alors en impesanteur.

2) Quelle est alors la trajectoire de l'avion (assimilé à un point matériel) pendant cette phase ? 3) L'altitude maximale de l'avion est h= 9000 m. Quelle est la durée maximale∆t_max?

1) Dans le référentiel de l'avion (R⁰) en mouvement de translation uniformément accéléré (~a=~g), les forces d'inertie d'entraînement qui s'appliquent à une particule de masse msontf~ie=−m~a=−m~g=−P~ : elles compensent le poids.

2) La trajectoire de l'avion est une parabole :







¨ x= 0

¨ y= 0

¨ z=−g qu'on intègre une fois :







˙ x=v_0x

˙ y= 0

˙

z=−g t+v0z

puis une autre fois







x=v_0xt+x₀ y= 0

z=−¹₂g t²+v0zt+z0

3) Si le sommet est enx= 0à t= 0, à l'altitudeh=z0 donc, il s'agit de chercher la datet=±^∆t₂ pour laquelle z= 0, soit

z=−1

2g t²+v_0zt+h= 0⇔ 1

2g t²=h⇔ ∆t_max

2 =

s 2h

g soit ∆tmax= 2q

2h g = 2

q2×9000

10 = 84 s.

II- Eet des forces d'inertie d'entraînement dans un référentiel en rotation par rapport à un référentiel galiléen

Utiliser le point coïncident pour exprimer la vitesse d'entraînement et l'accélération d'entraînement dans le cas d'un référentiel en rotation uniforme autour d'un axe xe.

Dans le cas d'un référentiel en rotation uniforme autour d'un axe xe dans un référentiel galiléen, exprimer la force d'inertie axifuge. Associer la force d'inertie axifuge à l'expression familière force centrifuge .

Appliquer la loi de la quantité de mouvement, la loi du moment cinétique et la loi de l'énergie cinétique dans un référentiel non galiléen en rotation uniforme autour d'un axe xe dans un référentiel galiléen.

Distinguer le champ de pesanteur et le champ gravitationnel.

Associer les marées à un terme gravitationnel diérentiel et comparer l'inuence de la Lune et du Soleil pour analyser des documents scientiques.

Établir et utiliser l'expression de la force d'inertie d'entraînement volumique.

ce qu'il faut savoir faire capacités

dansR⁰ non galiléen, il faut ajouter aux forcesF~ la force d'inertie d'entraînement : f~ie=−m.~ae(M)

et la force d'inertie de Coriolis :

f~iC =−m.~aC(M) =−2.m.~Ω_R⁰_/R∧~v_M/R⁰

C) Principe fondamental de la dynamique et théorème du moment cinétique dans un référentiel non galiléen :méthode

Dans le cas d'un référentielR⁰qui tourne à une vitesse angulaireωconstante par rapport à un référentiel galiléen R autour de son axe xeOz, la force d'inertie d'entraînement dérive de l'énergie potentielle Ep=−¹₂m r²ω² en coordonnées cylindriques d'axeOz.

D) Application de théorèmes énergétiques dans un référentiel non galiléen en rotation par rapport à un référentiel galiléen : ^méthode

8.2.1) Forces d'inertie sur un manège

On s'intéresse à un manège qui tourne à une vitesse angulaireω par rapport à un référentiel galiléen autour de son axe xeOz.

1) Déterminer la force d'inertie d'entrainement ressentie par un point matériel de masse mà une distance rde l'axe. Quel est son eet ?

2) Quel est l'eet de la force d'inertie de Coriolis ressentie par un point matériel de massemqui se déplace avec une vitesse~v horizontale ?

f~ie=m.r.ω²~ur. La force d'inertie est donc centrifuge.

La force d'inertie de Coriolis tend à faire tourner le point matériel vers la droite si le manège tourne dans le sens trigonométrique, vers la gauche si le manège tourne dans le sens horaire.

8.2.2) Forces d'inertie d'entraînement sur la Terre

On peut supposer que le référentiel géocentrique est galiléen. Par rapport à celui-ci, le référentiel terrestre est en rotation autour de l'axe polaire, avec un vecteur rotationΩ = _24h^2π~uz, où~uz est orienté du Pôle Sud vers le Pôle Nord.

Soit un point à la surface de la Terre, de coordonnées dans le repère sphérique de centre O, le centre de la Terre :r=R_T (le rayon de la Terre),θ=^π₂ −λ(λest la latitude) etϕ, la longitude.

1) Déterminer la force d'inertie d'entrainement ressentie par un point matériel de massemen ce point.

f~ie=m.RT.cosλ.ω².(cosλ.~ur−sinλ.~uθ).

8.2.3) Variations du poids sur la Terre

1) La direction indiquée par un l à plomb passe-t-elle par le centre de la Terre ? 2) Comment varie le poids avec :

2.a) l'altitude ? 2.b) la latitude ?

On peut montrer que l'attraction gravitationnelle exercée par la Terre de masse MT est, dans les coor- données sphériques −G^m.M_R2^T

T

~u_r. Comme la force d'inertie d'entrainement est proportionnelle à la massem du point matériel, le poids l'est aussi :

P~ =m.~g=−Gm.MT

R²_T ~ur+f~ie

La force d'inertie d'entrainement est une correction devant l'attraction gravitationnelle. Elle s'oppose en partie à cette dernière.

1) La direction indiquée par un l à plomb est celle du champ de pesanteur~g. Elle ne passe pas a priori parO, le centre de la Terre.

2) 2.a) La force d'inertie d'entrainement est la plus grande à l'équateur, là où l'on est le plus éloigné de l'axe de rotation. C'est donc à l'équateur que le poids d'un objet est le plus petit, et aux pôle qu'il est le plus grand.

2.b) De la même façon, plus l'altitude est élevée, plus l'attraction gravitationnelle est faible, et plus la force d'inertie est forte : un objet est moins lourd en altitude.

8.2.4) Regulateur de Watt

Le régulateur de Watt est un système ingénieux mis en place dans des machines pour réguler leur vitesse : plus la machine tourne vite et plus les boules du régulateur se soulèvent, actionnant une valve qui diminue l'arrivée de combustible, faisant ainsi diminuer la vitesse de rotation.

Soit une boule de massemassimilée à un point matérielM, lié par une tige de longueur L à un axe Oz qui tourne avec un vecteur rotation ~Ω =ω~e_z. M se trouve à la distance rdeOz. On prendra l'origine z= 0de l'axe Ozà l'accroche de la tige.

1) Quelle est l'énergie potentielle dont dérive la force d'inertie d'entraînement ? On l'exprimera en fonction deθ. Exprimer l'éner- gie potentielle totale deM en fonction deθ etω.

2) En déduire l'altitude zM de M qui correspond à un équilibre stable. Vérier que l'expression a bien un sens.

1) Sif~_ie=m r ω²~u_r, alors

f~ie=m.r.ω²~ur=−−−→

grad(Epie) =−dEpie

dr ~ur

⇔dEpie=−m r ω²drqu'on peut intégrer en

E_pie=−1 2m r²ω²

qui est l'énergie potentielle dont dérive la force d'inertie d'entraînement. On peut la réécrire avecr=Lsinθ: E_pie=−1

2m ω² (Lsinθ)² L'énergie potentielle totale est

E_p=m g z−1

2m r²ω²=m

−L gcosθ−1

2ω²(Lsinθ)²

=−m L

gcosθ−1

2ω²L(sinθ)²

2) donc

dEp

dθ =−L m −gsinθ+ω²Lsinθcosθ

=−L msinθ −g+ω²Lcosθ L'équilibre est stable si ^dE_dθ^p = 0, soit

ω²L cosθ=g⇒zM =−Lcosθ=− g ω² qui n'a de sens que sizM ∈[−L; +L]∴−_ω^g2 >−L, soitω >pg

L.

8.2.5) Fluide en rotation

Soit un vase de rayonR contenant un liquide dont la surface libre est initialement à la hauteurh. On fait tourner le vase autour de son axeOz à la vitesse angulaire ω.

1) Quelle est l'énergie potentielle dont dérive la force d'inertie d'entraînement ? 2) En déduire l'équation de la surface libre du liquide.

1) Sif~ie=m r ω²~ur, alors

f~_ie=m.r.ω²~u_r=−−−→

grad(E_p) =−dEp

dr ~u_r