Référentiel terrestre

(1)

1

x z

y

nord

ouest

sud est

Ω_h

≈λ Ω_v RÉFÉRENTIEL TERRESTRE

1) Définitions.

Pour des durées faibles par rapport à l'année, on peut considérer le référentiel

géocentriqueR_Gcomme galiléen. f_e

Un référentiel terrestre (Oxyz) est un référentiel tournant autour de l'axe des Ω pôles géographiques, fixe dans ( R_G), avec la vitesse angulaire constante

Ω= 2π

86164=7,29 10⁻⁵rad s⁻¹.

Pour un point matériel de masse m situé en O sur la surface terrestre, supposée sphérique de rayon R, la force d'inertie d'entraînement vaut:

f_e=mΩ²HO où H est le projeté orthogonal de O sur l'axe de rotation.

2) Statique dans un référentiel terrestre .

Si le point étudié est en équilibre dans le référentiel terrestre: v_r= 0 et a_c= 0 .

En admettant que le point est en O et que le champ de gravitation est radial en O, g₀=−g₀k , le poids de l'objet est défini par P=mg=m



^^g0Ω²HO



⁼^m



^Ω²^{R cos}^λ^sin^λ^ⁱ^



^Ω²^{R cos}²^λ^−g0



^^k



^.

Le vecteur champ de pesanteur g n'est pas radial, sauf aux pôles et sur l'équateur, sa direction définissant la verticale du lieu considéré (direction

d'un fil à plomb). Ω²HO

De même le plan horizontal local, surface libre d'un liquide au repos, n'est pas Ω g₀ g confondu avec le plan tangent à la surface terrestre.

Aux pôles g_p=g_0p et à l 'équateur g_e=g_0e−Ω²R : ∆g=g_p−g_e=∆g₀Ω²R=∆g₀0,034 m s⁻².

Expérimentalement on constate: g_p−g_e≈9,83−9,78=0,05 m s⁻², donc ∆g₀0, cette différence étant due à l'aplatissement de la Terre aux pôles R_p=6357 km et R_e=6378 km.

L'équilibre relatif du point s'exprime par PF= 0 où F est la résultante des forces réellement appliquées autres que le poids (réaction d'un support, tension d'un fil...).

3) Dynamique dans un référentiel terrestre .

Si le point étudié est mobile dans le référentiel terrestre, la force d'inertie de Coriolis f_c= −ma_c=2mv_r∧ Ω. modifie la direction de la vitesse relative sans changer son module.

a . Mouvement dans un plan horizontal.

v_r= ˙xi ˙yj Ω =Ω_hiΩ_vk f_c=2 mΩ_v ˙yi− ˙xj−2 mΩ_hy˙k= f_chf_cv.

f_c

Ω v_r f_ch v_r f_c

f_ch Ω

Hémisphère nord Hémisphère sud

Soient dans le plan horizontal local, Ox orienté du nord vers le sud, Oy d'ouest en est et Oz vertical ascendant.

La composante horizontale Ωh≈ −Ωcosλ du vecteur Ω est négative dans les deux hémisphères. La composante verticale f_cv= −2 mΩhy˙k de la force de Coriolis s'ajoute au poids qu'elle modifie peu.

x z

y

nord

ouest

sud est

Ω_h≈λ Ω_v

O

C Y

Z H

R

λ N

S

z

x

C O

Y Z

H λ N

S

z

(2)

2

Dans l'hémisphère nord, la composante horizontale f_ch=2 mΩv ˙yi− ˙xj est orientée vers la droite quand on regarde dans le sens de v_r, la trajectoire du point est donc déviée dans le sens horaire.

Dans l'hémisphère sud l'effet est opposé, la trajectoire est déviée dans le sens direct.

Bien que l'intensité de cette composante horizontale soit faible, si elle n'est pas compensée par une autre force elle peut produire des effets notables sur des parcours de longue durée, notamment sur les courants atmosphériques (vents alizés, cyclones...) et les courants maritimes.

L'expérience du pendule de Foucault (1851) est une vérification directe de la rotation d'un référentiel terrestre par rapport au référentiel géocentrique.

Une masse attachée à un fil de grande longueur (67 m sous la coupole du Panthéon) oscille pratiquement dans un plan horizontal si les oscillations sont de faible amplitude.

Pendant chaque demi-oscillation la trajectoire est légèrement déviée vers la droite à Paris λ=49°51' donc le plan d'oscillation tourne dans le sens horaire en effectuant un tour complet pendant la durée T= 2π

Ωsinλ = 86164

sin49,85=112 727 s≈31,3 h.

b. Mouvement vertical. Déviation vers l ' est .

Soit un point matériel abandonné sans vitesse à l'altitude h à la date t = 0.

Sans tenir compte de la force de Coriolis, sa vitesse resterait constamment verticale et vaudrait à la date t, v_r= −g tk où g est l'intensité du champ de pesanteur locale tenant compte de la force d'inertie d'entraînement.

Son altitude serait z= −1

2g t²h et la durée de la chute t₀=



^{2 h}^g ^.

Si l'on tient compte de la force de Coriolis, f_c

f_c=2 mv_r∧ Ω, initialement orientée vers l'est

quelque soit l'hémisphère, la trajectoire sera donc Ω légèrement incurvée vers l'est.

La composante vers l'est de la vitesse reste très faible et on peut considérer qu'elle vaut toujours v_r≈ −g tk, d 'où la force de Coriolis

f_c=2 m



^{−g t}^^k∧^Ωhi



⁼^{2 m g}^Ω^cos^λ^t^^{j .}

La composante de l'accélération vers l'est vaut y¨ =2 gΩcosλt d'où la vitesse y˙ =gΩcosλt² et la déviation vers l 'est y=1

3gΩcosλt³.

La durée de la chute n'étant pas sensiblement modifiée, la déviation vers l'est au sol peut aussi s'exprimer par y₀=1

3gΩcosλt₀³=2

3Ωcosλ



^2h^g³^.

Pour h = 158 m, Reich a mesuré en 1833 à Freiberg (λ= 51°) une déviation égale à 28 mm, valeur en bon accord avec la relation précédente.

A B

C D

E

z

O h

y₀

x y

nord

ouest

sud est

Ω_h≈λ