Variables d’état Complément 3 Page 1 sur 3
Thermodynamique, T02.C3 © Isa 2019
Une de monstration de la loi fondamentale de l’hydrostatique
Nous étudions les forces pressantes s’exerçant au sein de fluides parfaits en équilibre thermodynamique, c’est-à-dire qu’il n’y a pas de frottement et que les équilibres mécanique et thermique sont réalisés.
I. Fluide parfait
Fluide est un terme général pour désigner les liquides et les gaz.
Un fluide parfait n’est pas visqueux, c’est-à-dire qu’il n’existe pas de frottement en son sein. La viscosité de l’huile, du miel, de la glycérine est plus élevée que celle de l’eau. Les gaz ont une faible viscosité.
Nous allons montrer que la pression est uniforme sur chaque plan horizontal et que la variation de pression dp(z) lorsque l’altitude varie de z à z+dz vaut dp(z) = - µgdz (g est l’intensité de la pesanteur et µ la masse volumique du fluide).
II. Situation du problème
Nous considérons un fluide parfait en équilibre mécanique sous l’action de la pesanteur terrestre et en équilibre thermique. Nous étudions l’équilibre d’un élément de ce fluide. Dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen, cet élément est en équilibre mécanique au sein du fluide sous l’action des forces pressantes exercées par le reste du fluide et de son poids dP.
Nous donnons à cet élément une forme parallélépipédique. Le reste du fluide exerce sur chacune de ses six faces une force pressante élémentaire que nous allons calculer dans les paragraphes suivants.
III. Liste des forces pressantes exercées par le reste du fluide sur un élément de fluide
T02.C3 Figure 1 : Un élément de fluide et les forces extérieures qu’il subit.
Sur les deux faces verticales d’abscisses x et x+dx de même aire dydz s’exercent deux forces horizontales F(x) et F(x+dx). La force F(x) et le vecteur unitaire i sont colinéaires et de même sens et la force F(x+dx) leur est colinéaire et de sens contraire.
Sur les deux faces verticales d’abscisses y et y+dy de même aire dxdz s’exercent deux forces horizontales F(y) et F(y+dy). La force F(y) et le vecteur unitaire j sont colinéaires et de même sens et la force F(y+dy) leur est colinéaire et de sens contraire.
Sur les deux faces horizontales de cotes z et z+dz de même aire dxdy s’exercent deux forces verticales F(z) et F(z+dz).
La force F(z) et le vecteur unitaire k sont colinéaires et de même sens et la force F(z+dz) leur est colinéaire et de sens contraire.
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IV. Équilibre de l’élément de fluide
Dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen, l’équilibre se traduit par :
En tenant compte de la description des forces cette équation s’écrit :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
F x F x dx F y F y dy F z F z dz dP
F x F x dx i F y F y dy j F z F z dz dP k
+ + + + + + + + + =
− + + − + + − + − =
V. Forces horizontales exercées par le reste du fluide sur les faces verticales de l’élément
En projetant cette dernière égalité vectorielle sur l’axe des abscisses, nous obtenons :
( ) ( ) 0 ou ( ) ( )
F x −F x+dx = F x =F x+dx
L’aire dydz des deux surfaces est la même donc l’égalité des forces entraîne l’égalité des pressions :
( , , ) ( , , )
p x+dx y z =p x y z
Cette égalité montre que la pression ne dépend en fait pas de l’abscisse x. La situation est semblable pour les faces d’ordonnées y et y+dy. Donc la pression ne dépend en fait pas de l’ordonnée y.
Nous avons donc montré que la pression n’est fonction que de la cote z. Elle est uniforme dans tout plan horizontal.
VI. Forces verticales exercées par le reste du fluide sur les faces horizontales de l’élément
La condition d’équilibre est devenue :
( ) ( ) 0
F z +F z+dz +dP= Il faut exprimer ces trois forces.
A. Somme vectorielle des deux forces pressantes
Nous allons appliquer la relation entre force pressante et pression. Nous obtenons :
( ) ( ) et ( ) ( )
F z = p z dxdy k F z+dz = −p z+dz dxdy k La somme vectorielle de ces deux forces donne :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
F z +F z+dz = p z dxdy k− p z+dz dxdz k = − p z+dz −p z dxdy k
Nous allons diviser cette force par le volume de l’élément de fluide pour faire apparaître le taux d’accroissement de la pression1 :
1 ( ) ( )
( ) ( ) p z dz p z dp( )
F z F z dz k z k
dxdydz dz dz
+ −
+ + = − = −
Ce terme représente la force pressante verticale par unité de volume. Le volume de l’élément de fluide s’écrit : dV = dxdydz. Donc la force pressante verticale qui s’exerce sur cet élément de fluide vaut :
z ( )
dF k dp z dxdydzk dz
= −
1 Voir les aides mathématiques AM03 et AM04 pour approfondir ce passage.
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B. Poids élémentaire
Il nous faut aussi exprimer son poids élémentaire :
La masse élémentaire dm s’exprime en fonction de la masse volumique du fluide et du volume de l’élément fluide :
dm dm dV dxdydz
dV
= = =
D’où le poids élémentaire :
C. La loi fondamentale de l’hydrostatique
Nous projetons orthogonalement la condition vectorielle d’équilibre sur l’axe des z :
0 ou ( ) 0
z
dF dP dp z dxdydz gdxdydz
dz
− = − − =
Nous avons établi la loi fondamentale de l’hydrostatique qui peut s’écrire sous deux formes :
( ) ou ( )
dp z g dp z gdz
dz
= − = −
Connaissant l’intensité de la pesanteur cette loi permet de déterminer par intégration la pression en chaque point du fluide lorsqu’on sait exprimer la masse volumique.
VII. Conclusion
Nous pouvons déduire de la loi fondamentale de l’hydrostatique que la pression diminue quand l’altitude augmente car la dérivée de la pression est négative. Deux exemples bien connus :
- La pression atmosphérique diminue quand on s’élève ; les avions sont pressurisés car les passagers ne pourraient plus bien respirer ; la pression au sommet de l’Everest est plus faible qu’au niveau de la mer, les alpinistes emportent de l’oxygène comprimé.
- La pression augmente quand on descend au fond des océans ; les plongeurs, les sous-marins doivent résister à de fortes pressions.
D’autre part nous avons établi dans le § V que chaque plan horizontal (z = constante) est une surface d’égale pression. D’où la forme horizontale de la surface libre d’un liquide parfait en équilibre dans le champ de pesanteur uniforme et soumis à la pression atmosphérique uniforme.
Nous venons de rencontrer une première démonstration de la loi fondamentale de l’hydrostatique dans un fluide parfait en équilibre thermodynamique dans le champ de pesanteur uniforme. Le complément T02.C4 expose d’autres démonstrations de cette loi.
