Espaces vectoriels norm´es – Classe de Sp´eciales MP par Emmanuel A

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Espaces vectoriels norm ´ es – Classe de Sp ´ eciales MP par Emmanuel A

MIOT

28 f´evrier 2020

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Introduction

Pendant pas mal de siècles, les notions de proximité, de limite étaient fondées plus sur l’intuition que sur une définition rigoureuse. On a fini par s’apercevoir au XIXîèmesiècle que cela était indis- pensable pour éviter de dire des bêtises (par exemple qu’une application continue serait dérivable partout, sauf en quelques points, comme l’affirma ABELentre autres).

Cela ne fut possible qu’au moment o ù l’on disposa d’une construction rigoureuse de la droite réelle, qui servit de fondement à la rationalisation de l’idée ancienne mais farfelue d’infiniment petit. Cette notion reste toutefois un bon support pour l’intuition, à condition de s’en passer au moment d’effectuer une démonstration¹.

1 Norme et distance

Il s’agit d’une id´ee intuitive : avant de parler de proximit´e, il faut savoir mesurer des distances. On se place dans tout le chapitre dans le cadre d’espaces vectoriels sur le corpsK=RouC.

1.1 Les boules

1.1.1 Norme et distance

oooo oooo oooo oooo oooo

DEFINITION^´ 1.On appelle normedans un espace vectorielE, r´eel ou complexe, une applicationN telle que :

1. ∀x∈E N(x)∈R+

2. ∀x∈E ∀λ∈K N(λx) =|λ|N(x) 3. ∀(x, y)∈E² N(x+y)6N(x) +N(y) 4. N(x) =0 ⇐⇒ x=0

Emuni deNest appel´e unespace vectoriel norm´e.

Ceci appelle quelques remarques :

— Un bref schéma fera comprendre pourquoi le troisième axiome s’appellel’in égalit é triangulaire : elle exprime que dans un evn le plus court chemin entre deux points est le segment qui les joint.

— N(−x) =N(x). Dans le cas complexe,N(e^iθx) =N(x).

— Dans un evn, on aN(x−y)6N(x)+N(y)! ! ! Par ailleurs, l’in´egalit´e suivante est souvent utile : N(x) −N(y)6N(x−y)

— En général, il n’y a pas besoin de démontrer l’équivalence dans le quatrième axiome : une implication résulte du second (le plus souvent, il est évident queN(~0) =0).

— Il est de coutume de noterkxk pourN(x). On différencie le cas échéant diverses normes par des indices :kxk₁,kxk₂, . . . etc.

Exemple:Les applications suivantes sont des normes :

— Le module dansC.

— La somme de deux normes.

— La norme euclidienne dansR²,(x, y)→p

x²+y². Aussi(x, y)→Sup(|x|,|y|)ou(x, y)→|x|+|y|.

Ces normes sont les trois normes standard, k k₂,k k_∞,k k₁, pr´esentes dans tout espace vectoriel norm´e de dimension finie.

— DansR[X], anneau des polynˆomes, l’application

N:P7→N(P) =|P(0)|+|P⁰(0)|+|P⁰⁰(0)|+· · ·+|P⁽ⁿ⁾(0)|+. . . On commencera par montrer que cette application est bien d´efinie !

— Dans l’espaceE=C^Ndes suites numériques complexes bornées, l’application définie par u7→Sup

n∈N

|u_n|=kuk_∞(cf. infra).

1. L’analyse dite NON STANDARD a axiomatisé cette notion, en rajoutant des nombres àR. Cela soulève toutefois diverses difficultés — ne pas oublier de distinguer lesvraisréels des autres, et admettre l’axiome du Choix.

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— Dans l’espace des applications continues de [0, 1] dans C, f 7→ Sup

[0,1]

|f| (norme de la convergence uniforme).

— Dans l’espace des applications continues de[0, 1]dansC,f7→qR1

0|f|²(cf. espaces pr´ehilbertiens).

La norme sert, dans un espace vectoriel, non seulement `a savoir la taille de quelque chose mais aussi de combien sontdistantsdes objets.

DEFINITION^´ 2.La distance entre les pointsxetydeEestd(x, y) =N(x−y).

On a les propri´et´es :

d(x, y) >0 d(x, y) =0 ⇐⇒ x=y

d(x, z) 6d(x, y) +d(y, z) qui r´esultent des axiomes d´efinissant une norme².

1.1.2 Boules

Avec les normes on a aussi les boules :

oooo o

DEFINITION^´ 3.On d´efinit les boules ouvertes et ferm´ees de centrea∈Eet de rayonr∈Rpar :

— B(a, r) ={x∈E|d(x, a)< r}

— Bf(a, r) ={x∈E|d(x, a)6r}

EXERCICE1.DessinerB(0, 1)pour les trois normes donn´ees ci-dessus dansR².

Il n’est pas utile de considèrer des rayons négatifs ! et pour les boules ouvertes, on ne considèrera que des rayonsstrictementpositifs.

oooo o

EXERCICE 2.Montrer que si deux boules ouvertes ont un point commun, alors elles contiennent toutes deux une mˆeme boule (ouverte) centr´ee sur ce point.

Montrer que toute boule (non vide !) est convexe et sym´etrique.

1.2 Notions d´ eriv´ ees de la notion de norme

DEFINITION^´ 4.Un vecteurx∈Eest ditunitairessi il est de norme ´egale `a 1.

EXERCICEoo 3.Montrer que toute droite contient au moins un (combien ?) vecteur unitaire. Est-ce encore vrai si l’on prendQcomme corps de base ?

Cet exercice illustre une transformation fondamentale, qui permet de passer de tout vecteur non nul `a un vecteur unitaire de mˆeme direction.

oooo oo

DEFINITION DE LA DISTANCE D’UN POINT `^´ A UNE PARTIE.Soitx∈EetA⊂E, A6=∅; alors on pose d(x, A) = Inf

a∈Ad(x, a)

Evidemment, il ne s’agit plus d’une distance au sens précédent. C’est néanmoins une notion utile´ et assez intuitive.

2. On le voit : la notion de distance est un peu moins forte. En fait, on démontre qu’une espace muni d’une distance — cela s’appelle un espacem étrique— est toujours une partie d’une espace vectoriel normé.

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oooo oooo oooo oooo oo

COMMENT APPRIVOISER UN INF.On montre de fac¸on standard qu’il existe une suite(an)dansA telle qued(x, A) =lim||an−xk. En effet, pour toutnet par d´efinition d’un inf, il existean∈A tel que

d(x, A)

puisque minorant

6 ||an−x||6d(x, A) +2⁻ⁿ puisque ce n’est PAS un minorant Ce genre de construction est CAPITAL pour traduire pratiquement qu’on a un inf (ou un sup).

Attention ! en g´en´eral la suite des vecteurs(an)est divergente, c’est la suite desdistances qui converge (vers l’inf).

oooo oooo oooo o

EXERCICE4.

— Sid(x, A) =0, est-ce que n´ecessairementx∈A?

— Montrer que siA⊂Balorsd(x, A)>d(x, B).

— Calculer la distance de l’applicationr:x7→√

xà l’ensembleAdes applications linéaires fa:x7→axdans l’espaceEdes applications continues de[0, 1]dansRmuni de la norme définie parkfk1=R1

0|f|.

DEFINITION^´oo 6.Une partie non videAest diteborn´eessi elle est incluse dans une boule.

Une application `a valeurs DANS un evn est born´ee ssi son image l’est.

On d´emontre facilement (le faire !) la proposition suivante :

oooo oooo oooo

PROPOSITION.

— Aest bornée ssi la taille de ses éléments est bornée :

∃M > 0 ∀x∈A kxk6M

— La réunion, l’intersection de deux bornés est bornée.

EXERCICEoo 5.Après avoir démontré cette proposition, on pourra pour le plaisir montrer que la somme de deux bornésA+B={a+b|(a, b)∈A×B}est bornée.

oooo oooo oooo

EXERCICE 6.Sur l’espace des applications continues de[0, 1] dans R, étudier le caractère borné ou pas deS={f∈E|R1

0|f|=π}pour les normes suivantes :

kfk_∞= Sup

x∈[0,1]

|f(x)| kfk1=

Z1 0

|f| kfk2=

Z1 0

|f|² 1/2

oooo oooo o

TH ÉOR ÈME1.L’espaceB(A, F)des applications bornées deA, partie de l’evnE, dans l’evnF, devient un evn quand on le munit de l’application

N_∞:f7→N_∞(f) =Sup

A

kfk

D émonstration. Cette application est bien définie par hypothèse.

1. Il est clair que Supkfk>0, puisque pour toutx∈Aon akf(x)k>0! 2. Pour toutx∈A, λ∈K, on akλf(x)k=|λ|.kf(x)k. Donc

Sup

x∈A

kλf(x)k=|λ|.Sup

x∈A

kf(x)k

3. Pour toutx∈A, et pourf, g∈ B(A, F)on a

k(f+g)(x)k=kf(x) +g(x)k6kf(x)k+kg(x)k6N_∞(f) +N_∞(g) d’o ù en passant au sup surxl’inégalité triangulaire pourN_∞.

4. Enfin si Supkfk=0 cela signifie que pour toutx∈Aon akf(x)k60, c’est `a dire quef(x) =0.

Doncfest nulle surA, c’est l’application nulle alias le vecteur nul deB(A, F).

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Cas particulier capital (déjà cité) :l’espace des suites bornées à valeurs dansE, qui n’est autre queB(N, E), est un evn muni de la norme

kuk_∞=Sup

n∈N

kunk

Un autre exemple : C⁰([a, b],R) qui est un sous-espace de B([a, b],R) puisque toute application continue sur un segment est born´ee. On retrouve la norme de la convergence uniforme !

1.3 Applications lipschitziennes

Cette notion est la plus difficile `a prononcer du programme.

oooo o

DEFINITION^´ 7.SoientE, Fdeux evn. L’applicationfdeEdansFest ditelipschitziennede rapport kssi

∀x, y∈E ||f(x) −f(y)k6k× kx−yk

On observera que le symbolek kn’a pas le même sens des deux côtés du signe6.

ooo

UTILISER LE TH ´EOR `EME DES ACCROISSEMENTS FINIS.

Une applicationfde[a;b]dansRtelle queSup|f⁰|6MseraM–lipschitzienne.

De mˆeme, toute isom´etrie (les rotations du plan euclidien par exemple) est 1–lipschitzienne.

oooo o

EXERCICE 7.Que dire de la composée de deux applications lipschitziennes ? Donner deux applications lipschitziennes deRdansR, dont leproduitne soit pas lipschitzien. Montrer que si les deux applications sont à la fois lipschitziennes et bornées alors le produit est lipschitzien.

oooo oooo o

PROPOSITION.Dans un evnE, les applications suivantes sont 1-lipschitziennes : x7→kxk x7→d(x, A)

o ùAdésigne une partie non vide fixée.

D émonstration. Déj à

kxk−kyk

6kx−yk, c’est la deuxième inégalité triangulaire.

Soit maintenanta∈Aquelconque. On a

d(x, A)6kx−ak6kx−yk+ky−ak ⇐⇒ d(x, A) −kx−yk6ky−ak

On a trouvé un minorant de a 7→ ky−ak, qui est par définition majoré par le plus grand des minorants quandavarie dansA, à savoird(y, A). On a donc prouvé que

d(x, A) −kx−yk6d(y, A) ⇐⇒ d(x, A) −d(y, A)6kx−yk

Par symétrie, on peut mettre la valeur absolue au terme de gauche et on a démontré quex7→d(x, A)

est 1-liptschitzienne.

ooo

EXERCICE8.Montrer que la compos´ee de deux applications lipschitziennes l’est encore.

* Et leur produit ? (applications deR→Rpar exemple).

EXERCICE9.L’applicationx7→x/(1+kxk)²est-elle lipschitzienne ? Quelle est son image ?

EXERCICEoo 10.Montrer qu’une application lipschitziennef:R→Rvérifie une inégalité de la forme

|f(x)|6A|x|+B.

oooo o

EXERCICE 11.Expliciter M 7→ d(M, ∆) quand M est un point du plan (xOy) et ∆ est la droite d’´equation ax+by+c = 0 (ou un plan de R³ d’´equation ax+by+cz = d) qvec la distance euclidienne canonique.

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1.4 Normes sur plusieurs espaces vectoriels

1.4.1 Hérédité de la norme

Dans tout espace vectoriel, il existe des sous–espaces vectoriels. Nous nous préoccupons de les normer. Or il est clair que les axiomes d’une norme restent vrais sur une partie qui contient~0, plus précisément :

DEFINITION ET PROPOSITION.^´oo Soit F un sous-espace vectoriel de l’evnE; alors la restriction de la normek.kdeE `aFfait de ce dernier un evn. On dit que c’est lanorme induite.

La morale de cette définition est qu’il n’est nul besoin de chercher à construire une norme sur un sous-espace d’un evn : il y en a déj à une. Nous retrouverons cette notion dans le cas intéressant o ù le sous-espace a des propriétés supplémentaires (par exemple, être de dimension finie).

1.4.2 Norme produit

On rencontre assez souvent un espace produit : E×F = {(x, y) | x ∈ Eety ∈ F} qui est de façon naturelle un espace vectoriel comme on le sait. Il serait agréable que la propriété d’être un evn

monteaussi aux espaces produits. C’est `a peine moins naturel : oooo

oooo oooo oooo

DEFINITION ET PROPOSITION.^´ Lanorme produitsur l’espaceE×Fest d´efinie par k(x, y)k=Sup(kxk,kyk)

Plus g´en´eralement, pour un produit denespacesE₁. . . E_n on pose k(x1, . . . , xn)k= Sup

i=1...n

(kx1k, . . . ,kxnk)

Evidemment, il faut v´erifier que l’on a bien trouv´e une norme.´ EXERCICE12.Le faire (pourE×F).

Un exemple simple mais profond est celui deKⁿ=K×K×. . .K.

oooo oooo o

PROPOSITION.Les applications coordonn´ees

lk:x= (x1, . . . , xn)7→xk∈Ek

sont 1–lipschitziennes pour la norme produit.

Trivial, mais utile (on en reparlera dans la section sur la dimension finie).

2 Suites d’ ´ el ´ ements d’un evn

La meilleure façon de mettre en application les outils des evn, et de sentir les concepts de l’analyse (proximité, limites, continuité . . .) est de les appliquer aux suites. Il n’y a pas vraiment de rupture avec l’étude des suites numériques.

Notamment, une suite est un cas particulier d’application (deNdansE), que l’on convient simple- ment de noter(un)_n∈Nau lieu deu.

2.1 Convergence

2.1.1 D´efinitions

On donne deux d´efinitions ´equivalentes :

oooo o

DEFINITION^´ 10.La suite(u_n)converge vers`ssiku_n−`kest une suite r´eelle qui converge vers 0, ou si

∀ε > 0 ∃n0∈N ∀n>n0 kun−`k< ε Si ce n’est pas le cas, on dit que la suite diverge.

Attention !

ce n’est pas si simple de montrer qu’une suite diverge. En bonne rigueur, il faut montrer qu’elle ne converge pas vers

chacun

des points deE. . .

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oooo oooo oooo o

REMARQUE1.On constate la ressemblance avec la d´efinition de la continuit´e (cf. infra).

Il importe de bien retenir qu’il n’y a pas de n a droite de la flˆ` eche : dans une notation comme A → B, A est le terme général d’une suite (donc dépend d’un n), et vit dans E^N; alors que B est une limite, qui est un simple élément de E. Écrire quelque chose comme

“ un−1 → un” est une démonstration. . . d’incompétence. En revanche on a les relations usuelles de comparaisonentre suites à l’infini :o, O,∼

Exemple:La convergence d’une s´erie de fonctions (mettons continues de[a, b]→C) signifie :

— Pour la normek k_∞: la convergence uniforme.

— Pour la normek k2: la convergence en moyenne quadratique.

La suite des polynˆomes(Xⁿ)converge vers le polynˆome nul pour la normeN:P7→R1

0|P|, et diverge pour la normeN⁰ :P7→R2

1|P|.

EXERCICE13.Pourquoi la divergence, au fait ?

Une suite stationnaire (constante à partir d’un certain rang) est convergente. La réciproque est fausse : la limite d’une suite convergente n’est pas forcément atteinte. Ainsi la suite (1/n) tend vers 0 sans jamais toucher cette valeur.

2.1.2 Modestes propositions

PROPOSITION.Une suite a au plus une limite.

PROPOSITION.Une suite convergente est born´ee (r´eciproque fausse ! ! !).

PROPOSITIONoo .Le sous-ensemble des suites convergentes est un sev de E^N, et l’application u 7→ limu_n est lin´eaire.

La derni`ere proposition signifie que la somme de deux suites convergentes converge vers la somme des limites (idem pour le produit d’ailleurs quand cela a un sens : produit scalaire, produit de matrices. . .).

Tout cela se d´emontre exactement comme dans le cas num´erique.

2.2 Suites et normes

2.2.1 Comparer deux normes

On a vu qu’il est possible d’avoir des suites qui convergent pour une norme, mais pas pour une autre. On s’en doute, la convergence pour l’une est parfois en rapport, parfois sans rapport avec la convergence pour l’autre. Plus pr´ecis´ement :

TH ´ooEOR `EME 2.Pour que toute suite convergeant vers 0 pour la norme N converge aussi (vers 0) pour la normeN⁰, il faut, et il suffit, qu’il existe un r´eelα > 0tel queN⁰6αN.

oooo oooo o

DEFINITION^´ 11.Si cela est vrai dans les deux sens, c’est `a dire que

∃0 < α < β αN6N⁰6βN on dit que les deux normes sont ´equivalentes.

Pour deux normes ´equivalentes, les notions essentielles, comme celle de convergence, co¨ıncident : on peut remplacer l’une par l’autre sans changer aucun r´esultatqualitatif.

Démontrons le théorème : D émonstration.

— SiN⁰ 6αNet N(un)→0alors clairementN⁰(un)→0.

— Pour la réciproque, montrons la contraposée : supposons que pour tout α > 0 il existe un x ∈ E tel que N⁰(x) > αN(x). En prenant α = n et en notant x_n un vecteur associé à cette valeur, on construit une suite(x_n)telle que

∀n∈N N⁰(x_n)> nN(x_n)

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Posons enfin pourn > 0 u_n = xn

√nN(xn) : alorsN(u_n) = 1

√n →0tandis queN⁰(u_n)>√ n

EXERCICE14.Comparer les normes 1, 2, et∞surRⁿ. oooo

oooo oooo oo

EXERCICE 15.Comparer les normes 1 et ∞sur l’espace des applications continues de[0, 1]dans RouC(c¸a marche dans un sens, pas dans l’autre).

Comparer aussi avec la norme 2 en utilisant l’in´egalit´e de CAUCHY-SCHWARZ: Z

fg

2

6 Z

|f|²× Z

|g|².

2.2.2 Suites et espaces vectoriels

Il y a deux sens, du plus grand vers le plus petit et l’inverse.

oooo oooo

TH ´EOR `EME3.SoitFun sev de l’evnE, muni de la norme induite.

Si(u_n)converge dansF pour la norme deE, alors elle converge dansEvers la mˆeme limite.

En revanche, si (u_n)est une suite d’´el´ements de F qui converge dans E, elle ne convergera dansF que si sa limite s’y trouve.

Trivial. Il faut faire attention au deuxi`eme sens :

la suite de terme général(1+x/n)ⁿ converge (versx7→e^x)dans l’espace des fonctions continues de [0, π]dansC, muni de la norme sup (entre autres). Mais elle ne converge pas dans le sous-espace des polynômes, pour quelque norme que ce soit.

oooo oooo

TH ´EOR `EME4.Soit E=F×Gun espace produit d’evn, muni de la norme produit. Alors une suite deEconverge ssi les suites de ses composantes convergent :

u_n = (v_n, w_n)→`= (a, b) ⇐⇒ v_n→aetw_n →b

Démonstration facile : Max(||vn−ak,kwn−bk)→0 ⇐⇒ ||vn−ak etkwn−bk)→0. Ceci se généralise

`a un produit d’un nombre quelconque (fini) d’evn. En particulier `a Kⁿ, ce qui donne

COROLLAIREoo 1.Dans Kⁿ, une suite converge (avec la norme sup) ssi les suites des coordonn´ees convergent.

Très important en pratique. On connaissait déj à le cas des suites complexes, qui convergent si et seulement si les parties réelles et imaginaires convergent chacune de leur côté.

2.3 Des suites dans des suites

2.3.1 Suites extraites

DEFINITION^´oo 12.On appellesuite extraite de la suite (u_n)_n une suite de la forme (u_n_p)_p o `u (n_p)_p est une suite d’entiers strictement croissante.

Typiquement, on a les exemples des sous-suites paires et impaires(u2p)et (u2p+1). De même, les suites décalées(un+1)ou(un+12)sont des suites extraites.

Les suites extraites (aussi appelées sous–suites) partagent les propriétés de leur ancêtre : toute sous-suite d’une suite bornée (resp. convergente) est bornée (resp. convergente). . .

oooo o

EXERCICE 16.Les suites (u_2p) et (u_2p+1)convergent vers une mˆeme limite `, montrer que (u_n) converge.

Que dire d’une suite extraite d’une suite extraite ?

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2.3.2 Valeurs d’adh´erence

DEFINITION^´oo 13.`est unevaleur d’adh´erencede la suite(un)ssi il existe une suite extraite(un_p) qui tend vers`.

oooo oooo oooo

EXERCICE17.Programmer et étudier expérimentalement le nombre de valeurs d’adhérence de la suite de FAIGENBAUM définie par

u_n+1=1−λu²_n u₀∈[0, 1]

en faisant varier (d´elicatement) la valeur deλentre 0 et 2.

Le nom de valeur d’adhérence peut s’interpréter ainsi : la suite ne peut s’empêcher de revenir tout près de cette valeur, même si elle s’en écarte parfois (voire une infinité de fois).

Il ne faut pas croire que le nombre de valeurs d’adhérence d’une suite soit limité : une suite aussi simple queun = sin(n)admet tous les points de[−1, 1] comme valeurs d’adhérence, comme on le démontrera ultérieurement en exercice.

Cette notion nous servira surtout à établir la divergence d’une suite. Il est clair, intuitivement, qu’une suite convergente ne peut guère se permettre de s’éparpiller entre plusieurs valeurs d’adhérence.

PROPOSITION.Toute suite convergente poss`ede une seule valeur d’adh´erence : sa limite.

Trivial.

oo

COROLLAIRE 2.Une suite qui poss`ede au moins deux valeurs d’adh´erence distinctes est divergente.

C’est surtout ce corollaire que l’on utilisera. Comme toujours il faut faire attention de ne pas prendre cette condition suffisante pour une condition nécessaire (mais voir néanmoins infra la section sur la compacité et la dimension finie) :

Exemple:La suiteun =n 1+ (−1)ⁿ

n’a qu’une valeur d’adh´erence (r´eelle) : 0, mais elle diverge.

En prenant surK[X] la normeka₀+a₁X+. . .+a_nXⁿk = Sup|a_i|, la suite (born´ee !) des (Xⁿ)— la base canonique — n’a pas de valeur d’adh´erence.

EXERCICEoo 18.Le d´emontrer.

Indication : une (sous-)suite qui converge doit v´erifierkun_p+1−un_pk→0.

oooo o

EXERCICE19.Un sup (ou un inf) est une limite de suite.

Plus précisément : montrer que siα=Sup(X)o ù X⊂Rmais α /∈X, alors il existe une suite (x_n)_n∈_N∈X^Ntelle quex_n →α.

2.4 S´ eries dans un evn

En fait presque tout se passe comme dansR(ouC) : les définitions d’une série, de sa convergence, de la somme, du reste, sont identiques. Les propriétés de linéarité subsistentverbatim. Quelques notions particulières à des dimensions> 1:

2.4.1 Convergence dans une base

Supposons queEsoit un evn de dimension finie, muni d’une base(e₁. . . e_d). Alors toute suite(u_n) s’exprime (se projette) dans cette base pardsuites de coordonn´ees :(u_{n p})_n∈_No `u

∀n∈N un =un 1e1+. . . un ded

Lesdsuites(un p)_n∈Nsont des suites num´eriques, et on peut consid´erer leurs sommes partielles (sn p)_n∈N. Comme on a

sn = Xn

k=0

uk=sn 1.e1+. . .+sn d.ed

(avecs_{n 1} = u_{0 1}+. . . u_{n 1}, etc) et qu’on a vu que la convergence dans un evn de dimension finie

équivaut à la convergence des coordonnées, on en déduit

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TH ´ooEOR ÈME5.Une série à valeurs dansE, evn de dimension finie, converge si et seulement si les séries des composantes convergent.

En résumé, la convergence des sériesen dimension finien’est pas substantiellement différente du cas numérique. En particulier, les séries à termes complexes se traitent comme les séries à termes réels (C étant unR-ev !).

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3 Topologie des evn

3.1 Ouverts, ferm´ es

Notre motivation est d’exprimer rigoureusement la notion deinfiniment près. Pour cela, l’idée est de parler de propriétés vraiesdans tout voisinaged’un point a, c’est à dire concrètement dans toute boule de centrea³. Commençons par cette notion intjuitive et formalisons la :

Voisinages

On dit qu’une partieVest un voisinage deasi, et seulement si,V contient une bouleB(a, r)(r > 0 bien s ûr) :∃r > 0, B(a, r)⊂V.apossède donc un “airbag” qui le protège douillettement, dansV.

oooo oooo

REMARQUE 2.Pour exprimer infiniment proche, on parlera de propriétés vraies dans tout voisinage. Noter que l’intersection (ou la réunion) de deux voisinages d’un point en est un voisinage.

Aussi, les voisinages sont les mˆemes pour deux normes ´equivalentes.

3.1.1 Ouverts

Onouvrela notion de voisinage :

DEFINITION^´ 14.Un ouvert est une partie qui est voisinage de chacun de ses points.

oooo o

PROPOSITION DE CARACT ´ERISATION DES OUVERTS.

V⊂Eest un ouvert ⇐⇒ ∀a∈V ∃r > 0 B(a, r)⊂V.

Propriétés immédiates :

— Eet∅ sont des ouverts.

— Une boule ouverte est un ouvert !

— Toute r´eunion (mˆeme infinie) d’ouverts est ouverte.

— L’intersection de deux boules ouvertes est un ouvert, et donc. . .

— L’intersection de deux (ou mˆeme d’un nombrefinid’) ouverts est ouverte.

oo

REMARQUE 3.Ces propriétés constituent en Topologie Générale lesaxiomesqui définissent une famille d’ouverts, laquelledéfinitune Topologie.

On retiendra qu’un ouvertprot`egetous ses points en les enclosant dans une petite bulle/un airbag.

DEFINITION^´oo 15.a est un point int´erieur deA ⇐⇒ A est voisinage de a (i.e. contient une boule autour dea).

On a donc un ouvert quand tous les points sont int´erieurs.

EXERCICE20.Montrer que tout ouvert engendre (par combinaisons lin´eaires) l’espace entier.

3.1.2 Ferm´es

DEFINITION^´ 16.Un ferm´e est le compl´ementaire d’un ouvert.

oooo ooo

REMARQUE 4.On doit se douter que cette définition négative n’est pas pratique ! Les fermés sont des ensembles souvent beaucoup plus bizarres que les ouverts : par exemple, dans Rⁿ un fermé est toujours l’ensemble des zéros d’une fonction de classe C^∞. Aussi les ensembles fractals (ensembles de JULIA, CANTOR, MANDELBROT. . .) sont des fermés.

Propriétés élémentaires :

— Eet∅ sont des ferm´es.

— Toute intersection (même infinie) de fermés est fermée.

— La réunion de deux (ou même d’un nombre fini de) fermés est fermée.

3. La notion de voisinage s’étend à des espaces plus généraux que les evn.

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Exemples :

— une boule fermée Bf(a, r)est un fermé ! [si x∈complémentaire, on akx−ak> r et ∃0 < ε <

r−kx−ak. . .]

— tout point, toute partie finie, est ferm´e(e).

— une sph`ereS={x∈E|d(x, a) =r}est ferm´ee.

— Zest fermé car son complémentaire est réunion d’intervalles ouverts.

— * une boule ouverte n’est pas. . . fermée ! (considérer un point au bord, il est dans le complémentaire mais n’est pas intérieur à ce complémentaire).

EXERCICE21.Montrer qu’une boule ouverte (resp. ferm´ee) est un ouvert (resp. un ferm´e).

DEFINITION^´ 17.aest un point adhérent àA ⇐⇒ a=liman o ù(an)∈A^N. D’après le calcul des inf’s par limites de suite, on a de manière équivalente DEFINITION^´ 18.aest un point adhérent àA ⇐⇒ d(a, A) =0.

Pour les propriétés ci-dessus, on peut vérifier que les complémentaires sont ouverts, ou utiliser la (très conseillée) caractérisation séquentielle :

oooo oooo oo

TH ÉOR ÈME6. Aest fermé

⇐⇒ Aest stable par passage `a la limite,

⇐⇒ toute suite deAqui converge dansEconverge dansA,

⇐⇒ tout point adhérent àAest élément deA,

⇐⇒ d(x, A) =0 ⇐⇒ x∈A .

D émonstration. Montrons d’abord par contraposition que si A est fermé alors il est stable par passage à la limite. Supposons la non stabilité, i.e. qu’il existe une suite d’éléments de A qui converge hors deA, i.e.a_n →b /∈Aaveca_n∈A∀n. SiA était fermé,b∈B=E\Aqui est un ouvert et donc∃B(b, ε)⊂B. Mais ceci contredit la définition de la limite selon laquellea_n ∈B(b, ε)pour n assez grand. On a démontré⇒par contraposition.

Réciproquement supposonsAnon fermé, i.e.Bnon ouvert : il existe doncb∈Bqui ne soit pas un point intérieur, i.e.∀ε > 0la bouleB(b, ε)contient un élément deA. Ceci permet de construire une suite(a_n)d’éléments deAtels que||a_n−b||61/n∀n, et donc la suite(a_n)a une limite hors deA, ce qui démontre⇐par contraposition.

On a montr´e queAest ferm´e ⇐⇒ toute suite de Aqui converge, converge dans A. Le reste est

paraphrase, avec la d´efinition d’un point adh´erent.

Exemple:

— Zest ferm´e car toute suite d’entiers convergente est stationnaire.

— Qn’est pas ferm´e (dansR) car une limite de rationnels peut fort bien ˆetre irrationnelle.

— [a, b] est fermé car les inégalités larges passent à la limite. De même on retrouve qu’une boule fermée est fermée.

— A= [a, b[ n’est pas ferm´e car la suite (un = b−1/n) est dansA(pour n assez grand. . .) et converge versbqui est hors de A.

— L’ev des fonctions polynômes n’est pas fermé dansC⁰([a, b],R)muni dek k_∞car (par exemple) la fonction exp est limite de polynômes mais n’est pas un polynôme.

3.2 Int´ erieur, adh´ erence, fronti` ere

ooo

DEFINITION^´ 19.L’int´erieur A^◦ de Aest la r´eunion des ouverts inclus dans A : c’est donc le plus grand ouvert contenu dansA.

Cette définition fait sens parce que toute réunion d’ouverts reste un ouvert. On peut d’ailleurs visualiser l’intérieur de A comme la réunion des “airbags” des éléments intérieurs de A (cette propriété est donnée sans démonstration, pour faciliter l’intuition de cette notion).

(13)

oooo

PROPOSITION.A^◦ est l’ensemble des points int´erieurs deA(rappel : ceux dontAest un voisinage).

C’est aussiS

B(a, εa)o `u toutes ces boules sont contenues dansA.

DEFINITION^´oo 20.L’adhérenceAde Aest l’intersection des fermés contenant A: c’est donc le plus petit fermé contenantA.

ooo

PROPOSITION.Aest l’ensemble des points adhérents à A(rappel : les limites de suites d’éléments deA). C’est donc l’ensemble défini par l’équationd(x, A) =0.

D émonstration. D’après la caractérisation séquentielle, un fermé contenant A doit contenir les limites de suites (CV) deA. DoncAcontient au moinsAS{a⁰ =lima_n|(a_n)∈A^N}. Ce qui se réduit en fait à{a⁰=lima_n |(a_n)∈A^N}car tout point deAest limite d’une suite constante !

Reste à montrer que cet ensemble est fermé. Pour cela exceptionnellement on revient à la définition : soitBson complémentaire. C’est l’ensemble desx∈Equi ne sont PAS limite d’une suite d’éléments deA. Par la caractérisation séquentielle de d(x, A), on aB ={x| d(x, A)> 0}. Montrons que B est ouvert. Soitx∈Bet fixons0 < ε < d(x, A). Prouvons quexest intérieur àB: soity∈B(x, ε), on sait qued(x, A) −d(y, A)6ky−xk (l’application “distance àA” est lipschitzienne de rapport 1). Donc

d(y, A)>d(x, A) −ky−xk>d(x, A) −ε > 0⇒y∈B

ce qui prouve queBest ouvert, i.e.Aest ferm´e.

A noter que` A^◦⊂A⊂Aet queAest ouvert ⇐⇒ A=

◦

A, tandis que Aest fermé ⇐⇒ A=A. Ne pas confondre la notation avec celle utilisée pour le complémentaire dans le contexte des probabilités !

DEFINITION^´oo 21.On dira queAestdensedansEssiA=E; on dit queAest dense dansBssi (c’est un peu plus compliqu´e)B⊂A.

Cela signifie que tout point deBest adh´erent `aA.

On sait par exemple queQest dense dansR, et aussi dansR\Q. Le théorème de WÊIERSTRASSque les polynômes sont denses dans C⁰([a, b],R)muni de la norme de la convergence uniforme. Pour finir, on a aussi la définition de la différence entre ces deux notions, puisqueA^◦⊂A:

DEFINITION^´ 22.La fronti`ere deAest Fr(A) =A\A^◦=A∩E\A.

La frontière peut être vide, mais c’est toujours un fermé. La frontière deAest aussi la frontière de son complémentaire. Cette symétrie se voit mieux en écrivant :

E=A∪(E\A) = Fr(A)∪A^◦

∪(E\A) =

◦

A ∪Fr(A)∪

◦

E\A:

E se partitionne en deux ouverts (les intérieurs de A et de son complémentaire) et la frontière (dessiner, dans le cas d’une boule).

oooo oooo oooo oo

EXERCICE22.

— Adh´erence et int´erieur respectent l’inclusion.

— SiAest un ouvert inclus dansB, alorsA⊂B^◦.

— Énoncer une propriété analogue pour l’adhérence.

— Calculer les adhérences, intérieurs, frontières, des boules ouvertes ou fermées.

— Toutes ces notions sont invariantes par changement de normes ´equivalentes.

J’ai utilis´e un petit

LEMME DE DUALIT ´oo E.L’intérieur du complémentaire est le complémentaire de l’adhérence.

L’adhérence du complémentaire est le complémentaire de l’intérieur.

Qui résulte des définitions ! Si ! Regardez cette phrase suffisamment longtemps jusqu’ à ce qu’elle vous soit évidente (le numéro du SAMU est le 115).

(14)

Exemple:SoitAune partie convexe deE. Alors

PROPOSITION.L’int´erieur et l’adh´erence deAsont encore convexes.

D ´emonstration. L’adh´erence est le plus facile : soientx, y∈A. Alors il existe deux suites(xn),(yn)∈ A^Ntelles quexn→x, yn→y.

Soitz∈[x, y], c àd quez=λx+(1−λ)ypour un certainλ∈[0, 1]. Alorsz=limzno ùzn =λxn+(1−λ)yn, et par hypothèse ; commexn, yn∈Apar convexité on azn∈Aet doncz∈A, cqfd.

Soient maintenantx, y∈A^◦ (supposé non vide sinon il n’y a rien. . . et rien à prouver !). On a donc pour le même prix deux boulesB(x, r)et B(y, s)incluses dans A. Quitte à réduire l’un ou l’autre rayon, prenonss=r.

Soitz=λx+ (1−λ)ycomme ci- dessus, il faut montrer quez∈A^◦ (s’appuyer dans ce qui suit sur la figure 1).

Je dis queB(z, r)⊂A. En effet, soitt∈B(z, r), i.e.kt−zk< r. Alors t=z+ (t−z) =λx+ (1−λ)y+ λ(t−z) + (1−λ)(t−z)

=λ(x+ (t−z)) + (1−λ)(y+ (t−z)) et on ax+ (t−z)∈B(x, r)puisque kt−zk< r, donc x+ (t−z)∈A; de mˆemey+ (t−z)∈Aet par

convexit´e deA, t∈A, cqfd.

x

z y y+(t-z)

x+(t-z)

t=z+(t-z)

FIGURE 1 – Convexité de l’intérieur d’un convexe 3.2.1 Ouverts & fermés relatifs

Une notion difficile mais importante.

Considérons le cas particulier suivant : on a envie de regarder les boules dans un sous-espaceFde E. Ce sont, de façon naturelle, les{x∈F|ka−xk< r}, c’est à dire lesB(a, r)∩F. Plus généralement, DEFINITION^´oo 23.Un ouvert relatif à la partie Aest l’intersection de Aet d’un ouvert (de E). Idem

pour les ferm´es.

Ainsi,[0, ε[est un voisinage de 0. . . mais dansR+.

Par hérédité, on a une caractérisation des fermés relatifs :

PROPOSITIONoo .F⊂Aest ferm´edansA(relativement `aA)ssi toute suite de Fqui converge dansA converge dansF.

(15)

oo

REMARQUE 5.La restriction de la norme deE `a un sevF est une norme de F; il est heureux que les boules pour cette norme (et donc les ouverts) co¨ıncident avec les boulesrelatives.

Un exemple imagé : le lycée ARAGOrecrute dans son voisinage, qui est limité par la mer et par l’Es- pagne. Un tel voisinage est donc (en gros) un quart de cercle.

Le lycée MASSENA´ à Nice recrute sur un demi-cercle, le lycée HENRI IV à Paris recrute sur un disque entier (de très grand rayon :-) ).

4 Continuit ´ e

4.1 D´ efinition

Rien de neuf sous le soleil des evn : oooo o

DEFINITION^´ 24.fest continue ena∈A ⇐⇒

∀ε > 0 ∃α > 0 (x∈Aetkx−ak< α)⇒kf(x) −f(a)k< ε On peut mettre des in´egalit´es larges partout, sauf pourε > 0!

oooo o

EXERCICE23.Que signifierait

∀ε>0 ∃α > 0 (kx−ak< α)⇒kf(x) −f(a)k6ε ?

Cette définition généralise celle de la continuité d’applications à valeurs numériques. Elle généralise aussi celle de limite en un point selon une partie, plus délicate et rare :

4.2 Convergence en un point

On considèref:A→Fet un élément a∈Aun point adhérent. Alors oooo

oooo oooo ooo

DEFINITION^´ 25.f converge enassi il existe un`∈Ftel que pour toutε > 0il existe un voisinage dea(dansA)dont l’image est incluse dansB(`, ε), ou de fac¸on ´equivalente :

∀ε > 0 ∃α > 0 (x∈A∩B(a, α))⇒(f(x)∈B(`, ε)) ou encore :

∀ε > 0 ∃α > 0 (x∈Aetkx−ak< α)⇒kf(x) −`k< ε L’unicit´e (comme pour les suites) de cette limite autorise,quand elle existe, `a poser

x→lima,x∈Af(x) =`

Cela signifie (cf. la d´efinition en termes de voisinages) quef(x)est voisine de `pour xvoisin dea.

Attention, la logique ( ?) de la chose est en sens inverse : la précision voulue surf(x)imposeune précision surx. L’arrivée conditionne le départ⁴.

A noter que si` fest définie ena∈A, alors la seule limite possible estf(a)! (pourquoi ?) dans ce cas, on retrouve la définition de la continuité.

Revenons maintenant au cas o ù fn’est pas définie ena : on voit maintenant quef converge ena ssi on peutprolongerfffenaaapar continuité.

Autre point technique : l’application (x, y) 7→ _x2^2xy+y² n’a guère de limite en l’origine. Néanmoins, comme on le voit facilement il y a des limites (différentes !) quand on tend vers l’origine selon une droite.

DEFINITION DE LA LIMITE SELON UNE PARTIE.^´oo SoitP⊂A,a∈P. On dit quefadmet unelimite en aselonPssi la restriction def `aPadmet une limite ena.

oooo oo

EXERCICE 24.Etudier les ´eventuelles limites en l’origine´ selon les droites passant par (0, 0) de (x, y)7→ _x4^x+y²^y², puis selon les parabolesy=kx².

Idem avec(x, y)→x^y(limites sur la fronti`ere du domaine de d´efinition ?)

4. Comme pour un archer qui vise sa cible.

(16)

Ne pas se tourmenter à propos de cette définition. . . Dernier point : on va étendre ces définitions à l’infini.

On consid`eref: [a,+∞[→F. Alors oooo

o

DEFINITION^´ 27.fconverge en+∞ssi

∃`∈F|∀ε > 0 ∃A > 0 (x > A)⇒d(f(x), `)< ε D´efinition similaire pour la convergence en−∞.

On peut mˆeme ´etendre au cas d’une application de E dansF, en convenant⁵ quex → ∞ quand kxk→+∞.

Enfin, qu’est-ce qu’une application qui tendversl’infini ? Donnons la d´efinition pour−∞:

oooo o

DEFINITION^´ 28.Soitf:A⊂E→Reta∈A. On dit queftend vers−∞enassi

∀M > 0 ∃α (x∈Aetkx−ak6α)⇒(f(x)6−M)

EXERCICEoo 25.Montrer que tout polynˆomeP∈C[X]de degr´e au moins 1 tend vers l’infini en l’infini (dansC).

4.3 Image continue d’une suite

Commenc¸ons par le plus simple :

oooo o

TH ÉOR ÈME7.Si(u_n)converge vers la limiteèt sif, définie en tout point de la suite, est continue en`, alors

limf(u_n) =f(limu_n) =f(`)

On peut se contenter quefadmette une limite en`(cf. limite selon une partie).

D émonstration. Donnons une preuve à l’ancienne, à charge pour le lecteur de la réécrire avec des ε:

Pour rendref(u_n)proche def(`), il suffit, d’après la continuité def, de rendreu_n proche de`. Mais d’après l’autre hypothèse (la convergence de(u_n)) cela sera réalisé pournassez grand.

COROLLAIREoo 3.Si une suite r´ecurrente v´erifiantun+1=f(un)converge vers`, et sif est continue en`, alorsf(`) =`.

Ceci n’est

pas

^lethéorème du point fixe⁶! seulement que les limites éventuelles d’une suite récurrente sont des points fixes de l’application associée.

On a un aimable critère de convergence, ditcritère séquentiel:

TH ´ooEOR `EME 8.f converge en a selon A ssi pour toute suite (un) de A convergeant vers a, on a (f(un))qui converge.

Propriété remarquable : on n’exige même pas que toutes ces suites convergent vers la même valeur ! C’est ce qu’on s’empresse de démontrer dès le début. . .

D émonstration. Si (f(un))et (f(vn))convergent toutes deux, avecun →a et vn →a, alors la suite définie parw2n=un, w2n+1=vn converge aussi versa, et doncf(wn)converge. . . à la fois vers les limites de(f(un))et(f(vn)), qui en sont des sous-suites, qui ont donc même limite.

Par ailleurs, si tout cela est vrai, montrons que cela exige la convergence defvers la limite com- mune`de ces suites(f(un))_n∈N; supposons un peu quef ne tende pas vers`ena: alors il existe unε > 0tel que pour toutα > 0— par exemple pourα=1/n— on aurait desxn ∈A∩B(a, ε)tels quekf(xn) −`k >ε. Contradiction flagrante, car xn →a par construction. La r´eciproque vient du

th´eor`eme 7.

5. Il y a d’autres fac¸ons de mettre de l’infini sur un evn. . .

6. Il y en a beaucoup, ils expriment une condition suffisante pour qu’une application poss`ede un point fixe — et un seul.

(17)

On a le corollaire :fest continue enassi pour toute suite(un)tendant versa, on af(un)qui tend versf(a)(qui convergesuffit !).

4.3.1 Compos´ee d’applications continues

Le même critère des suites permet de démontrer le fameux théorème : PROPOSITION.La composée de deux applications continues est continue.

D’ailleurs, une suite est un cas particulier d’application. La parent´e est plus visible si l’on ´ecrit limf◦g=f(limg) = lim

t→limgf(t)

qui est une écriture équivalente, mais plus générale, de la Proposition ci-dessus.

On peut aussid ´ecomposerune application continue, quand celle-ci arrive dans un espace produit.

On l’a vu pour les suites, d’après le théorème 8 c’est pareil pour les applications :

oooo oooo

PROPOSITION.Soit fune application de AdansE×F et aadh´erent `aA, alorsfconverge ena ssi ses deux composantes convergent :

lim(f1, f2) = (limf1,limf2) De mˆeme pour un produit fini d’espaces vectoriels norm´es.

En particulier, une application `a valeurs dansKⁿ est continue ssi toutes ses composantes le sont.

Cela rappelle la propri´et´e similaire pour les suites. . . Nous en reparlerons.

4.4 Fonctions et topologie

4.4.1 Continuit´e et parties de E

On a une caractérisation de la continuité qui paraˆıt mystérieuse à moult taupins, car elle fait appel

`a l’image inverse,

f⁻¹(U) ={x∈D_f|f(x)∈U}

Le mystère tient à ce quef⁻¹n’existe pas ! en tout cas, ce n’est certainement pas une application deF (ou plutôt def(A)) dansE⁷.

oooo oooo

TH ÉOR ÈME9.Sifest continue deAdansFalors l’imageinverseparfd’un ouvert (resp. fermé) de Fest un ouvert (resp. fermé) deA.

En particulier, si f est continue de A dans R, alors les ensembles {f 6 m} et {f = m} sont ferm´es, et{f < m}est ouvert.

Démonstration : toutes les caractérisations de la continuité peuvent être utilisées, au choix !

oooo oooo

REMARQUE6.La r´eciproque est valide : si cela est vrai pour TOUT ouvert (resp. ferm´e), alorsfest continue.

En effet, l’imageinversedeB(f(a), ε), qui est un ouvert contenanta, contient donc une boule B(a, α), ce qui paraphrase la définition même de la continuité.

Exemple:

— le groupe des matrices inversibles est ouvert (det∈K^∗), le groupe spécial linéaire (déterminant

= 1) est ferm´e car Det est continue.

— Une hyperbole commey=1/xest ferm´ee : image inverse de{1}par(x, y)7→x×y. notez que l’imagedirectede ce ferm´e par l’application continue(x, y)7→xest un ouvert !

— Ceci se g´en´eralise au graphe d’une appli continue (annuley−f(x)).

— Zest fermé (dernière dem !) car ensemble des zéros dex7→sin(πx).

4.5 Op´ erations sur les limites

Considérons des fonctionsf, g, ϕ de Adans F, F et K respectivement. Alors si ces trois fonctions convergent ena∈A, il en est de même def+λg, ϕfet, sous la forme la plus générale :

lim(f+ϕg) =limf+limϕlimg

7. C’est bien une application, mais deP(F)dansP(A)i.e. elle envoie une partie deFsur une partie deA.

(18)

DoncC⁰(A, F)est un ev, et mˆeme une alg`ebre siF=K.

On a aussi la continuité des applicationskfk (composée) et, si ϕ tend vers une limite numérique non nulle, de1/ϕ, ainsi donc que d’applications commef/kfk l à o ùfne s’annule pas. . .

oooo o

EXERCICE26.Montrer que pourf∈ C⁰(E,R)et 06α < 1, on peut d´efinir une application continue parg= f

|f|^α etg=0 quandf=0.

4.6 Applications lin´ eaires continues

Les applications linéaires sont bien plus simples que les autres. Les liens privilégiés entre norme et structure d’espace vectoriel permettent d’espérer une simplification des critères de continuité, pour les applications linéaires.

Remarquons déj à que la continuité en un point quelconquea équivaut à la continuité en~0, puisque f(x) −f(a) =f(x−a)quandfest linéaire.

4.6.1 Caract´erisation des applications lin´eaires continues

oooo o

TH ´EOR `EME10.L’applicationf∈ L(E;F)est continue ssi

∃M > 0∀x∈E kf(x)k6M.kxk. (C)

En résumé, la continuité, pour une application notoirement linéaire, se résume à “la lipschit- zianéité en 0”. Attention,Mest indépendant dex!

D émonstration. L’inégalité(C)prouve quefest lipschitzienne et donc continue : kf(x) −f(a)k=kf(x−a)k6M.kx−ak→0quandx→a Réciproquement, supposonsfcontinue. En particulierfest continue en 0 :

∀ε > 0∃α > 0(kxk6α)⇒(kf(x)k6ε) Soit alorsy6=0et posonsM= ε

α. Il vient kf(y)k=kf

kyk α α y

kyk

k=kkyk

α f(x)k= kyk

α kf(x)k6kyk

α ×ε=Mkyk puisquex=α y

kyk est de norme [inférieure ou] égale àα.

Exemple:consid´erons l’application P 7→ P(1) sur E = C[x]. C’est une forme lin´eaire. Quand on munitEde la normek k_∞=Sup[0, 1], elle est clairement continue (et 1–lipschitzienne).

Mais pour la normeP7→kPk1=R1

0|P|, elle n’ est PAS continue : en effet, la suite(n+1)Xⁿest born´ee

pour cette norme, mais ses valeurs en 1 ne le sont pas : l’application n’est donc pas lipschitzienne, donc pas continue. Comme on le voit,la continuit ´e d’une application d ´epend de la norme choisie.

On s’en doute, elle reste la mˆeme avec des normes ´equivalentes.

4.6.2 Cas des applications bilin´eaires

Mutatis mutandis, tout se passe comme pour les applications lin´eaires.

oooo o

TH ÉOR ÈME 11.L’application bilinéaireBdeE×F dansG est continue ssi il existe une constante Mtelle que

∀(x, y)∈E×F kB(x, y)k6M.kxk.kyk EXERCICE27.Montrer au moins l’implication⇐.

Ceci se généralise sans douleur aux applications tri-, multi-linéaires.

De façon générale, tous lesproduitsque nous rencontrons en mathématiques seront continus :

(19)

oooo ooo

COROLLAIRE4.Les applications suivantes sont continues :

— Le produit externe(λ, x)∈K×E→λ.x.

— Le produit interne(u, v)→u.vdans une alg`ebre norm´ee.⁸

— Le produit scalaire dans un espace pr´ehilbertien (via CAUCHY-SCHWARZ).

Exemple:Anticipant sur le fait qu’en dimension finie, linéaire ⇒ continu, par multilinéarité du déterminant par rapport à ses colonnes, on a (pour toute norme surRⁿ)

∃k > 0,∀C₁, . . . C_n∈Rⁿ, |Det(C₁, C₂. . . C_n)|6kkC₁k. . . .kC_nk

En particulier pour la norme 2 on a le fait remarquable quek = 1 : c’est la fameuse (et délicate) inégalité de Hadamard.

(20)

5 La compacit ´ e

5.1 Parties compactes

Commençons par les propriétés vraies dans tout evn.

5.1.1 D´efinition s´equentielle

DEFINITION^´oo 29.Un compact est une partieKdeEtelle que toute suite deKadmette une sous-suite convergentedansK.

Par exemple, toute partie finie est compacte, d’apr`es le principe des chaussettes (pigeon-holes, ou tiroirs).

5.1.2 Compacts et ferm´es

PROPOSITION.Tout compact est ferm´e et born´e.

La r´eciproque est fausse en dimension infinie : consid´erer les suitesεk= (0, 0, 0, . . . 0, 1, 0, 0, . . .)dans

`^∞. Elle forment une suite de la sphère unité fermée, qui n’a pas de sous-suite convergente.

D émonstration. Fermé, par définition, puisque la limite de toute sous-suite d’une suite convergente (qui n’est autre que la limite de la suite) doit être dans le compact.

Born´e, car sinon on peut construire par r´ecurrence une suite(un)dans la partie telle que n6=m⇒d(un, um)>1

D’une telle suite, mˆeme Einstein ne saurait extraire une sous-suite convergente.

PROPOSITIONoo .Tout fermé d’un compact est compact, et réciproquement tout partie compacte d’un compact y est fermée..

On le voit en consid´erant les suites dans cette partie.

Autrement dit, on obtient les compacts inclus dansKencoupantKpar des ferm´es.

PROPOSITION.Le produit de deux compacts est compact.

Bien entendu, cela signifieun compact de l’espace produit muni de la norme produit. Exemple : un rectangle[a, b]×[c, d]dansR². La d´emonstration qui suit est simple, mais `a connaˆıtre parfaite- ment.

D ´emonstration. Soient A et B deux compacts de E et F respectivement. On consid`ere une suite (an, bn)dansA×B⊂E×F.

Extrayons une sous-suite convergente de (an)_n∈N, soit (an_p)_p∈N. Il ne sert de rien de faire de même séparément pour l’autre membre, car les deux sous-suites d’indices peuvent n’avoir rien de commun. En revanche, observons que(bn_p)_p∈N est une suite dans le compactB : on peut en extraire(bn_pq)q∈N, convergente. Joie ! La sous–sous–suite (an_pq)q∈N, qui est une sous–suite d’une sous–suite convergente, est elle aussi convergente. Donc

(an_pq, bn_pq)q∈N est une sous–(sous– ! !)suite convergente de(an, bn)n∈N

EXERCICE28.Le produit de deux ferm´es est-il un ferm´e ? oooo

REMARQUE7.Par une récurrence immédiate, le produit dencompacts est encore compact. En fait (théorème de TYCHONOFF) cela reste vrai pour un produit quelconque, le problème étant de savoir quelle topologie mettre sur un produit d’une infinité d’espaces (métriques).

(21)

5.2 Compacit´ e et autres propri´ et´ es

5.2.1 Compacit´e et conitnuit´e

TH ´ooEOR `EME 12.L’image continue d’un compact est compacte : si K est compact dans E et f est continue deEdansFalorsf(K)est compact dansF.

La d´emonstration est imm´ediate, avec les suites par exemple :

D émonstration. Dans ces hypothèses, soit (f(u_n))_n une suite de f(K). Alors la suite (u_n)_n de K admet une sous-suite CV(u_n_p)_p, par continuité son image (f(u_n_p))_pest une SSCV de(f(u_n))_n (et

la limite reste dansf(K)).

oooo ooo

REMARQUE8. • Ce n’estpas du tout une caractérisation de la continuité. Considérer la fonction caractéristiqueχ_Q!

• Ne pas confondre avec les imagesinverses (de ferm´es/ouverts). Faire l’exercice d’application suivant.

oooo oooo oooo oo

EXERCICE29.(Centrale 2018)

SoitKl’ensemble des matrices2×2dont les valeurs propres sont de module 1.

A toute matrice` Mon associe le couple(TrM,DetM). On rappelle/pr´evient que TrMest la somme des deux valeurs propres etDetMest leur produit.

En d´eduire quef(K)est compact.

Montrer queK=f⁻¹(f(K)). En d´eduire queKest ferm´e.

En particulier, l’image continue d’un compact est toujours born´ee, et on a le corollaire essentiel : COROLLAIRE5.Une application continue d’un compact dansRest born´ee et atteint ses bornes.

Ceci montre l’existence de tout un tas de maxima et minima de fonctions, sous la seule condition qu’elles soient continues sur une partie compacte adéquate. Un exemple moins trivial : le problème de FERMAT(cf. exos). Une généralisation parfois utile : pour une application continue deAcompact dansE, il existea∈Atel que∀x∈A||f(x)||6||f(a)||(idem avec>bien s ûr)

oooo oooo oooo

TH ´EOR `EME DE HEINE.

Toute application continue sur un compactKy estuniform´ementcontinue, c’est `a dire que

∀ε > 0 ∃α > 0 ∀x, y∈K kx−yk6α⇒kf(x) −f(y)k6ε (propriété plus forte que la continuité ordinaire)

D émonstration. Par l’absurde. Considérons une application continue sur le compactK, qui ne soit pas uniformément continue : d’après la définition de cette notion, cela signifie

∃ε > 0 ∀α > 0 ∃xα, yα kxα−yαk6αmaiskf(xα) −f(yα)k>ε

Cela n’a rien d’indécent : pour l’applicationx7→x²deRdans lui-même, on peut avoir|x²−y²|>1pourxety très proches, e.g.x=y+1/y, à condition qu’ils soient proches de l’infini.

Choisissonsαde la forme1/n: alors on d´efinit ainsi deux suites(xn),(yn)telles quekxn−ynk61/n etkf(xn) −f(yn)k>1.

Le bˆat blesse quand on se souvient que l’on peut extraire une suite convergente de(xn, yn)qui se d´eplace dans le compactK×K. On aura donc

xn_p→x yn_p→y et xn_p−yn_p→0 d’o `u x=y Mais par continuit´e on devrait avoir

f(xn_p)→f(x) =f(y) =limf(yn_p)

alors que∀p kf(xn_p) −f(yn_p)k>1 : contradiction.

(22)

Ce théorème sert surtout à prouver d’autres théorèmes (cf. l’approximation d’une fonction continue par une fonction en escalier, qui donne la méthode des rectangles).

5.2.2 Compact et convergence

TH ´ooEOR ÈME 14.Une suite à valeurs dans un compact est convergente ⇐⇒ elle possède une uniquevaleur d’adhérence.

NB : par définition de la compacité toute suite en possède au moins une. Par ailleurs toute suite convergente a une unique v.a., sa limite. Il reste donc seulement à démontrer qu’une suite divergente, à valeurs dans un compactK, possède au moins deux v.a. distinctes.

D émonstration. Soit donc une suite(un)divergente à valeurs dans le compactK: de ce fait 1. il existe une valeur d’adhérencea∈K, et donc une sous-suite convergeant versa.

2. Mais(u_n)6→a, donc par d´efinition de la convergence

∃ε > 0∀N∃n > Nku_n−ak>ε (])

Ceci signifie que si l’on numérote les éléments de la suite “éloignés de a” au sens de l’inégalité précédente :un₀, un₁, . . . un_p, . . ., leur séquence est infinie (sinon il existerait un Maxnp). Or p7→ un_p est une sous-suite de(un), donc une suite dansK. Elle possède de ce fait une v.a.b: il existe une sous-sous-suite ( !)un_pq →b.

Par passage `a la limite dans(])il vientkb−ak>ε.Orbest aussi une v.a. de(un): on a bien exhib´e

deux v.a. distinctes de la suite.

NB : pour une suite qui n’est pas dans un compact c’est FAUX. Mˆeme dansR, la suite(n (−1)ⁿ+1

n

a la seule v.a. 0 bien que divergente. Plus sophistiqu´e, la suite born´ee des applicationsεn :t7→e^nit (pour la normek k_∞= Sup

[0,2π]

par exemple) n’a aucune v.a. du tout. . .

5.3 Compacts en dimension finie

Commençons par un exemple, dans un espace de dimension n rapporté à une base : la boule unité (en fait, l’hypercube) pour la norme sup estB={x∈E|∀i=1 . . . n|xi|61}o ù les(xi)sont les coordonnées dex.

Sous cette forme, on voit bien que B = [−1, 1]ⁿ est le produit de n segments [−1, 1], qui sont compacts⁹, doncBest compacte.

Le critère des fermés d’un compact permet d’en déduire que la sphère unité elle aussi est compacte.

Ceci va se généraliser ci-dessous en un théorème immensément gratifiant : TH ÉOR ÈME15.En dimension finie, tout fermé borné est compact.

C’est la réciproque de la Proposition 5.1.2. C’est aussi une forme du théorème de BOLZANO- WEIERSTRASS, et on le démontrera infra. Attention que dans K[X], par exemple¹⁰, la boule unité n’est pas compacte. En fait (Thm de RIESZ, h.p.) le théorème 15 caractérise la dimension finie.

6 Le cas de la dimension finie

En dimension finie, bon nombre des notions étudiées précédemment se simplifient : le tout premier théorème énoncé affirme l’équivalence detoutesles normes. En conséquence, pratiquement toutes les notions topologiques seront valables pour n’importe quelle norme, sans qu’il soit nécessaire de la préciser.

Il en résulte aussi entre autres choses une simplification de la notion de compacité, et la continuité de toute application linéaire.

9. D´emontr´e en Sup, par dichotomie.

10. Norme au choix.

(23)

6.1 Equivalence des normes ´

C’est LA propri´et´e fondamentale.

TH ÉOR ÈME16.En dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.

La d´emonstration est purement technique (non exigible !).

D ´emonstration. On va prendre une base et comparer une norme quelconqueN `a la norme x= (xi) =

Xn i=1

xiei7→ Sup

i=1...n

|xi|

Dans un sens :

N(x) =N(

Xn i=1

xiei)6 Xn i=1

N(xiei) = Xn

i=1

|xi|.N(ei)6kxk.

Xn i=1

N(ei) =M.kxk

Dans l’autre, il nous manque une expression explicite de la normeN! On va user (et ruser) d’arguments de compacit´e.

L’applicationN, de(E,k k)dansR, est donc continue (et même lipschitzienne de rapportM). La sphère unité pourk k étant compacte,Ny atteint un minimum m, strictement positif puisque atteint en un vecteur non nul.

On a donc pourkxk=1,m6N(x). On en d´eduit ais´ement

∀x∈E m.kxk6N(x)6M.kxk

C’est ce que l’on voulait d´emontrer.

oooo oooo o

EXERCICE 30.Trouver la meilleure constante possible pour comparer, dans tous les sens pos- sibles, les normes canoniques surKⁿ :

kxk1=X

|xi| kxk2=

qX

|xi|² kxk_∞=Sup|xi|

En conséquence, il n’est pas nécessaire de spécifier la norme pour parler de topologie d’un evn de dimension finie ! Les notions de parties : ouvertes, fermées, bornées, compactes, d’intérieur, d’adhérence ou frontière, la convergence des suites, leurs valeurs d’adhérence, la continuité des fonctions. . .ne d épendent pas de la norme choisie.

6.2 Applications lin´ eaires en dimension finie

PROPOSITION.Toute application lin´eaire d’un evn de dimension finie dans un autre est continue.

oooo ooo

REMARQUE9.On peut toujours supposer que l’espace d’arrivée est de dimension finie, car l’image d’une application linéaire est de dimension inférieure ou égale à celle de l’espace de départ (théorème du rang). Mais il peut aussi demeurer de dimension infinie, l’important est que l’espace dedépartsoit de dim. finie.

D ´emonstration. Prenons une base de l’espace de d´epart. Soit alorsx= Pn i=1

x_ie_i, on a

kf(x)k=

Xn

i=1

xif(ei)

6 Xn

i=1

|xi|kf(ei)k6 Sup

i=1...n

|xi| Xn

i=1

kf(ei)k

ce qui d´emontre quekf(x)k6M.kxk, avecM= Pn i=1

ke_iketkxk= Sup

i=1...n

|x_i|.

Le r´esultat reste vrai pour toute autre norme : elles sont ´equivalentes !

Il en est de même des applications bi– ou multilinéaires (admis sans démonstration).