3 Maths Série d’exercices :

Série d’exercices : Angles orientés 3

^ème

Maths

Proposée par Boukadida Tahar

^2015/2016

Dans tous les exercices le plan est orienté dans le sens direct

Exercice 1 :

Soit , et trois vecteurs non nuls . Répondre par vrai ou faux en justifiant la réponse : 1) Si ≡

alors et sont orthogonaux

2) Si 2 ≡

alors ≡

3) 2 ≡

4) Si A’, B’ et C’ sont les images respectives de A , B et C par une homothétie de rapport k.

Alors ≡ .

Exercice 2 :

Soit ABC un triangle tel que AB=4 ,



^{AB , AC}



^44π

^{ }

2π   et   BC ,  BA

 

^95π

^{ }

2π  

3 6

  

1) Donner la mesure principale de ( , ) et ( , ) puis faire une figure.

2) Montrer que le triangle ABC est isocèle en A.

Exercice 3 :

Soit ABC un triangle rectangle en A tel que



^{BC , BA}



^{ 23}₆ ^{π 2π}  

^{ }

1) a) Donner la mesure principale de l’angle orienté ( , ) et faire une figure.

b) Donner la mesure principale de l’angle orienté ( , ).

2) Soit D le point tel que CBD soit un triangle équilatéral de sens indirect.

Donner une mesure de l’angle ( , ) en déduire que (CA) et (DB) sont parallèles.

3) On désigne par I le milieu de [CB] , J le milieu de [BD] etC le cercle circonscrit à ABC.

Donner la mesure principale de l’angle orienté ( , ).

Exercice 4 :

Soit un triangle ABC rectangle en B tel que



^{AC , AB}



^{ 23 π}₃

^{ }

^2π et AC = 4

1) Déterminer la mesure principale de l’angle orienté puis tracer le triangle ABC.

2) Placer les points D et E tels que :

 

^{ }

AB , AD 2π 2

3 AB AD



 



  et



 ^{ }

CA , CE π 2 2 CB CE



 



  

3) a) Déterminer la mesure principale de chacun des angles orientés et b) En déduire que les points E , B et D sont alignés

4) Le cercle C de centre A et de rayon AC coupe (BC) en T

a) Déterminer l’ensemble des points M du plan tels que ≡ b) Soit H un point de l’arc orienté CT distinct de C et T .

Déterminer la mesure principale de l’angle orienté .

Exercice 5 :

Soit A et B deux points et E =A * B . Déterminer et représenter les ensembles suivants : ^{1 M} Plan tel que



,



2

^{ }

; ² M Plan tel que



,



2

^{ }

4 6

MA MB   MB MA  

   

       

   

^{3 M} Plan tel que



,



² 2

^{ }

; ⁴ M Plan tel que



,



2

^{ }

3 3

ME BM   MA AB  

   

       

   

Proposée par Boukadida Tahar

^2015/2016

Exercice 6 :

Soit ABC un triangle rectangle en B tel que ^

 

^2

 6 .

1) Placer les points E et F tels que ^_



^{AB , AEAB}



^{ AEπ}₂

^{ }

^2 et ^_



^{AC , AFAC}



^AFπ₂

^{ }

^2

2) Montrer que les triangles et sont isométriques.

3) a) Montrer que



^{CE , BF}

 

^{ CE , CA}

 

^{ FA , BF}



^{ }₂

^{ }

^{2 .}

b) En déduire que ( ) et ( ) sont perpendiculaires.

4) Calculer la mesure principale de chacun des angles orientés : ( , ) et .

Exercice 7 :

Soit ABC un triangle tel que



^{AB AC,}



^{ }₂

^{ }

² et AB=AC=3.

1) Soit E le point tel que



^{AC AE,}



^37₆^{ }

^{ }

² et AC = AE

a) Déterminer la mesure principale de ( , ) puis construire le point E.

b) Placer le point D tel que



^{BD BA ,}



^{  }₃

^{ }

² et BD = BA .

c) Déterminer la mesure principale de chacun des angles ( , ) et ( , ) . d) Montrer que les points E , A et D sont alignés.

2) Montrer que ≡ [2 ]

Exercice 8 :

Dans la figure ci-contre ABCD est un quadrilatère inscrit dans un cercle

(Γ)

. 1) Exprimer à l’aide de .

2) En déduire que si ABCD est un parallélogramme alors ABCD est un rectangle.

3) La parallèle à (CD) passant par B coupe

Γ

en E.

Montrer que ≡ .

Exercice 9 :

Soit ABC un triangle isocèle en A et C son cercle circonscrit de centre O. Soit M un point de C distinct de A, de B et de C , la perpendiculaire à (AM) passant par C coupe (BM) en I.

1) a/ Montrer que 2 ≡ 2 . b/ Montrer que 2 ≡ 2 . c/ En déduire que 2 ≡ 2 . 2) Montrer que 2 ≡ .

3) a/ Soit N un point du cercle de centre A et de rayon AB distinct de B et de C.

Montrer que 2 ≡2 . b/ En déduire que AI = AB.