21novembre2010 Compositionn 3 Mathématiques

Lycée Jean-Baptiste Say PCSI

Mathématiques

Composition n ^o 3

21 novembre 2010

de 9h15 à 12h15

Géométrie plane et équations différentielles

Ï L’usage de la calculatrice est interdit durant l’épreuve.

Ï Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.

Ï Si le candidat découvre en cours d’épreuve ce qu’il croît être une erreur d’énoncé, il le préci- sera dans sa copie.

Ï L’épreuve comporte un problème de géométrie et trois exercices sur les équations différen- tielles.

Paris XVI^e 2010-2011

Composition de Mathématiques n^o3 PCSI 2010-2011

Problème

Formule de Stewart et applications à la géométrie du triangle

On notePl’ensemble des points du plan etPl’ensemble des vecteurs du plan.

Ï SoitD une droite deP, on rappelle que la donnée d’un vecteur directeur#–_{u de}D _{de norme} égale à un permet d’orienter cette droite et de définir les mesures algébriques de la manière suivante : pour tout couple de points (A,B) de la droiteD_{, on pose}

AB=







0 si A=B

+AB si # –

AB et#–_u sont de même sens

−AB si # –

AB et#–_u sont de sens contraires Ï On remarquera que, pour tous pointsAetB de la droiteD_{, on a}

# –

AB =AB·#–_u

Ï On rappelle la relation de Chasles pour les mesures algébriques :

∀M,N,P∈D_{, M N=MP+P N}

On se propose d’établirla formule de Stewart(partie 1) et d’en donner une application classique (partie 2). La partie 3 est indépendante de la partie 1 ; on y démontrerale théorème de

Steiner-Lehmusà partir du résultat de la partie 2.

Partie 1 — La formule de Stewart

SoientA,B etCtrois points deux à deux distincts et alignés du plan, on oriente (AB) deAversB, i.e. on choisit #–_{u =} ^{# –AB}

AB. On noteΨet f les applications suivantes : Ψ : P _−→P

M 7−→BC·# –

M A+C A·# –

MB+AB·# – MC

et f : P_−→R

M 7−→BC·M A²+C A·MB²+AB·MC²

1. Montrer que

∀M,N ∈P_{, Ψ(M)=Ψ(N)} 2. Montrer que

∀M,N ∈P_{, f(M)=f(N)+2}# – M N·Ψ(N) 3. Vérifier queAest le barycentre du système

n

(B,C A) , (C,AB)o 4. En déduire queΨest nulle et f constante.

5. Démontrer la formule de Stewart :

∀M∈P_{, BC·M A}²_{+C A·MB}²_+AB·MC²_{+AB·BC·C A=0}

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Composition de Mathématiques n^o3 PCSI 2010-2011

Partie 2 — Longueur d’une bissectrice intérieure

SoitABC un vrai triangle du planP_{. On pose}R_=(A,# – AB,# –

AC) et on note classiquement BC=a,AC=betAB=c. On note∆Ala bissectrice intérieure deABC issue du pointA. Les coordonnées et les équations seront données dans le repèreR_.

1. Déterminer des équations de∆Aet (BC) dansR_. REMARQUE–On remarquera que_w#–₌

# – AB AB +

# – AC AC =

# – AB

c +

# – AC

b est un vecteur directeur de∆A. 2. Montrer que l’intersection∆A∩(BC) est réduite au point

Z µ b

b+c, c b+c

¶

3. On oriente (BC) deBversC. 3.a. Vérifier queb·# –

B Z =c·# – ZC. 3.b. En déduire que

Z B ZC

= −c

b, B Z BC

= c

b+c, ZC BC

= b b+c 4. En appliquant judicieusement la formule de Stewart, montrer que

AZ= s

b·c·(b+c+a)·(b+c−a) (b+c)²

Partie 3 — Théorème de Steiner-Lehmus

Cette partie a pour objet d’établir lethéorème de Steiner-Lehmus: un vrai triangle est isocèlesi et seulement siil possède deux bissectrices intérieures de même longueur.

1. Justifier qu’un vrai triangleABC isocèle enApossède deux bissectrices intérieures de même longueur.

2. SoitABC un vrai triangle. On reprend les notations de la deuxième partie. Soit∆B la bissectrice issue deBetY le point d’intersection de∆B et (AC).

2.a. Donner les expressions deAZ etB Y en fonction dea,betc. 2.b. Etablir que

AZ²−B Y²=c·(a+b+c)·(b−a)·(a+b+c)·¡

a·b+c²¢

+2·a·b·c (c+a)²·(c+b)²

3. Montrer qu’un vrai triangle possèdant deux bissectrices intérieures de même longueur est isocèle.

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Composition de Mathématiques n^o3 PCSI 2010-2011

Exercice 1 — Une EDL d’ordre deux

Résoudre surRl’équation suivante

y^′′−2y^′+2y=e^x·sin(x)

Exercice 2 — Une EDL d’ordre un

Résoudre surR^∗+puisR^∗−l’équation

(E) : |x| ·y^′+(x−1)·y=x²

Exercice 3 — Un changement de fonction

Soit l’équation

(E) : (x²+1)·y^′′−2·y=0

1. Etablir qu’uneéventuellesolution polynomiale et non nulle de (E) est nécessairement de degré deux.

2. Trouver une solution polynomiale et non nullepde (E).

3. Justifier qu’une fonctionydeux fois dérivable deRdansRpeut s’écrire sous la formey=p·z oùzest une fonction deux fois dérivable deRdansR.

4. Montrer qu’une fonctiony:R−→Rdeux fois dérivable est solution de (E)si et seulement sila fonctionZ=z^′(oùzest définie comme à la question précédente) est solution d’une équation différentielle linéaire d’ordre un, notée (E^′), à préciser.

5. Résoudre (E).

THE END

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