Problème des bissectrices.
Problème : Démontrer qu’un triangle dont deux bissectrices intérieures sont égales est isocèle.
Solution :
Désignons par a, b, c les angles du triangle ABC et supposons que a < b < c. (0) Alors on a pour les côtés
BC < CA < AB (1)
(pour la démonstration de ce lemme, voir en fin de document)
1) Calculons la longueur des bissectrices.
Projetons orthogonalement B et C sur AA’, respectivement en E et F.
AE = AB cos (a/2) (2) AF = AC cos (a/2).
(3)
Donc FE = (AB-AC) cos (a/2). (4) Les triangles A’FC et A’EB étant homothétiques, A’ partage FE dans le même rapport que CB. Donc
AC AB FE AC
FA'
= × + (5)CB (a/2) AC AC)
(AB
FA'
= − cos × (6)et enfin, en combinant (3) et (6) AA’ = AF + FA’ = (AC +
AC AB AC) AC
(AB
− × + ) cos (a/2) (7)=
AC AB
AC).AC (AB
AC) AC.(AB
+
− +
+ cos (a/2) (8)
AA’ = cos(a/2)
AC
AB 2AB.AC
+ et deux formules similaires pour BB’ et CC’ (9a,b,c) 2) Comparons les bissectrices.
Commençons par AA’ et BB’. Posons
AC AB 2AB.AC
+ = mA et
BC BA 2BC.BA
+ = mB . On a donc AA’ = mA cos(a/2) et BB’ = mB cos (b/2).
a) Comparons d’abord les cosinus. Ils sont tous deux > 0 car a/2 , b/2 sont < Π/2.
E:\Jean\math\mathX\bissegal\bissectricesGG52.doc
2 On tire de (0)
a/2 < b/2 d’où (9)
cos(a/2) > cos (b/2) (10)
b) Ensuite, comparons les multiplicateurs mA et mB en faisant leur différence.
mA - mB =
BA) AC)(BC (AB
AC) 2BC.BA.(AB BA)
2AB.AC.(BC BA
BC 2BC.BA AC
AB 2AB.AC
+ +
+
−
= +
− +
+ (11)
Le numérateur se simplifie en 2 AB².AC – 2 AB². BC (12)
puis en AC-BC qui d’après (1) est positif.
Donc mA > mB. (13)
c) On déduit de (10) et de (13) que AA’ > BB’ (14a)
On trouverait de même BB’ > CC’ (14b)
Donc finalement AA’ > BB’ > CC’ (14c)
Les trois bissectrices sont donc de longueurs différentes. Si elles étaient égales, le triangle ne pourrait pas avoir trois côtés de longueurs différentes et il serait donc isocèle (ou équilatéral).
Lemme préliminaire.
Démontrons que (0) : a < b < c entraîne (1) : BC < CA < AB.
On a
BC = 2R.sina (15a)
CA = 2R.sinb (15b)
AB = 2R.sinc = 2R.sin(Π-a-b) = 2R.sin(a+b), (15c) R étant le rayon du cercle du cercle circonscrit au triangle.
Si c < Π/2 les trois angles sont < Π/2 et on en en déduit aussitôt (1) Si c > Π/2, (a+b) < Π/2
Les angles (a+b) et a étant tous deux < Π/2 sin(a+b) > sina et donc d’après (15a) et (15c)
AB > BC (16)
De (15a) et (15b) on déduit immédiatement
BC > CA (17)
d’où (1).
