D10296. Bissectrices ´egales Montrer g´eom´etriquement qu’un triangle

D10296. Bissectrices ´ egales

Montrer g´eom´etriquement qu’un triangle ABC dont les bissectrices int´e- rieures BB⁰ etCC⁰ sont de mˆeme longueur est isoc`ele.

Solution de Bernard Legrand

La cl´e de la d´emonstration consiste `a faire ex´ecuter au triangleCBB<sup>0</sup>de la figure 1, un petit ”ballet” qui voit son sommet B venir enC<sup>0</sup>, son sommet B<sup>0</sup> venir en C (ceci est possible puisque BB<sup>0</sup> = CC<sup>0</sup>) et son sommet C, apr`es une pirouette autour de la droiteCC⁰, venir se placer dans celui des deux demi-plans d´efini par la droiteCC⁰ qui ne contient pasB. On obtient alors la figure 2, o`u les sommets du triangle BB<sup>0</sup>C sont d´esign´es comme sur la figure 1 mais mis entre parenth`eses. On joint B `a (C).

Les angles BC⁰(C) et BC(C) valent π−x−y, et comme x+y < π/2 (puisqu’´evidemment 2x+ 2y < π), ils sont obtus. Le cˆot´e BC est donc le plus grand des cˆot´es dans chacun des deux trianglesBC⁰(C) etBC(C). Ces deux triangles ayant deux cˆot´es ´egaux [BCest ´evidemment ´egal `a (B)(C)]

et l’angle oppos´e au plus grand de ces cˆot´es ´egal, sont ´egaux (quatri`eme cas d’´egalit´e des triangles). On en d´eduit, par exemple, que BC⁰(C)C est un parall´elogramme, donc que 2x= 2y, c.q.f.d.

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