4ème GEOMETRIE COURS-Ex
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2.6 Triangle rectangle et cercle
Triangle rectangle et médiane : propriété
théorème : Si un triangle est rectangle, alors la médiane issue du sommet de l’angle droit mesure la moitié de l’hypoténuse.
réciproque : Si, dans un triangle, une médiane issue d’un sommet mesure la moitié du côté opposé, alors ce triangle est rectangle en ce sommet
Cette propriété, résumée dans l’encadré de droite, signifie donc que [triangle non rectangle] équivaut à [égalité non respectée].
démonstration du théorème :
A, B et C sont trois sommets d’un rectangle ABDC dont les diagonales [AD] et [BC]
se coupent en leur milieu O. Or, dans un rectangle, les diagonales sont de même longueur.
Donc OA = OB = OC = OD.
démonstration de la réciproque :
notons a, b et c les mesures des angles aux sommets A, B et C.
OAB étant isocèle en O, l’angle BAO vaut b ; OAC étant isocèle en O, l’angle CAO vaut c. Ainsi : a = b + c.
Or, la somme des angles du triangle ABC valant 180°, (b + c) + b + c = 180°. Donc a = b + c = 90° !
(on pouvait aussi définir le parallélogramme ABDC, s’apercevoir que ses diagonales sont de même longueur, et en conclure que ABDC est un rectangle).
Conséquence : triangle rectangle et cercle
Soit un cercle de centre O dont [BC] est un diamètre.
La propriété ci-dessus nous permet d’énoncer :
Les points A tels que le triangle ABC soit rectangle en A sont tous les points de ce cercle (hormis B et C).
(cette propriété peut servir de définition à un cercle !)
Si un point A est extérieur au cercle, l’angle BAC est aigu, et s’il est intérieur au cercle, alors l’angle BAC est obtus.
* Le centre du cercle circonscrit d’un triangle rectangle est le milieu de son hypoténuse.
* Un triangle est rectangle si, et seulement si, le centre de son cercle circonscrit est le milieu d’un de ses côtés.
Exercices
1) Soit ABC un triangle isocèle en A ; soit le point B’ tel que A soit le milieu du segment [BB’]. Montrer que le triangle BB’C est rectangle en C.
2) Vrai ou faux ? Dans le triangle ABC rectangle en B, la médiane issue du sommet A mesure la moitié de BC.
3) Soit ABCD un losange dont les diagonales se coupent en I. Démontrer que le cercle de diamètre [AB]
passe par I.
4) Soit un triangle quelconque ABC. Tracer le cercle de diamètre [AB] et le cercle de diamètre [BC]. Ces deux cercles se croisent en B et en un deuxième point : D. Démontrer que A, C et D sont alignés.
O
= =
⇔
OA OB OC
ABC rectangle en A
B
O
C A
