Nombres copmlexes TP-AVEC CORRECTION -terminale PH

TP MATHEMATIQUES NOMBRES COMPLEXES TERM STI-STL -2009-2010 Exercice 1

Soit les nombres complexes :z₁ 2 6i ; ^z₂ ^{ 2 2i} et ¹

2

Z z

 z 1. Écrire Z sous forme algébrique .

2. Donner les modules et arguments de ^z₁, ^z₂ et Z. Donner la forme exponentielle de ^z₁, ^z₂ et Z. 3. En déduire ^cos

12



 

 

 et ^sin 12



 

 

 

4. Le plan est muni d’un repère orthonormal ; on prendra 2 cm comme unité graphique.

On désigne par ^M₁, ^M₂ et ^M₃ les points d’affixes respectives ^z₁, ^z₂ et Z.

Placer le point ^M₂, puis placer les points^M₁et ^M₃ en utilisant la règle et le compas (on laissera les traits de construction apparents).

Exercice 2

On considère les nombres complexes : ^{1 2 3}

2

3 3 1 2

z i z i z

      z . Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal ( ; , )O u v 

d'unité graphique 2 cm.

1. Mettre le nombres z3 sous forme algébrique .

2. Calculer le module et un argument de z1, z2 et z3 , puis en déduire leur forme trigonométrique.

3. Placer les points A, B et C d'affixes respectives z1, z2 et z3 . 4. Démontrer que le triangle BOC est rectangle en O.

5. Déterminer l'affixe z4du point D pour que le quadrilatère OADC soit un parallélogramme.

on mettra le nombre complexez4sous la forme algébrique.

Exercice 3

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct ( ; , )O u v 

(unité graphique 2cm).

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument / 2

On considère les nombres complexes z_A 1i 3 ; z_B  2i 2 et

B A

C z

z z

 2

a) Ecrire zC sous forme algébrique.

b) Ecrire zA , zB et zC sous forme trigonométrique.

c) En déduire les valeurs exactes de

12 cos5

et 12

sin5 Exercice 4

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct ( ; , )O u v 

(unité graphique 2cm).

On donne cos⁵ cos( ) cos

6 6 6

       ; sin⁵ sin( ) sin

6 6 6

     

2. On considère les nombres complexes : z1  2 2 3i et z₂ 4e^{5 / 6i} et ^z3 ²²ⁱ

a. Déterminer le module et un argument de z1 et de z3

b. Ecrire z2sous forme algébrique.

c. Placer dans le repère ( ; , )O u v 

le point A , B , C d’affixes respectives z1, z2, z3

c. Déterminer le module et un argument du complexe

1 2

z z .

d. En déduire qu’il existe une rotation de centre O qui transforme A en B.

On précisera l’angle de la rotation Exercice 5

Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal ( ; , )O u v 

d'unité graphique 1 cm.

On note : i le nombre complexe de module 1 et d'argument / 2 ; z₁le nombre complexe z₁  1 i 3. 1. On pose ^z₂^{i z}₁, montrer quez₂ 3i

2.a. Calculer le module et un argument de chacun des nombres complexes z1 et z2. 2.b. Placer dans le plan P le point M1d'affixe z1 et le point M2 d'affixe z2 .

3. Soient A, B et C les points du plan d'affixes respectives zA _; z_Bet z_C telles que : z_A  2 2 3i . z_B  2 2 3i et zC ⁸

3.a. Montrer que z_A2z¹et quezB  zA

3.b. Placer les points A,B et C dans le plan P.

3.c. Démontrer que le triangle ABC est rectangle.

3.d. Calculer l'affixe du point D de sorte que le quadrilatère ABCD soit un rectangle.

Exercice 6 Partie A :

On considère dans l'ensemble des nombres complexes ,l'équation ( ) :E z³2 ² 16 0z   1) Montrer que 2 est solution de l'équation (E), et déterminer trois réels a; b; c tels que ( ) :E z³2 ² 16 (z   z2)(a z²b z c )

2) En déduire les solutions de l'équation (E) sous forme algébrique puis sous forme trigonométrique.

Partie B :

Le plan est muni d'un repère orthonormal ( ; , )O u v 

; l'unité graphique 1 cm sur les axes..

1) Placer les points A ; B et C d'affixes respectives z_A   2 2i ; z_B 2 et zC   ^{2 2}i 2) ABDC parallélogramme si et seulement si ^{z}_AB ^z_CD^ .

Calculer l'affixe ^z_Ddu point D tel que ABDC soit un parallélogramme et placer le point C.

3 ) On pose z_D  2 4i.

Soit les points M et N définis par : zM  i zDzB ⁽¹ i⁾ et zN   i zDzC ⁽¹ i⁾

Mettre z_M et z_Nsous forme algébrique puis placer les points M et N dans le repère ( ; , )O u v  4) Déterminer la nature du triangle AMN.

Exercice 7

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal ( ; , )O u v 

d'unité graphique 2 cm.

On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument / 2.

1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation _z²_{2z 4 0}. 2. On considère les points A et B d'affixes respectives z_A 1 i 3 etz_B  1 i 3. a. Déterminer le module et un argument de z A et z B.

b. Donner la forme exponentielle de z A.

c. Placer les points A et B dans le plan muni du repère( ; , )O u v  .

3. On désigne par  la transformation du plan complexe qui à tout point M d'affixe z fait correspondre le point M' d'affixe z' tel que : z'e^{i2 / 3} z.

a. Indiquer la nature de la transformation et préciser ses éléments caractéristiques.

b. On nomme C l'image du point A par la transformation .

Déterminer la forme exponentielle de l'affixe z C du point C. En déduire sa forme algébrique.

c. Placer le point C.

d. Montrer que le point B est l'image du point C par la transformation . 4. Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier votre réponse.

Exercice 8

On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d’argument / 2. On pose z₁ 1 i ; z₂  3i ; z₃z z₁³ ₂

1.a. Mettre z1³ sous la forme algébrique ( on pourra utiliser une identité remarquable ) b. Mettre le nombre complexe z3 sous la forme algébrique.

2. a. Déterminer le module et un argument du nombre complexe z1 , puis le module et un argument

du nombre complexe z1³

b. Déterminer le module et un argument du nombre complexe z2.

c. Déduire des questions précédentes la forme trigonométrique du nombre complexe z3. 3. En comparant les forme trigonométrique et algébrique de z3 , déterminer les valeurs exactes de ^cos11

12

 et ^sin11 12

 Exercice 9

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal ( ; , )O u v 

d’unité graphique : 2 cm.

1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation : ^{z22 2z 6 0}. On désigne par A le point d’affixe z_A 2 i 2 et z_B  2 i 2.

2 .Placer dans le plan complexe les points A et B d’affixes respectives zA et zB.

3 .Montrer que les points A et B appartiennent au cercle C de centre O et de rayon 6. 4. Soient I, J et K les points d’affixes respectives zI ^,zJ et zK telles que :z_I 2i

z_J est le nombre complexe de module 2 et d’argument ³ 4

 ; zK  zJ

a. Donner la forme algébrique de z_J .

b. Placer les points I, J et K dans le plan complexe.

5 .Quelle est la nature du triangle IJK ? Justifier.

Donner le rayon du cercle C ’circonscrit au triangle IJK.

6. Soit E l’ensemble des points M du plan dont l’affixe z vérifie la relation : ^{2 z  6} a. Tracer les cercles C et C ’.

b. Représenter l’ensemble E sur le graphique précédent à l’aide de hachures. Justifier.

Exercice 10

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal ( ; , )O u v 

d’unité graphique 3 cm.

On appelle i le nombre complexe de module 1 et d’argument/ 2.

On appelle notation exponentielle du nombre complexe z l’écriture de z sous la forme z = re^ioù r est le module de z et  un argument de z .

1. Résoudre dans l’ensemble C des nombres complexes l’équation: z ² − z + 1 = 0 .

2. On pose ^{1 3}

2 2

zA  i et ^{1 3}

2 2

zE  i a. Ecrire z A et z E en notation exponentielle.

b. Construire les points A et E d’affixes respectives z A et z E .

3. On définit les quatre nombres complexes suivants : z_B z²_A ; z_C z³_A ; z_D z⁴_A ; z_F z⁶_A a. Ecrire ces quatre nombres complexes en notation exponentielle puis sous forme algébriques.

b. Démontrer que les points A , B, C, D, E et F sont situés sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon .

c. Construire les points B, C, D et F. On justifiera la construction.

Exercice 11

1. Résoudre dans C l’équation z²4 3z16 0 .

2. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal ( ; , )O u v 

d’unité graphique 1cm.

Soit les points A, B et C du plan complexe d’affixes respectives z_A2 3 2 i ; z_B 2 3 2 i et z_C 2e^{i/ 6}. a. Calculer le module et un argument de z A et z B .

b. Construire les points A, B et C.

c. Calculer | z A − z B|.

d. Quelle est la nature du triangle OAB? (justifier la réponse).

3.a. Ecrire z C sous forme algébrique.

b. Montrer que C est le milieu du segment [OA].

4. Quelle est la nature du triangle ABC? (justifier la réponse).

Exercice 12

La plan est muni d'un repère orthonormal direct ( ; , )O u v 

l'unité graphique 1 cm.

On désigne par ile nombre complexe de module 1 et l'argument / 2.

1. Résoudre dans l'ensemble Cdes nombres complexes l'équation : z²6 3z36 0 2. On considère les points A, B et C d'affixes respectives :

z_A  3 3 3 i ; z_B  3 3 3 i et z_C  6 3

a. Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes z_{A et} z_B.

b. Ecrire le nombre complexez_A sous la forme re^{ioù r}est un nombre réel strictement positif et un nombre réel compris entre et .

c. Placer les points A, B, C dans le plan muni du repère ( ; , )O u v  3. a. Déterminer la nature du triangle ABC.

b. En déduire que le quadrilatère OACB est un losange.

4. On appelle K le point du plan complexe tel que zK  i zA

a. Donner la forme algébrique , puis la forme exponentielle de z_K b. Démontrer que le triangle OAK soit rectangle et isocèle en O.

c. Construire le point K sur la figure.

Exercice 13

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O; , )u v 

(unité graphique : 1 cm).

Soit P z( )z³4z² 3 24 z24 3où z est une variable complexe.

1. Vérifier queP z( ) ( z2 3)(z²2 3z12).

2. Résoudre dans l’ensemble C des nombres complexes l’équation z²2 3z12. 3. En déduire les solutions dans Cde l’équation P(z) = 0.

4. Placer les points A, B et C d’affixes respectives ^z_A  ^{2 3},^z_B   ^{3 3} ⁱ, ^z_C   ^{3 3} ⁱ. 5. a. Déterminer le module et un argument de ^z_A, ^z_B et ^z_C.

b. Donner l’écriture exponentielle de ^z_A, ^z_B et ^z_C. 6.  est la rotation de centre O et d’angle / 3. a. Donner l’écriture complexe de R.

b. Montrer que l’image de A par R est B.

c. Calculer, sous forme algébrique, l’affixe de D, image de B par . 7. Soit (C) le cercle de diamètre [CD].

a. Justifier que O est le centre de (C) .

b. Montrer que les points A et B appartiennent à (C) . c. En déduire la nature des triangles CAD et CBD.

Exercice 14

Le plan P est rapporté à un repère orthonormal (O; , )u v 

(unité graphique 1 cm).

On considère un polynôme P défini parP z( )z³2z²16 où z est une variable complexe.

1. a. Déterminer les nombres réels a, b et c tels que P z( ) ( z2)(az²bz c ). b. Résoudre dans C l’équation ^{P z( ) 0} .

On considère les points A et B d’affixes respectives : zA ^{2 2}i et ^z_B^{ 2 2i}.

a. Écrire sous forme trigonométrique puis sous forme exponentielle les nombres ^z_Aet ^z_B. b. Placer dans le plan P les points A et B.

c. Quelle est la nature du triangle OAB ?

2. On considère la transformationRdu plan P dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z associe le point M ’ d’affixe z’ tel que _z'e^{i/ 3}_z.

a. Caractériser géométriquement la transformation T.

b. Déterminer sous forme trigonométrique et sous forme algébrique l’affixe du point A’ image de A par la transformation R.

c. En déduire les valeurs exactes de^cos









Exercice 1

1.

  ^{ }

   

2 6 2 2

2 6 2 2 2 6 2 2 2 6 2 6 6 2

2 2 2 2 2 2 8 8 4 4

i i

Z i i i

i i i

 

     

     

  

2.^{ z1 2}

   

2 1

cos 2 2 2

6 3 2 3

sin 2 2 2 2 2





  



 

   



; d’où 2

3 k

    , avec k

Donc ^{z1 2i 6 2 2 }_¹₂^i ₂^3_^{2 2 cos}

 





 

 

z₂²2²2²  4 4 8 ;  z₁  8 2 2 et on a

2 2

cos 2 2 2

2 2

sin 2 2 2





  



  



; 2

4 k

   , avec k

^{z2  2 2i 2 2}_{ 2}^{2 i} ₂^2_^{2 2 cos}

 





 

  .

On a donc ¹

2

z 1

Z  z  et on a : arg arg ₁ arg ₂ 2

3 4 12

Z  z  z       k, avec k Donc ^{Z cos}

















et on a : ^cos









Exercice 2

3 2

2 2

1 1

z i

z i

   



2 2 1

2

3

2 2

( 3) 3 9 3 12 2 3

1 1 2

2 2 2

2 2 z

z

z z z

      

  

   

.

1

1 1

1

3 3

cos 2 3 2

arg :

3 1

sin 2 3 2

z







  

 



 

  



donc ₁ 2

2 ;

3 k k

    

2

2 2

1

1 2

cos 2 2

arg :

1 2

sin 2 2

z







  



 

 

  



, donc ₂ 2 ;

4 k k

      , comme z₃ z₂ ,

on a :^argz₂  ^argz₁^2k , donc ₃ 2 ;

4 k k

    

2 3 4 5

-1 -2

-3

2 3

-1

-2

-3

0 1

1

x y

I J

M A

B C

O D

On sait que z₂  z₃  2, on déduit que le triangle BOC est isocèle en O.

1 (1 ) 1 1 2

C B

z^BC z z         i i i i i, donc ^{BC z}_BC^{ 2}

2 4

BC  et _OB²_OC² _{ 2}²_{ 2}² _{  2 2 4}, on déduit que _BC² _OB²_OC²et par conséquent Le triangle BOC est rectangle isocèle en O .

OADC est un parallélogramme signifie que ^{z}_AD ^z_OC^ , donc ^z_D^z_A^z_C ou encore

1 3 3 2 (1 3)

D C A

z z z    i i     i Ex 3.

a) z_A 1i 3 ; z²A 12i 33 ; z²A 22i 3

2 2(1 3)( 2 2) 2 6 ( 6 2)

( 2 2)( 2 2) 2

C A B

z i i i

z z i i

      

  

  ; 6 2 6 2

2 2

zC   i 

b) z_A 1i 3 ; zA ^{ 13 4 2} ; ) 2 ³

sin3 (cos3

2 2 )

3 2 (1 2



 







 ⁱ

A i i e

z z_B  2i 2 ; _{ 22  42}

zB .

2 4

4) 4 sin (cos 2 2 )

2 2

( 2 2



 







 ⁱ

B i i e

z

2 2 3 2 5

3 4 12

4

4 5 5

2 2 2(cos sin )

12 12

2

i i i i

C A B i

z e

z e e i

z e

   



 

      

.On a

2 2 6 2

2

6  

 i

z_C )

12 sin5 12

(cos5

2   

 i d'où 5 6 2

cos12 4

   et 5 6 2

sin12 4

  

O

C A

B

u

C v

C 1

2

Ex4 a- ^{z1  443 16 4} ; ³

2

1 ) 2

3 sin2 3

(cos2 2 2 )

3 2 ( 1 4



 









 i i eⁱ

z ;

Z k k

z   

 2 ,

3 arg ₁ 2

b- ^{z3  44 82 2} ; ₃ ) 2 ⁴

sin 4 (cos 4

2 2 )

2 2

( 2 2 2

 

 

 



 



 i i e ⁱ

z ;

Z k k

z   



 2 ' , '

arg ₃ 4 .

c- i i

i i

e z

i

2 3 2 2) 2 ( 3 4 6) 6 sin cos ( 4 6 ) sin5 6

(cos5 4 4 ⁶

5

2             



. d- ^{z2  124  164} ; ₄^{4 1}

1 2 1

2   

z z z

z ;

^argz_z ^argz2^argz1 ^5₆^2₃^{ 5}₆^4₆^{ }₆^{2k,kZ} 1

2 . ^{6 6}

2 6 5

3 2

6 5

1 2

4

4 ^{  }









 ^{i i}

i i

e e

e e z

z , donc le

point B

est l’image du point A par la rotation de centre O et d’angle 6

. Exercice 5

1. z₂iz₁  i( 1 i 3)  i i² 3 3i

2.a . Soient 1 et 2 des arguments respectifs de z₁et z₂: z₁  ( )1² ( 3)²  1 3  4 2 ^z2 ^{ iz}1 ^{ i z}1 ^{ z}1 ^2. On peut aussi utiliser les propriétés du module d'un nombre complexe :

1

1

cos = 1 2 sin = 3

2











-

- donc 1=5 + 2 k où k Z 3

   

2

2

cos = 3 2 sin = -1

2











donc 2

=- + 2k où k Z 6

   

2.b.

3.a. 2z1  2 1( i 3)  2 i 3  2 2 3i z_A zA    ( ^{2 2 3}i ) ^{2 2 3}i zB

3.b. voir dessin ci-contre 3.c.

M₁

M₂

C A

B

D

u v

2 3 4 5 6 7 8

-1 -2 -3 -4

2 3 4 5 6 7

-1 -2 -3 -4

0 1

1

x y

M₁

M₂

C A

B

D

u v

2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 4 4 3

B A

zAB z z i ( i )

i i i

      

     



2 2

4 4 3

16 48 64 8 8

B A

AB zAB z z ( )

AB cm

    

    

 .

8 2 2 3 6 2 3

C B

zBC^ z z    i   i BC z_BC^  z_Cz_B  6²(2 3)²  36 16  52 2 13 .

BC = 2 13 cm

8 2 2 3 10 2 3

C A

zAC^z z    i   i .AC z^{}_AC  z_C z_A  10²(2 3)²  100 12  112 16 7 4 7  . AC = 4 7 cm.

2 2

2

AB +BC =64+52=112 AC =112



 donc AC²AB²BC²

d'après la réciproque du théorème de Pythagore ABC est rectangle en B.

3.d. Pour que ABCD soit un rectangle il suffit que ABCD soit un parallélogramme puisque ABC est un triangle rectangle. Pour que ABCD soit un rectangle il suffit donc que .

Soient z A , z B , z C , z D les affixes respectifs de A,B, C, D.

De AB DC 

. On en déduit : zAB^zDC^ or zAB^  ^{4 4 3}i et zDC^ z^Cz^D 8 z^D

soit 4 - 4i 3 = 8 - zD , 8 - 4 + 4i 3 = zD , soit 4 + 4i 3 = zD ; 4 + 4i est donc l'affixe du point D.

Exercice 6 Partie A :

( ) : 2E ³  2 2² 16 8 8 16 0    . Donc 2 est une solution de ( E).

( ) :E z³2 ² 16 (z   z2)(a z²b z c )

a z³b z² cz 2az²2bz2c a z ³(b2 )a z²  (c 2 )b z2c

1

2 2

2 0

2 16

a

b a

c b

c

 

  

  

  



1

2 2 4

2 8

8 a

b a

c b

c

 

   

   

 

( ) :E z³2 ² 16 (z   z 2)( ² 4z  z8) ( ) :E z³2 ² 16 0z  

^{(z2)( ² 4z  z 8) 0}

^{z 2 0 ou z² 4 z 8 0 z2 ou z² 4 z 8 0}

2 2

4 16 4 1 8 16 32 16

16 ; 4

b ac

i i

          

   

₂ ^{4 4 2 2} 2

z   i i

    ;

u v

B

C

D

F

2 3 4 5 6

-1 -2 -3 -4

2

-1 -2 -3 -4 -5 -6

0 1

1

x y

u v A

B

C

D

E

F