Logarithme Néperien – correction exercice 13 Page 1 sur 1
Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle
Correction exercice 10
Soit f la fonction définie par f(x)=ln
x−1
x−3 et C sa courbe représentative.
1. Ensemble de définition de f.
Df = {x☻IR/x−1 x−3>0}
x −∞
1 3 +
∞(x-1)
- 0 + +
(x-3)
- - 0 +
f(x)
+ 0 - +
Df=]-õ;1[∟]3;+õ[
2. Limites de f en õ; 1 et 3 A l’infini….. donc lim
x↔õ
x−1 x−3= lim
x↔õ
x
x=1 et lim
X↔1ln(X)=ln(1)=0 donc lim
x↔+õf(x)= lim
x↔-õf(x)=0 lim
x↔1
x−1
x−3=0 et pour x<1 x−1
x−3>0 donc lim
x↔1 x<1
f(x) = lim
X↔0 X>0
lnX=-õ
lim
x↔3 x>3
x−1
x−3=+õ donc lim
x↔3 x>3
f(x) = lim
X↔+õ lnX=+õ 3. Sens de variation de f.
u : x→x−1
x−3 est une fonction rationnelle donc dérivable sur son ensemble de définition donc sur Df et également strictement positive sur D
f donc f=lnu est dérivable sur D
f et f′=u′
u =u′×1 u
┐x☻Df, f′(x)=(x−3)−(x−1) (x−3)2 ×x−3
x−1=- 2
(x−3)(x−1)
Sur Df, (x−3)(x−1)>0 donc f′(x)<0 donc f est strictement décroissante sur ]-õ;1[ et sur ]3;+õ[.
4. Montrons que ┐h☻]-õ;-1[∟]1;+õ[,f(2+h)+f(2−h)=0
┐h☻]-õ;-1[∟]1;+õ[ alors 2+h☻Df et 2−h☻Df. f(2+h)+f(2−h)=ln
2+h−1 2+h−3 +ln
2−h−1 2−h−3 =ln
1+h h−1 +ln
1−h -1−h =ln
1+h h−1 +ln
h−1 1+h =ln
1+h h−1 −ln
1+h h−1 =0
Déduction pour la courbe représentative de f.
Soit M
(
xM;yM)
un point de C.└h☻]-õ;-1[∟]1;+õ[ tel que xM=2+h
Soit M′ le symétrique de M par rapport à A(2;0), alors A est le milieu de [MM′] et donc
xA=xM+2xM′yA=yM+yM′
2 d’où
xM′=2xA−xM=4−2−h=2−h yM′=2yA−yM=0−f(2+h)=-f(2+h)
Or, f(2+h)+f(2−h)=0 donc –f(2+h)=f(2−h) d’où M′(2−h;f(2−h)) d’où M′☻C On a donc montré que le symétrique par rapport à A de tout point de C est un point de C, donc A est un centre de symétrie de C.
